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1、【标题】浅析定积分不等式的证明及应用 【作者】杨 芳 【关键词】定积分不等式单调二重积分平均值 【指导老师】吴 先 兵 【专业】数学教育 【正文】1引言许多学生都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求值。但是如果概念清晰的话。不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。但是定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为是从几何直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和就本来不是一种技巧，而是当然了。不等式的证明是中学教学的一个重要内容，同时也是一个数学难点。由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学教学中，用定积分解决不等式的证明已经
2、成为可能。定积分的有些不等式，若用常规的代数方法证明，往往难以入手或证明比较繁琐，但是如果能从其结构着眼，就能发现新的途径，从而简洁明快的获得证明。定积分是高等数学中的重要内容，掌握好定积分是高等数学学习的基础。并且许多学者对定积分不等式的性质作了大量研究。例如：2001年，杨凡分析了定积分中不等式的证明，该文说了证明定积分的五种方法，说明运用这些方法时的基本思路和解题技巧；2002年，奚修章研究了证明一类不等式的有效方法，把证明较繁所或难以入手得定积分不等式问题，探讨出简洁明快的证明方法；2003年，玛德炎分析了抽象与具体函数不定积分的证明，具体函数的积分不等式的一般证明方法是把函数适当缩放
3、、求出最值等；2003年，陈欢探讨了定积分的一个不等式及其应用；2004年，陈仁华给出了定积分的定义与某些重要不等式的推广应用，利用定积分的定义和连续函数的性质推导出函数的四种平均值之间的关系；2005年，桥希民研究了一个新积分不等式证明及应用，指出由新的积分不等式能够得到Holder积分不等式凸显其内在规律和应用的广泛性; 2007年，蔡泽林给出了定积分不等式几种典型证法，利用辅助函数、拉格朗日公式、布莱尼兹公式、泰勒公式、积分中值公式及Schwarz积分不等式来证明；2008年，张仁华研究了二重积分证明积分不等式的若干应用；本文给出了一元函数积分问题转化为二元积分问题的定理，并应用该定理探
4、讨了定积分不等式的证明方法；2009年，刘春新、姚怡探讨了定积分不等式证明的两种方法，给出定积分，二次累次积分不等式的两种方法。本文在阐述了定积分的起源与背景的基础上，进一步探讨定积分的几何和物理原型，并举例介绍定积分在几何、物理和经济上的简单应用。本文还归纳了定积分不等式的证明方法的种类，并应用这些方法再加上举用典型例子加以补充说明，这样使读者对定积分不等式的证明更加容易理解和掌握。2预备知识定义2.1设函数在上有定义，任取分点将分成个小区间，记为区间长度，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式,若时，和式的极限存在，且此极限值与区间的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，
5、记为，即。这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积。定理2.15若在上可积，在上可积，则二元函数在平面区域上可积，且定理2.28若在上连续，则至少存在一点，使定理2.39设在上连续，且，又是上的连续函数（指下凹函数），则有积分不等式定理2.49设，在上连续，且，是上的连续凸函数，则有定理2.510若在上可积，则二元函数，在平面区域上可积，且定理2.63若,g(x)在上可积，且，则定理2.711设在0,1内是非负连续函数，其值域为M，在M上一致收敛于，则有引理2.14设且若，及都有，则，其中：；、的关系.引理2.28变
6、上限函数，有一非常好特性，即：引理2.38若函数,在皆可积，则引理2.42若与区间上，连续函数,满足，其中不等号至少对于中某一点处成立，则有：引理2.56设函数和在闭区间上为正且可积，且，则而上式结论等号成立的充要条件是存在不为零的实数，使得=.3.定积分不等式证明方法的归纳及举例在微积分中，不等式的证明是一个难点，用来证明积分不等式的方法也不是很多下面是我看了许多资料文献总结归纳的一些证明方法并加以实例说明.这几种典型的证明方法对于掌握微积分的一些重要结果是有益的，在以后的微积分学习中也会有一些帮助.3.1利用构造辅助函数的证明法证明思路：1）首先将积分上限（或下限）换成相应字母亦换为，移项
