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1、目录（基础复习部分）第十三章空间向量与立体几何2第01课空间向量与运算2第02课空间向量与空间角的计算2第十三章 空间向量与立体几何第01课 空间向量与运算第02课 空间向量与空间角的计算（第22题图）ABCDEA1B1C1D122如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，CC15，E是棱CC1上不同于端点的点，且（1） 当BEA1为钝角时，求实数的取值范围；（2） 若，记二面角B1A1BE的的大小为，求|cos|（第22题图）xyzABCDEA1B1C1D122解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题设，知B(2，3，0
2、)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)因为，所以E(0，3，5) 从而(2，0，5)，(2，3，55) 2分 当BEA1为钝角时，cosBEA10， 所以0，即225(55)0， 解得 即实数的取值范围是(，) 5分（2）当时，(2，0，2)，(2，3，3)设平面BEA1的一个法向量为n1(x，y，z)，由 得取x1，得y，z1，所以平面BEA1的一个法向量为n1(1，1) 7分易知，平面BA1B1的一个法向量为n2(1，0，0)因为cos， 从而|cos| 10分在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，平面，（1）求证：平面；ABCDPQ（2）求平面与平
3、面所成的锐二面角的大小（1）由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 1分设，则，故， 2分因为，故，即， 又 4分所以，平面 5分（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， -6分点的坐标为，则， 设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故 -8分设与的夹角为，则- 9分所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为- 10分如图，在长方体中，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度；ABCPDCDOBA（2）若，求平面与平面所成角的正弦值ABCPDCDOBAyxz22.解：（1）以，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角
4、坐标系，由题意，知，设，.设异面直线与所成角为，则，化简得，解得或，或5分（2），设平面的一个法向量为，即取，设平面的一个法向量为，即取，设平面与平面所成角为， 10分如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，MPDCBA（第22题），M为PC的中点（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为轴建立直角坐标系1分则，所以， 3分4分所以异面直线PB与MD所成的角为 5分（2）设平面PCD的法向量为，平面PAD的法向量为，因为，由
5、令，得， 7分 由令，得， 8分所以，所以10分BAEDC（南通调研一）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE平面BCDE，ABAE，DBDE，BAEBDE90（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B-AE-C的余弦值ACEABE（南京盐城模拟一）CABPB1C1A1第22题图如图，在直三棱柱中，动点满足当时，（1）求棱的长；（2）若二面角的大小为，求的值解：（1）以点为坐标原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以， 2分当时，有，解得，即棱的长为 4分（2）设平面的一个法向量为，则由得即令，则，所以平面的一个法向量为6分又平面与轴垂直，所
6、以平面的一个法向量为因二面角的平面角的大小为，所以，结合，解得 10分（苏州期末）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，.（1）求二面角A-DF-B的大小；ABCFED（2）试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成角为.ABCFEDyzx22.解：（1）如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，设平面的法向量，则，令，得，从而，显然二面角为锐角，故二面角的大小为（2）由题意，设，则，与所成角为，解得或（舍），所以点在线段的中点处（镇江期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点（1）证明：平面平面；（2）求与所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成二
7、面角（锐角）的余弦值MPADBCMPADBCxyz解：建立如图所示的空间直角坐标系，则， 1分（1）因为，故，所以由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面，又面，故平面面4分（2）因， 7分（3）设平面的一个法向量为，则，又，取，得，故同理可得面的一个法向量为，平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为 10分（苏北三市调研三）如图，在菱形中，沿对角线将折起，使，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点（1）求线段长度的最小值；ADPQBC（第22题）ABCD（2）当线段长度最小时，求与平面所成角的正弦值解：取中点，连结，则，为直角三角形，平面. 2分以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，3
8、分（1）设，则5分当时，长度最小值为6分（2）由（1）知，设平面的一个法向量为n=由n,n得，化简得，取n设与平面所成角为，则.故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为.10分（南京三模）PABCD如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC，AB1，BDPA2（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；（2）求二面角APDC的余弦值解：（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD 又ADAB，故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系PABCDxyz根据条件得AD所以B(1，0，0)，D(0，0)，C(1
9、，0)，P(0，0，2) 从而(1，0)，(1，2) 3分设异面直线BD，PC所成角为q ，则cosq |cos，| 即异面直线BD与PC所成角的余弦值为 5分（2）因为AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为 (1，0，0) 设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)， 由n，n ，(1，2)，(0，2)，得 解得不妨取z3，则得n(2，2，3) 8分设二面角APDC的大小为j，则cosjcos，n 即二面角APDC的余弦值为 10分（盐城三模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，底面，设点满足.（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值.解：（1）以
10、为坐标原点，建立坐标系，则，所以，.当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，即直线与平面所成角的正弦值.5分（2）易知平面的一个法向量.设，代入，得，解得，即，所以，设平面的法向量，则，消去，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，解得或，因为，所以.10分（前黄姜堰四校联考）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为的中点，在线段上（1）若平面，求;（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值（第23题） 解：（1）因为直三棱柱中，以点为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.ABCC1B1A1FDxyz因为，所以,所以. 设则.因为平面，所以.由，得或
11、，故当平面时，可得或 5分（2）由（1）知平面的法向量为设平面的法向量为，则由,得令得，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 10分（金海南三校联考）如图，在四棱锥PABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2.若(R)，且向量与夹角的余弦值为.(1)求的值；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz（如图）， 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 因为，所以C(，2，0)，2分 （1）从而(，2，2)，(1，2，0)， 则cos，（第22题） 解得2； 5分 （2）易得(2，2，2)，(0，2，2)， 设平面PCD的法向量n(x，y，z)， 则n0，且n0， 即xyz0，且yz0， 所以x0，不妨取yz1， 则平面PCD的一个法向量n(0，1，1)， 8分 又易得(1，0，2)， 故cos，n， 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为10分
