《椭圆的两个结论与山东三高考压轴题(723.101614.642).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆的两个结论与山东三高考压轴题(723.101614.642).doc（6页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、椭圆的两个结论与山东三年高考压轴题结论一：（用点差法证明）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.yAG-3DBlxEO（2011山东文）：在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）略分析：此题中，从而从而.【标准答案】（）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.我查了一下今年山东的一模、二模试题，有如下发现： (山东省实验中学2011年
2、第二次模拟考试)已知过椭圆右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为弦的中点；又函数图像的一条对称轴方程是，为坐标原点()求椭圆的离心率与直线的斜率；()略分析：此题可得到，从而从而.【标准答案】（1）因为函数图象的一条对称轴方程是，所以对任意的实数x都有，取得，整理得，于是椭圆C的离心率， 3分由知，椭圆的方程可化为， 又椭圆的右焦点为，直线的方程为， 代入展开整理得：， 设，弦AB的中点，则是方程的两个不等的实数根，由韦达定理得，于是直线的斜率。此问用点差法也可8分结论二：A,B为椭圆上任意两点，O为椭圆的中心，若OAOB,则.证明：设A()，B()则当OA得斜率为零或不存在时，结论显然成立；
3、当OA得斜率存在且不为零时，设其斜率为k,则OB的斜率为，由得，所以，同理，从而；综上，.推论1：A,B为椭圆上任意两点，O为椭圆的中心，若OAOB,则O到AB的距离d为定值,且d=.证明：由结论知，又，所以d=.推论2：A,B为椭圆上任意两点，O为椭圆的中心，若OAOB,则.证明：由结论知=1，所以， （*）若,则，.令t=,则，从而函数，（）.又因为函数f(t)在区间，1单调递减，在区间1,单调递增.从而有，所以；同理可证，当时结论成立.说明：对于（*）式，如果只求最小值，用均值不等式易证.推论3：A,B为椭圆上任意两点，O为椭圆的中心，若OAOB,则.证明：由,结合推论1，推论2，知.下
4、面我们考察上述推论在山东近两年高考数学压轴题中的应用：1.（2009山东理）设椭圆E:过M(2,),N(,1),O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由解：（1）椭圆E的方程为（解略）；（2）由推论1，满足条件的圆存在且半径r=d=.从而所求圆的方程为 再由推论2，有2.（2008山东文22）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆（）求椭圆的标准方程；（）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线是上异于椭圆中心的点（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值解：（）椭圆的标准方程为（解略）；（）（1）的轨迹方程为（解略）；（2）由推论3，.从而的面积的最小值为.