7、是一端为零，另一端作为辅助函数.2）再由的单调性即可得证.例1设在上连续且严格递增，证明：证明：令，因为，且在上严格单调递增，则，故可知：那么在上严格递减，又因为，所以,即：3.2利用拉格朗日公式的证明法证明思路：1）利用这两个公式来加以证明。例2设在上有一阶连续导数，.证明:.证明：设,于是有：将（1）代入（2）式得又因为且则可得3.3利用莱布尼兹公式的证明法证明思路：1）首先应用公式，2）再由定积分性质做不等式的适当放缩即可得证。例3设在上可积且，证明：证明：因为故，于是：即得：3.4利用泰勒公式的证明法证明思路：1）首先写出的泰勒的展开式；2）再由积分性质不等式的适当放缩就可证明。例4设
8、在上二阶可导，证明.证明：的一阶泰勒展开式为又则，故，于是：因为，故即得：3.5利用积分中值公式的证明法3.5.1利用积分第一中值公式的证明法证明思路：1）首先利用公式，2）一般取为具体函数，再通过作不等式的适当放缩即可证。例5设在上连续且单调递增，证明证明：我们可转换证，因为在上单调递增，故那么可知，即证.3.5.2利用积分第二中值定理公式的证明法证明思路：1）首先利用公式，2）一般取为具体函数，再利用的单调性得证。例6设在上可积且单调递增，证明证明：因为单调，由积分第二中值定理可得：又因为由在上可积且单调递增，则有：3.6利用重要不等式的证明法证明思路：1）利用Schwarz不等式，2）再
9、寻找合适的与即可证明。例7设在上连续可导，证明证明：因连续，故利用Schwarz积分不等式，有：因为，故将上式两端从到积分：即证.3.7利用变上限函数的特性的证明法证明思路：应用变上限函数的这一非常好的特性,由此就可以证明定积分不等式。例8设函数在上连续且单调增加，说明对任何函数，不等式成立.证明：令有：，而且由积分中值定理可知，故：（因为单调递增）所以3.8利用Cauchy不等式的证明法证明思路：利用公式即可证明.例9设函数在上导数连续，证明.证明：，(A)又因为，（B）由（A）与（B）得，即.3.9利用Taylor公式及余项的证明法证明方法：在定积分证明中，若被积函数具有二阶及二阶以上导数
10、时，我们可利用Taylor公式可对于其余项做放缩处理，进而可证明定积分不等式。例10设是上的非负函数， ，证明.证明：首先对在点处用Taylor公式展因为，所以，那么从两边取0到的积分，就得：即有：3.10利用积分的性质的证明法证明方法：利用两条定积分的性质证明定积分不等式。1)若在上，,则，2)和为在上的最大值和最小值，则例11时，证明证明：有：即有，那么从两边取0到1/2的积分，就得：，即.3.11利用函数的单调性的证明法证明思路：可导函数在内严格递增（递减）且则时，.例12设在上可微，且当时，试证：证明：令，因为，故只要证明在内有，事实上：已知（当，故时，f(x)0，记：，则于是：（当，
11、）3.12利用平均值不等式的证明法证明思路：对任意n个实数时，恒有成立，即几何平均值不大于算术平均值，就可证明。例13直函数在上连续，试证：证明：由已知条件知，)在上可积，将分等分，作积分和所以，应用均值不等式故得：3.13利用定积分换元法证明不等式的证明法例14设在上连续且单调递减，试证明对于任何都有不等成立。证明设则，当时，当时，于是由于，即,又单调递减，故，所以，即得:3.14利用比较原理的证明法.证明思路：应用比较原理即，1），2）这两个公式来加以证明。例15设在上连续单调递减，则对于任何都有不等式证明：由于在上单调递减，则即对任意有有：成立，而故：.3.15利用定积分的定义的证明法.
12、证明思路：利用定积分定义的公式来证明定积分不等式。例16设在上连续，且，则证明：把区间分成等分，其分点为因为，故根据算术平均值与几何平均值的关系，有，两边取对数得：根据及的联系性时，有：；于是；4.定积分不等式的应用及推论4.1 P. Schwarz积分不等式的反向不等式的推广形式的应用。例 17应用引理2.5结论得而上式结论等号成立的充要条件是存在不为零的实数，使得证明：我们将上式中，若再令，则有，最后我们可得到不等式，上式(2)不等式的实质就是P. Schwarz积分不等式的反向不等式的推广形式。注：P. Schwarz积分不等式是指：若函数g(x)和在闭区间上可积，并在上，则4.2在证明
13、Holder不等式的应用.例18设那么有。证明：不妨设当。不等式显然成立.首先构造函数，当时，；当时，；由定理知满足引理的条件，由上述引理知；取，可得，证明完毕.4.3在二重积分上的应用例19设函数，在上连续且递增，证明：证明：设其中：（）由于区域D关于对称，故又有，所以，由,的单调性知：于是有，即得：5总结及后续工作通过对上述积分不等式几个证明方法的介绍，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识和高等数学的知识结合起来，拓宽了我们的视野让我们看到教材上的结论和方法并不终极，提高了我们的发散思维能力和创新能力.通过立体已达到融会贯通，举一反三，触类旁通的境界.我还会在将来更扎实的掌握微积分基本定理，并利用各种可能的技巧和手段，分析所给条件，巧妙利用函数的各种特性，再结合适当的方法，最后经严格推导、运算、得出证明结果.
