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1、 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业论文（设计）数列极限的几种求法目录1 引言12 关于数列极限两种最常见的求法12.1 定义法12.2 两边夹原则33 几种判别数列极限存在的方法43.1 单调有界定理43.2 柯西收敛准则64 利用函数性质求极限104.1 海涅定理104.2 重要极限的应用125 其它方法145.1 施笃兹定理法145.2 级数性质法175.3 定积分定义法175.4 错位法与拆分法19数列极限的几种求法摘 要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明.关键词：数列;极限;求法Several Methods of Finding the S
2、equence limitAbstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced and some examples are used to explait them.Keyword：sequence ; limit; solution1 引言数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成
3、熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.2 关于数列极限两种最常见的求法2.1 定义法定义2.1.14 设为数列,为实数,若对任给的正数 总存在正整数 使得当时有 则称数列收敛于 实数称为数列的极限,并记作或.例2.1.21 设证明证明 因为故(取), ,有于是 由的任意性知例2.1.36 用语言证明证明 设 由于 所以 由二项式定理得因此 解此不等式得应取用语言表述即为:即当时，有这就说明了小结 设通过以上例子总结出运用
4、论证法的大致步骤:任意给定 令 推出 取 再用语言顺述并得出结论.以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.2.2 两边夹原则定理 2.2.12 设收敛数列,都以为极限,数列满足存在正整数 当时有， 则数列收敛，且例 2.2.25 求极限 解 利用得从而 又由于 所以有 故 例2.2.34 求极限（北京大学1999年）解 由题意立即可得又有 同理可得因此 小结:运用两边夹原则的关键在于将数列进行适当地放大与缩小,一般是从数列本身结构出发,将其通项放大后得数列,缩小后得数列 并使与的
5、极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用定义法证数列极限时的常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?3 几种判别数列极限存在的方法3.1 单调有界定理定理3.1.11 在实数系中,有界的单调数列必有极限.注:定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列是有界的,但它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列显然是单调的
6、,但它无界,显然它的极限不存在.此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如的极限存在,但它不具备有单调性.例3.1.22 设 求 （华南理工大学1998年）解 由题意可得, 且又 所以数列单调减少有下界，从而收敛.不妨设对两端取极限可得 解得 (舍去)因此 例3.1.39 证明证明 令 则显然是严格单调递增的，又因为 故有上界.因此收敛，另一方面，任意设定 当时， 由此式两端令得 另外，又可看出 故由两边夹法则可知 到目前为止,我们讨论一个数列是否收敛时,总是和一个特定的数列紧密联系在一起的,我们的任务只是验证数列是否以为极限,但事实上如果预先不告诉我们那个,如何从数列本身的特性来
7、判断它是否收敛?另一方面,单调有界原理只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列-单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.3.2 柯西收敛准则定理3.2.14 数列收敛的充分必要条件是任给 存在 使得当时,都有 成立.注:我们令则这时为正整数（当时必有）.于是上式可以改为 这样我们就得到柯西准则的另一种表述形式: 定理3.2.27 数列收敛的充要条件是:任给 总存在正整数 使得时,对一切正整数 都有 成立.显然,柯西收敛准则的两种表达形式等价,他们
8、各有方便之处.柯西收敛准则揭示了收敛数列的本质特征,它表明数列收敛时,对于下标充分大的任意两项能相差任意小.利用柯西收敛准则来判断一个数列是否收敛(也是方法)无需事先知道数列的极限是什么,只需根据数列本身的结构特征,恰当的运用不等式,就能鉴别它的收敛性.例3.2.35证明数列收敛.证明 (证法一)设 考虑下式 可见,任给要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有所以由定理4.11便可知收敛.(证法二)因为 可见,任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数则当时,对一切正整数都有所以由定理4.12知数列收敛.注:上例表明,运用柯西收敛准则的两种形式(定理4.11和定理4.12)证明一个数列的收
