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1、和式极限的几种求法 摘要 和式极限是分析学的基础和重要工具，也是高等数学教学中一个难点.本文着重介绍了利用数列部分和公式求和式极限，利用定积分定义求和式极限，利用幂级数的展开式求和式极限，利用数项级数收敛性等几种求和式极限的方法.关键词 和式极限 数列 积分 无穷级数1 引言极限是数学分析中非常重要的概念，极限思想始终对于解决分析学中的许多问题起着非常关键的作用，而且和式极限是极限论中的重难点问题.对于如何计算无限多项和式的极限问题，虽然在很多数学教材里均有所涉及，但是少有专题研究它的求法.当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形式(简称无穷和式),就不能用这些常规的方法了.通常是先求出无穷
2、数列前项的和,再求和式的极限.但当数列的前项的和不易求出时,我们就可以考虑用定积分的定义来求它的极限是微分学的灵魂，极限的计算是极限理论的重要内容.本文将详细地归纳出求解和式极限的几种基本方法和运用相关定理求解和式极限的方法.2 求解和式极限的几种方法 一般而言，求解和式极限有求和、夹逼准侧、定积分的定义以及无穷级数展开式求和等方法，以及应用托布利兹（Toeplitz）定理和施笃兹（Stolz）定理求解相关问题，下面以例题的形式介绍一下这几种方法的具体应用. 2.1利用求和的方法求和式极限 是指使用初等的方法数列求和、裂项相消等求出的和，然后再求其极限.例1 求极限. 解 .例2 求极限.解
3、叠加得所以.2.2利用夹逼准则求和式极限 需要构造两个和式或数列将要求极限的和式夹在中间，并使得两边的极限相等，这时往往使用放缩的方法.例3 求极限.解 由于且所以.例4 求极限.解（1）当时，则又，所以当时，（2）当时，则，所以当时（3）当时，则又所以当时综上所述.2.3利用定积分的定义求解和式极限和式极限是一个基本的数学问题,由于解法的多样性,也是一个难题.讨论一类用定积分定义求和式极限的方法,同时这种方法充分表现了和式极限与积分这两个不同的数学概念之间的紧密联系,也表现出求和式极限的多样性与灵活性.和式极限是一类基本的极限,其一般的方法是先求和,然后取极限.但是,有些和式求和并非易事,而
4、有些和式甚至不能求和,怎么求它的极限呢?我们知道,“和”与“积分”是有紧密联系的,有些和式极限,在满足特定的条件下,可以转化为积分.一般需要将极限化为的形，然后根据定积分的定义将极限转化为积分计算.例5 求.解 设由此可知，可看作在上的积分和式其中,于是 原极限.例6 求极限.解 令则有所以.2.4利用幂级数展开式求和式极限讨论由幂级数列所产生的函数项级数 (1)它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它是可以看作室多项函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别是在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有很多新的了解和认识.下面将着重讨论.即： （2）的情形，因为只要把（
5、2）中的换成，就得到（1）.（阿贝尔定理）若幂级数（2）在收敛，则对满足不等式的任何，幂级数（2）收敛而且绝对收敛；若幂级数（2）在时发散，则对满足不等式的任何，幂级数（2）发散.在函数的幂级数(特别是麦克劳林)展开式中，选取适当的值，即可能转化为通过论数列级数的收敛性求和极限.例7 计算即计算.解 在上两式中令得 （3） （4）（3）（4）得所以.例8 求，收敛域.解 令 取，即得.2.5利用傅里叶级数展开式求和式极限一般地说，若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式计算出和，它们称为函数（关于三角函数系）的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数称为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作.
6、这里的记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数.由公式知道，若得右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数的傅里叶级数，即此时中的“”号换成等号.然而，若从以为周期且在上可积的函数出发，按公式:求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数，这时还需要讨论此级数是否收敛.如果收敛，是否收敛于本身.在函数的傅氏（特别是正、余弦）展开式中在其收敛域内选取适当的值，即可转化为通过对数项级数收敛的讨论求和式极限.例9 求.解 将在展开成余弦级数因为所给函数在上满足狄氏收敛定理因此 令时，则所以故 .例10 计算.解 将在展开成余弦级数且该余弦级数在满足狄利克莱充分条件，因此: 令，则所以故.另外，.2.6利用数
7、项级数收敛性求和式极限 收敛的充分必要条件是存在.因此可以通过讨论数项级数的收敛性和式 的极限.一般地，可以将所给和式扩充为一个级数来讨论，也可以通过讨论某级数的收敛性来求和式的极限. 例11 计算及.解 首先讨论的收敛性：因为为等比数列，且所以收敛且其和为又所以.2.7利用等价无穷小替换求和式极限定理 若则当时.例12 求. 解 因为令则当故原式.例13 求 .解 因为令则当故原式.2.8构造母函数求和式极限.母函数法是一种生产函数法，它充分具体现了由特殊到一般及由一般到特殊的关系，把问题“化整为零”，把分散的问题归总起来，可收“事半功倍”之效.例14 求证.证明 构造的母函数，即，亦即是的
8、和函数由有积分得 再微分得故有 取即得.2.9利用托布利兹（Toeplitz）定理求和式极限托布利兹（Toeplitz）定理若其中且当时，则有.例15 求极限.解 因为而且当时， 又因为由利用托布利兹（Toeplitz）定理即得： .例16 求极限 . 解 我们知道当时又因为因而由由利用托布利兹（Toeplitz）定理即得.2.10利用施笃兹（Stolz）定理求和式极限施笃兹（Stolz）定理设和是两个数列，若满足条件：1)存在自然数，当时 2) ;3) 存在（有限或者是）. 则.例17 求极限 解 令由施笃兹（Stolz）定理即得 .结束语本文系统地阐述了求解和式极限的几种方法，并以例题的形
9、式给出示范.正文中主要提到10种求解方法，前面8种是常见的基本方法，而后面两种是通过对托布利兹（Toeplitz）定理和施笃兹（Stolz）定理的巧妙应用来求解和式极限的.当然求解和式极限的方法远远不止这10种，所以需要大家共同去探索研究. 参考文献1 华东师范大学数学系,数学分析M,北京:高等教育出版社,2001.2 钱吉林,数学分析题解精粹M,武汉:崇文书局,2003.3 朱小红,关于和式极限求法的探讨J,武汉工程职业技术学院学报,19：1(2007),74-76.4 翟龙余,一类和式极限的求解J,宜春学院学报,30：4(2008),20-22.5 陈传璋,数学分析M, 复旦大学出版社,1
10、983.6 佐里奇,Mathematical AnalysisM,世界图书出版公司2006.Several Ways to Evaluate the Sum Limit Abstract The sum limit is the foundation and an important tool of analysis, it is also a difficult point in higher mathematics teaching. This paper mainly introduces several ways to evaluate the sum limit, namely, t
11、he evaluation by using the partial sum formula of sequence of number, the evaluation by using the definition of definite integral, the evaluation by using the expanded form of power series, the evaluation by using the convergence of series of constant term, etc.Keywords sum limit sequence of number integration infinite series
