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1、浅谈积分不等式的证明摘 要积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。关键词：定积分,概率论，积分不等式，泰勒公式Abstract The proof of integral inequality is flexible，s
2、killful and complex . Every method has its feature. However, it also has law to obey. The article explains some methods. By analysis course of some examples, I sum up some methods of proving integral inequality.The article mainly has two aspects. Firstly, the article explores ten methods of proving
3、Integral inequality with the nature of definite integral，Mean value theorem of differential, mean value theorem of integral，Schwarz inequality, Taylor formula, probability knowledge and double integral and so on. Secondly, the article has studied the proof of Gronwall integral inequality and its app
4、lication. What is more, some integral inequalities have been generalized by the article. Keywords:Definite Integral, Probability, Integral Inequality ,Taylor formula.目录引言.1第一章 积分不等式的证明方法.21.1利用定积分性质证明积分不等式.21.2利用中值定理证明积分不等式.31.3利用施瓦兹不等式证明积分不等式.41.4利用二重积分证明积分不等式.51.5利用反证法证明积分不等式.61.6利用线性变换证明积分不等式.71.
5、7利用泰勒公式证明积分不等式.71.8作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式.81.9利用概率论方法证明积分不等式.81.10利用Gurland不等式证明积分不等式.10第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用.122.1Gronwall积分不等式的证明及其应用.122.2对某个积分不等式的推广.152.3数值积分不等式.162.4 Steffensen不等式.17结束语.19参考文献.20谢辞.21引 言积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。根据不同积
6、分不等式特征，采取不同的方法 .此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。第一章：积分不等式的证明1.1利用定积分的性质证明积分不等式例1：已知在上连续，对任意的x,y都有求证：证明： 总结：此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理例2：试证分析：此题主要可用定积分的性质处理因为定积分的保不等号性；若函数和在区间上可积，且对，有，则由此只需证证明：由定积分的保不等号性，只需证当时，因，所以，即，且，是增函数，所以即，因而时，结论成立。1.2利用中值定理来证明积分不等式例1：设在上连续，内可导，而，求证：证明：由拉格
7、朗日中值定理有：。，于是，而故，即。例2；设在有连续函数导数，且，设，试证：证明：对在上使用拉格郎日定理，有所以对上式积分再对在上施以拉格郎日定理，有所以对上式积分由得证。总结：当已知在上连续，内可导。时，使用拉格郎日定理。，再根据题意进行不等式缩放。有时也使用积分中值定理，例1：设在上连续，试证：证明：由积分中值定理有又故即证。利用施瓦兹不等式证明积分不等式施瓦兹不等式：若函数，在上可积，则例1：证明证明：取，由施瓦兹不等式有：=即。例2：已知函数，在上连续，=1,k为任意实数。求证由施瓦兹不等式，有同理由得。1.4利用二重积分证明积分不等式例1设函数为上的单调减少且大于0的连续函数，求证：
8、证明：令 =同理I=两边相加整理得2I=，命题得证。总结：当题设条件中告知被积函数减少或增加时，并没有指明是否可导，且积分区间相同时，将命题化为差式利用变量的对称式化为二重积分来进行证明。例2：证明施瓦兹不等式若在上可积，则证明： 由不等式知：=。利用反证法证明积分不等式当命题只对某一个别点成立时，最好使用反证法例1：设函数为上连续，求证：存在一点x当时，使证明：反证法：若时，则因此，是连续的，必有这与相矛盾，存在一点x当时，使。1.6利用线性变换证明积分不等式如果问题涉及到函数在上的均值，那么对均值作线性变换。即令有目的是将定义在不同区间上的两个定积分都化为区间上的定积分，统一区间后的两个定