9、敛性,其方法与利用定义法验证数列极限的方法在程序和要求上是类似的.但要注意,由于绝对值不等式和都有两个下标,而所要确定的正整数仅与有关,而与或无关,故在放大或时必须设法把下标或去掉,使最后得到的式子仅含有如下例:例3.2.45 已知 证明数列收敛.证明 设 因为 可见，任给 要使只需要或即可,故只须选取正整数 则当时,有从而由定理4.11可知收敛.与此同时,上述柯西收敛准则也经常用来研究数列的敛散性,为此我们又给出:定理3.2.57 数列发散的充要条件是:存在某个 使得对任何的自然数,必有和,使得此定理是柯西收敛准则的反面叙述.例3.2.63 证明数列发散.证明 由定理并设考虑到 因此,如果
10、则有 这样对于 不管多大,如果取 则并且从而发散.最后,我们强调指出,利用以上定理分析解决数列问题时,必须正确指出使用定理的条件,否则就会出现不必要的错误.如对柯西收敛准则中和式中的 它只与有关,而与及都无关,如果不注意这一条件就会出现错误.例如,对于数列对任一正整数及确定的正整数 取当时,即时,恒有 但事实上由例6我们知,数列是发散的. 4 利用函数性质求极限我们已经指出函数极限与数列极限的主要差别在于前者的变量连续地变化,后者的变量离散地变化(跳跃地变化).实际上,无论变量是离散地变化还是连续地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果就都是相同的.基于这个事实,数列极限与函数极
11、限之间应该存在着一定的关系,它们在一定的条件下应能相互转化,能够建立这种关系的就是下面的海涅定理:4.1 海涅定理定理4.112 的充分必要条件是：对于任意满足条件 且的数列 有 例4.1.27 求极限解 由于由海涅定理我们知 所以原式为 例4.1.34 若,求.（华南师大1997年）解 先考虑而极限 所以 小结:海涅定理揭示了变量离散地变化与连续地变化之间的内在关系,即在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转化.海涅定理有着广泛的应用,在解决问题时,根据海涅定理,我们可以把关于函数的极限问题转化为数列的极限问题;也可以把数列的极限问题转化为函数的极限问题.根据归结原则,若函数的极限存在，则
12、同一极限过程的点列必存在且相等.对一些复杂的数列极限,可借助函数极限的方法去求解.因为函数的极限可用洛必达法则,泰勒公式,等价无穷小等很好的公式去求解.4.2 重要极限的应用定理4.2.14 两个特殊极限 例4.2.27 求极限解 记为则令则 故 从而例4.2.37 求极限 解 利用等价无穷小得 而 所以 将换为，则当时有于是利用洛必达法则有 故 小结:以上方法是利用重要公式求极限或转化为函数的极限,此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上,对所求式子作适当变形,从而达到求其极限的目的,这种方法灵活,有相当的技巧性.5 其它方法5.1 施笃兹定理法我们所学的施笃兹公式也是求数列极限的一种有
13、利工具,但需要满足一定的条件:若数列单调递增趋于,且（可以为无穷大），那么,有了这样的公式我们在解决一类数列极限时可以简便求出其解.定理5.1.12 若 严格增大,且无界; ,则收敛，且.例5.1.25 设为自然数,求下列各极限: 解 设 则单调递增， 且 又因为 所以由定理有 设 则由知,单调增,且 又因为 所以 注意到仍为型,且满足定理条件 即 故 注: 本题个小题均为型,通过恰当引入 应用定理将问题转化为求的极限,各题中,为求出的极限,均用到二项展开式. 由本题可见,为应用定理,引进后,应检验其是否满足定理条件，并求极限,只有在确定此极限存在(包括为时)方可用定理,若不存在,不能推出不存
14、在,只能证明不能用此定理. 由第二小题可见,在同一题目中,只要定理条件满足,定理可以连续使用.并由此题,结合数学归纳法,立即可得 其中为任意给定的自然数.例5.1.32 设,试证:存在时,证明 因为，因此只须证明第一项趋于0，为了利用，特令,则可知,且 于是由公式有， （应用公式） 使用施笃兹公式可解决一类比较复杂的数列极限,然而有些更显复杂的数列,也不满足已有的条件,这时就得另寻他法,我们注意到有时所求数列极限跟数项级数有一定的转化关系,于是我们就可以考虑是否可转化为级数类而求之?下面的例子就说明可以转化为级数的形式.5.2 级数性质法例5.2.17 求极限 解 构造级数 用达朗贝尔判别法，
15、有从而级数收敛，由收敛级数的必要条件知类似于利用级数性质法求数列极限,定积分作为数学分析学重要课程之一,巧妙利用定积分性质对求数列极限也会有很多帮助.5.3 定积分定义法定理5.3.17 若函数为区间上的连续函数，则利用定积分求极限 的基本形式为 例5.3.22 求极限（中山大学2010年）解(积分法) 因为 而是在上的特殊积分和，又 原式解(级数法） 设 若 则 记 则 故 例5.3.38 求极限 解 例5.3.44 求极限 （华南师大1997年）解 因为 所以 以上各种方法都很简便,各种变化都很有自己的规律性,实际上,以上这些方法的使用都少不了一些变化,以下的错位法和拆分法就是最常见的变化
16、方法.5.4 错位法与拆分法例5.4.13 求极限解 例5.4.23 求极限 （华南师大1996）解 因为 于是 故 原式结语 本文就数列极限的几种求法进行了初步探讨,从上文可以看出要想求出一些数列的极限,而在题目中没有明显指出极限存在的条件下我们需要先判别数列的存在进而求之,在文中已经介绍了几种判别法,在求解的过程中,先从已知出发跟哪种方法形式比较相近,在使用上面介绍的方法进行求解,这个过程往往并不是一个过程就可以解决的,通常需要几种方法的结合!例如数学归纳法,同时往往一道题也并非就只有一种求解方法,例4.1.3与例5.3.2等就可以使用多种方法进行求找数列极限.必须注意,以上很多实例都相对
