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1、定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。关键字：定积分；牛顿莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds
2、 computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant;
3、making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word: Definite integral; Newton-Leibniz; defini
4、te integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。定积分的思想源远流长，古希腊德谟克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”，卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17世纪终于发生
5、了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入了变量数学，开创了数学发展的新纪元。这就是定积分的背景。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。我们使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展。定积分的计算和积分不等式是数学分析的重要内容，定积分的计
6、算方法丰富多彩，许多积分不等式具有重要的应用价值。所以我们要研究定积分的计算和积分不等式的目的就是：1学会用定积分解决问题，进一步体会学习定积分的必要性。2.掌握定积分的常用计算方法，如变限的定积分的概念，微积分的基本定理和换元积分法及分部积分法等。3.了解积分不等式的常用的证明方法。4.了解定积分相关的知识的综合应用。定积分是高等数学的一个重要内容，在理论研究和实际应用中。许多问题都可以归结为计算定积分的问题。在定积分中，不仅概念多，而且定理，公式亦处处可见，因此对定理，公式要深入的把握。因此，定积分的计算是很重要的。在计算中，如能直接应用公式，则将会既简捷，又准确，起到事半功倍的作用。在本
7、文中，本人首次尝试对其中一个定理进行证明以及一些计算，下面我们就定积分的计算和积分不等式此论题进行讨论。一、定积分的计算(一)、牛顿莱布尼兹公式1、定理4（牛顿莱布尼兹公式）：若函数f在a,b上连续，且存在原函数F ，即=，xa,b，则f在a,b上可积，且=- 这称为牛顿莱布尼兹公式，它也常写成=|注（i）牛顿莱布尼兹公式简称NL公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种表达形式。（ii）NL公式的证明可由Riemann积分的定义及微分中值定理（作用在F上）可推得。例
8、1 说明“使用”牛顿-莱布尼兹公式为何产生下列错误？ （1）=2 ； （2）=0 .解 （1）中被积函数无界、不可积；（2）中被积函数在间断点x =处极限存在，故可积，但是在x =处有无穷间断点，因此不合公式条件。例2 计算误解：可以证明=则由微积分基本公式得：=0分析：因为 =0所以 0显然上述结论是错误的。原因：原函数=在0，2上有间断点X=1。正确的解法：令 则在0，2上连续且=所以，由上述定理3知 =-=+ 0 -0 =例3 利用定积分求下列极限 = J （1-1）解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数f ( x )在某一区间a ,b上的积分和的极限。然后利用牛顿莱布尼茨公
9、式计算J = 的值。由（1-1）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记不难看出，是函数在区间0，1上对应于n等分分割，并取，i =1,2, n 的一个积分和。由于 在0，1上连续，且存在原函数，故由定理知道0，1，且有。于是就可求得. 注：上面也可看作在1，2上的一个积分和，或者，是在2，3上的一个积分和，亦即 。 (二)、定积分换元积分法和分部积分法1、定理4（定积分换元积分法）：若函数f在a ,b上连续，在 , 上有连续可微，且满足= a，= b，a b，t , ，则有定积分换元公式：=.注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及NL公式可得。(