9、积分，就易于比较了。例1：设为上单调增加的可积函数，则证明：当时结论成立，只需证，经线性变换后，即证，由于上单调增加，利用定积分的单调性知结论成立。1.7利用泰勒公式证明积分不等式当被积函数有高阶导数时，又已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明例1：设，求证证明：将在处展开成一阶泰勒公式由于将上式两边在上对积分得，即 =即。1.8.作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式把不等式中所有积分上限或下限相同的字母也改为x，移项使不等式的一端为0，则令另一端的式子为，则问题转化为0，则用单调性来证明不等式即可，值得说的是，题设中若仅知被积函数在某区间上连续时，一般都用此法。例1：设在上连续且单调减少，
10、证明证明：设，。利用概率论方法证明积分不等式在概率论中，连续性随机变量的概论分布函数，数学期望与积分有一定联系，这使得用概论论思想方法证明某些积分不等式成为可能。预备知识定理：设为随机变量，若为连续上凸函数，则有；若为连续下凸函数，则有定理：若是一个二维随机变量，又则有例1：证明Cauchy不等式若与在上连续，则证明：设随机变量的概率分布及概率密度分别为则由定理2知，把以上各式代入即得证。例2：证明凸函数不等式设为在上连续的下凸函数，则证明设随机变量的概率分布及概率密度分别为为下凸函数，有定理1知成立此即又故将上式两端积分 ，可得综上可知原不等式成立。总结：用概率论思想方法证明积分不等式，关键
11、在于构造概率分布函数和概率密度函数。本节各证明过程中涉及到的随机变量都是一维连续的。如果构造适当的二维连续随机变量，还可以用概率论的方法证明许多与二重积分相关的不等式。利用Gurland不等式证明积分不等式Gurland不等式:定理：设，是两个同向单调函数，且至少有一个连续，则，若是两个反向单调函数，则不等式反号。例1：设在闭区间上连续，且单调增加，证明证明：设X随机变量概率密度为：=由单调增加知 代入得证：例2：设在闭区间上连续，函数且单调减少，证明证明：设X随机变量概率密度为：=由单调减少知 代入得证： 。第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用Gronwall积分不等式的证明及其应
12、用 Gronwall积分不等式定理：设k为非负常数，函数，在闭区间上连续非负，且满足不等式 则，特别是错误证法一：设，用乘不等式的两边：，用乘以不等式的两边：两边从a到t积分；并由,得所以。总结：上述证明过程中有一个不严密的地方：不等式是不正确的。这里不等式是在两边同乘以dt得到的。但由数学分析的知识可知，dt是t自变量的增量,而增量是可正可负的。直接用dt乘以在的两边而保持不等号不变号不变得到式的做法是错误的。正确证法一：设，用乘不等式的两边：用乘以不等式的两边两边从a到t积分, 所以错误证法二：由条件不等式得：两边从a到t积分,得由上式不等式和条件不等式，得总结：上述证明过程中有一个不严密
13、的地方：不等式是不正确的。因Gronwall不等式条件中要求ko, ,这样就不能保证是不恒为0的。正确证法二：当k0时，由条件不等式得：两边从a到t积分,得由上式不等式和条件不等式，得当k=0时，条件这时不等式变为,结论变为事实上，从而而由任意性可知综上例1：利用Gronwall积分不等式证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性部分。已知初值函数有解，证明其解唯一。证明：初值问题的等价积分方程是设是初值问题的解，假若还有另一解，则因有 其中常数。由定理有即即：，同理可证：，证毕。2.2对某积分不等式的一个推广参考文献有结论：设函数在区间上严格增加，n等份将区间，取，则有不等式
14、。推广定理：，取，则有证明：设，是函数在区间上关于等n份分法的上和，在区间上严格增加, 于是就有现证式中等式不成立，为此我们证明存在数列的一个子列，使严格减少于，若能如此，则有考虑子列，由于在上严格增加，对每个由，就有此时=可见子列严格减少由Darboux定理得由于且有的一个子列，严格减少于，所以。推论1：，取，则有不等式。推论2：取，则有不等式。推论3：，则。2.3数值积分不等式参考文献有结论：令，若若f在区间内可微且当0x1时，则。推广定理：令若f在区间内可微，且当axb时，则证明：令n由积分中值定理，存在，使得又由微分中值定理有，存在，使得，从而。 Steffensen不等式 ：定理：设
15、在上可积，f在上单调减少，式中则：。证明：= = =。结束语从以上文章分析可见，根据不同积分不等式特征，采取不同的方法 .此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。参考文献 匡继昌常用不等式山东：科技出版社，2005，321-425 吴良森 数学分析习题北京：科技出版社，1998
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