17、比较简单,事实上很多关于数列极限的问题都会结合函数极限以及其他问题,因此解决此类问题还需要多加联系加以巩固.参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版M.北京:高等教育出版社,2009:28-34;2009:52-61.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,2006（2）：57-62.3 张天德,韩振来.数学分析同步辅导及习题精解M.天津:天津科学技术出版社,2009(1):64-70.4 叶国菊,赵大方.数学分析学习与考研指导M.北京:清华大学出版社,2009(1):7-19.5 李惜雯.数学分析要点与解题M.陕西西安:西安交通大学出版社,2006(3)
18、:35-38.6 李学志,陶有德,敖涌.数学分析选讲M.北京:国防工业出版社,20101:16-18.7 可向东.数学分析的概念与方法M.上海:上海科学技术文献出版社,19881:121-189.8 孙涛.数学分析经典习题解析M.北京:高等教育出版社,20042:1-2.9 魏立明.一类数列极限求法的研究J.广西贺州.梧州师范高等专科学校,2004(11):75-77.10 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法J.河北:邢台师范高专学报,1998(02):3-4.11 Hewitt E,Stromberg K R.Real and Abstact analysis-a-modern treame
19、nt of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.湛江师范学院本科生毕业设计（论文）开题报告论文题目 数列极限的几种求法学生姓名 梁德君二级学院 数学与计算科学学院开题日期2012年12月20日学 号 2009224501专 业 数学与计算科学学院指导教师 邱建军 讲师1.本课题研究意义及国内外发展状况：数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础。同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛。虽然国
20、内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等。因此通过比较研究，实例对比总结结论以求获得对知识更深的理解就显得极其重要。2.研究内容：1、数列极限的定义；2、数列极限存在的几种判别方法；3、利用函数性质求数列极限法；4、其他几种常见的求数列极限的方法。3.研究方法、手段和研究进度：（1）方法：资料查询、搜集法、归纳总结法、比较证明法、实例验证法（2）手段：图书馆资料搜集、网上资料查阅（3）研究进度： 1、2012年12月-2013年
21、1月图书馆和上网查询相关资料，选择研究方向及确定论文题目； 2、2013年1月-2013年3月查阅相关资料，预定论文提纲在老师的指导下完成论文初稿： 3、2013年3月-2013年4月根据指导老师的修改意见对论文进行修改并上交第二稿； 4、2013年4月-2013年5月按第二稿修改意见和论文撰写规范要求完成并上交论文定稿。 学生（签名）：梁德君4.参考文献：1 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版M.北京：高等教育出版社，2009:28-34；2009:52-61.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006（2）：57-62.3 张天德，韩振来.数学分析同步
22、辅导及习题精解M.天津：天津科学技术出版社，2009(1):64-70.4 叶国菊，赵大方.数学分析学习与考研指导M.北京：清华大学出版社，2009(1):7-19.5 李惜雯.数学分析要点与解题M.陕西西安：西安交通大学出版社，2006(3):35-38.6 李学志，陶有德，敖涌.数学分析选讲M.北京：国防工业出版社，20101:16-18.7 可向东.数学分析的概念与方法M.上海：上海科学技术文献出版社，1988（1）:121-189.8 孙涛.数学分析经典习题解析M.北京：高等教育出版社，20042:1-2.9 魏立明.一类数列极限求法的研究J.广西贺州.梧州师范高等专科学校，2004(
23、11):75-77.10 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法J.河北：邢台师范高专学报，1998(02)：3-4.11 Hewitt E, Stromberg K R.Real and Abstact analysisamodern treament of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.5.指导教师意见： 指导教师（签名）：年 月 日5.二级学院意见： 二级学院（盖章） 年 月 日说明：开题报告应在教师指导下由学生独立撰写。在毕业论文（设计）开始二周内完成，交指导教师审阅，并接受二级学院和学校检
24、查。湛江师范学院本科生毕业设计（论文）答辩记录论文题目 数列极限的几种求法学生姓名梁德君学 号2009224501答辩时间2013年5月19日二级学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学答辩记录答辩记录问：数列极限的定义是什么？答：设为数列，为实数，若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于，实数称为数列的极限，并记作或.问：什么叫柯西收敛准则？ 答：数列收敛的充分必要条件是任给，存在，使得当时，都有成立。这就是柯西收敛准则。问：海涅定理讲的是什么？答：海涅定理讲的是的充分条件是：对于任意满足条件，且的数列有 记录人：答辩小组评审意见小组答辩成绩答辩小组组长签名年 月 日答辩委员会审核意见答辩委员会审核成绩答辩委员会主席签名年 月 日说明：1.答辩成绩为百分制。2.答辩委员会如不同意答辩小组给定成绩，由答辩委员会重新给定，以答辩委员会给定成绩为准。