10、ii)定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用，只不过使用时有较大差别：在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）。(iii)对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不需作更改（即仍然采用原来的积分变量）。（iv）（注意：文中以下提到的C是连续函数的集合，R是Riemann可积函数的集合，在此说明。不另外提示。） ,可减弱为R ,。进一步，定积分换元积分公式中的f a ,b可减弱为f a ,b，但若的条件稍许加强（证明较为复杂），则有以下的命题成立：若f a ,b，： ,a ,b是一一映射而
11、且还满足=，=，a ,b，那么有=.证 设a b,（即为增函数）。对任何分割通过令，i=1,2,n得到对a ,b的一个分割.由于在 ,上一致连续，故当时必有，i=1,2,n，作积分和；令，并记.由于，使，i=1,2,n，因此有 .于是，由假设，可知另一方面，当设，时，由在 ,上一致连续，使时，恒有 ，i=1,2,n.于是又有 .由此可见， 即 例4 计算解1 令，得。有.解2 令，得，有。解3 令，得，有.小结 例4的三种解法借助于换元积分法，巧妙地运用了对数函数和三角函数的公式进行恒等变形，从而实现了被积函数的转化。例5 设函数和在对称区间上连续。若满足条件(常数)且是偶函数，证明：并由此计
12、算积分 (此题是1995年考研试题(三)中的第八题。)证 因为函数和在对称区间上连续，得 其中，将代入下式：. 因此， 证明成立。那么根据上述题目已知，我们在中很容易发现，就是上述的，就是上述的，所以由我们所证的可得 由上面的结论可知 ，那么 即 .所以 ， 代入 .得 .再来看 = = 2所以 =.例6 证明：（1），；（2）若f 在0,1上连续，且满足，k=0,1,n-1,则有 .证 （1）利用换元积分法，可得（2）首先，由条件可知 ；又由积分第一中值定理，使得 ；再由上面（1），又得 .这就证得 .2、定理（定积分分部积分法）4：若、为a ,b上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：
13、.注 （i）分部积分可由乘积微分法则及N-L公式直接证之。（ii）分部积分公式可连续使用n次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u、v具有n+1阶连续导数，那么有 (n=1,2,3,)。例7 设f 在a ,b上有连续的二阶导函数，且f (a) = f (b) =0。证明：（1）；（2）.证 （1）利用分部积分法，可得 移项后即得结论成立。（2）一种证法是直接利用（1）的结论：其中的 .例8 设f 连续，f (1) = 1, .试求：.解 令 2x - t = u, 则于是有 两边关于x求导得 再令x=1可得.3、用定积分换元积分法与分部积分法推得的某些特殊结论：1(1)、若f (
14、x) 为以 p为周期的连续周期函数，则有（2）、若，则 （3）、若，则；（4）、若，则；（5）、沃利斯（Wallis）公式： ；（6）、带积分余项的泰勒公式：若f (x) 在a ,b上具有阶连续导数，那么，,有，即，称此为泰勒公式的积分余项.例9 （00, b 0 .解 因为 令 ，所以 .这个变量代换的定积分，注意到被积式是正、余弦的齐次式，倒也不算多难。但是回头看一下，便会发现：被积函数中，积分变量的取值并无限制。为什么积分区间只能取0，岂不大大的限制了它的适用范围！细看一下，这样限制区间，完全是因变量代换（）所致。为扩大范围，先利用变量代换，则时，时， .所以 这样，就可把0，上的积分化
15、成两个0，上的积分即有 故 . 此式还反映了被积函数关于的对称性，利用，互换，积分值不变。故在，上的积分与在0，上的积分相同。又因与周期为，于是原积分在任意区间上的积分都不难求出。(三)、积分值估计3有些函数虽然可积，但原函数不能用初等函数的有限形式表达。或说这种函数的积分“积不出”，无法应Newton-Leibniz公式计算，只能用其他方法对积分值进行估计，或近似计算。另一种情况是，被积函数没有明确给出，只知道他的结构或某些性质，希望对积分值给出某种估计。（1）利用Darboux和估计积分值若，表示积分的下、上Darboux和，那么积分存在时，有估计.例12 求A，B，使得要求（北京师范19
16、84）解 将区间0，1 n等分，利用的单调性，每个小区间上，端点到达上、下确界因此 ，这时 ，要使 ，只要取，于是 ，.（2）利用变形求估计及估计的应用若f (x) 在a ,b上可积，一般来说我们可以通过各种变形来对积分之值进行估计。例如用变量替换、分部积分、中值公式、Taylor公式等，使积分边成易于估计的形式。另外被积函数放大、缩小，区间放大和缩小也是获得估计的重要方法。例13 证明.（苏联高校竞赛1976）证 令作变换在中作变换， .于是 .在内，被积函数 . 个别点不影响积分值。由例13知。若f (x) ，g (x) 在,上有连续导数，则.若f (x) ，g (x) 在,上有阶连续导数
17、，且，则反复利用分部积分法可得.此式给出了一个重要的变形。二、积分不等式在积分不等式中，证明的难度较大，技巧性较强，涉及知识面较广的问题，本文在高等数学范畴内，给出了证明积分不等式的几种基本方法。我们把联系两个以上的定积分的不等式，称为积分不等式。关于积分不等式，有不少著名的结果，我们将在这里只介绍证明积分不等式的几种基本方法以及计算。(一)、用微分学的方法证明积分不等式11例14 设 f (x) 在0，1上可微，且当x(0,1)时，0。（上海交大1980前）证 问题在于证明1。令 ，利用Cauchy中值定理 (01) (00时，.（吉林大学 1982）证 已知 （x0，只有时等号才成立）。在
18、此式两端同时取0,x上的积分，得 (x0).再次取0,x上的积分，得 (x0).第三次取0,x上的积分，得 (x0).即 (x0).继续在0,x上积分两次，可得x-+. 证毕。(四)、利用积分性质证明不等式15定理 设函数 f (x) 与 g (x) 为定义在a ,b上的两个可积函数，若f (x) g (x) ，xa ,b则例17 证明不等式 ,(0+1证 不等式变形为-1-，左边:-1=右边: - =。注意到12, 15+1例19 利用积分中值定理证明： （2-6）分析 如果由积分值公式来估计定积分的值,只能得出 (2-7)其中M与m分别是在a ,b上的最大值与最小值，显然这是一个很粗略的估
19、计，如果改由中值公式来估计，设，,则有 （2-8）一般说来,估计式(2-8)比(2-7)较为精细.证 这里使用估计式(2-8),取,算出 ,由此看到，（2-6）的右部不等式得证；而左部不等式尚差稍许，为此可用以下方法来弥补：，这就可以证得（2-6）的左部不等式也成立。证明积分不等式是一门艺术，它具有自己独到丰富的技术手法；在此，我们充分利用微积分的知识来证明不等式，使一些复杂的不等式的证明得到更加简洁的证明，也使得一些不等式的证明变得一题多解，更加说明微积分在我们证明不等式中具有举足轻重的作用。例20 证明不等式证 0，故0即 +2+0上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，即 4-40
20、得 .例21 已知函数 (xR, x,nN+)的最小值为,最大值为，记 ,求证：.证明 因为 x ，所以 y 1, 则=0即 0 y 所以 所以 所以不等式成立。例22 设在a ,b上有连续的导数，证明Euler求和公式： （2-9）此地表示不超过实数的最大整数，表函数在( a ,b上各整数点处的值之和。证 分不同情况证。若 ，则，此时，（2-9）式的右端也将等于0，这是因为按分部积分法有 所以公式成立。若，记 （2-10）其中 （2-11） （2-12）因为 代入（2-12）式后得 （2-13）将（2-11）式和（2-13）式代入（2-10）式中，就可得到（2-9）式。结束语科学研究跨入了新
21、世纪的门槛,我们看到,数学学科一方面在回顾学科发展历程,另一方面也在展望学科的发展前景。数学分析中的定积分计算和积分不等式的学习研究方法主要通过典型例题分析和知识点的概括来完成，也会适当的选取一些竞赛题和考研题进行分析。我们要从数学分析的典型问题中学习解题方法，归纳出新的方法和技巧。定积分计算中的换元法与分部积分法是计算定积分的两个基本方法。在使用定积分的换元法时，首先要注意这种方法对于变量代换函数的要求应该得到满足，否则，就会得到错误的结果；其次要注意的是，当作了变量代换引入新的积分变量时，定积分的积分上限与积分下限也必须随之作相应的变换，即所谓“换元须同时换限”。运用定积分的换元积分法与分
22、部积分法可以得到一些与被积函数性质有关的积分公式及一些重要积分的积分值，它们是十分有用的，应该熟练掌握。在此基础上我们再进一步研究其深层的意义，我们把有些虽然可积但原函数不能用初等函数的有限形式表达的函数，或者无法应用NewtonLeibniz公式计算的函数，运用定积分的积分值估计的方法进行计算。致 谢本文是在 教授的悉心指导下完成的，他渊博的知识、严谨的科研作风、认真负责的工作态度是我们毕业生学习的榜样。从论文的修改到定稿，欧老师都付出了大量的精力和心血，给以我很大的帮助。没有他的精心指导和帮助，本文是不可能顺利完成的。至此论文完成之际，向欧老师致以诚挚的谢意！同时也要感谢在我大学四年学习生
23、活中，数学系的领导和老师对我的关心、教育和培养。参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2003. 2 李文荣,分析中的问题研究M.北京:中国工人出版社,2001.3 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,2004.4 赵焕光,林长胜.数学分析（上册）M.成都:四川大学出版社(第1版),2006.5 费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解（三）M.济南:山东科学技术出版社,1999.6 王晓敏,李晓奇,惠兴杰.数学分析学习方法与解题指导M.沈阳:东北大学出版社,2005.7 林源渠,方企勤.数学分析解题指南M.北京:北京大学出版社,2004
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