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1、【标题】浅谈求数列通项公式的几种方法 【作者】豆 远 利 【关键词】数列；通项公式；等差数列；等比数列 【指导老师】王晓云 米永生 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言数列通项公式直接表述了数列的本质，是给出数列的一种重要方法。数列通项公式具备两大功能，第一，可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；第二，可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。数列是现行高中数学教材中的重要内容。由数列递推公式求数列通项公式的解题方法是数学中针对性较强的一种数学解题方法，是培养学生思维深刻性的极好的范例。在学习数列时，如果我们把一个数列的各项之间的内在规律搞清楚，那么我们就能抓住最重要
2、的信息来把握整个数列。数列的通项公式揭示了第项与项的序号的关系。掌握此规律有助于学生理解数列的概念以及数列与函数的关系，加强学生对知识的横向联系，促进学生对知识进一步掌握；有利于培养学生的创造力、观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴趣。数列是高一数学教与学的重点和难点，求数列通项公式是“数列”一章研究的主要问题，在求数列通项公式时，因为一般数列没有统一的通项公式，同学们常因不得解题要领而束手无策。数列是在紧接着第二章函数之后的内容，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。求数列通项的实质是关于正整数为自变量的函数解析式.学习数列一
3、方面可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数；另一方面，又可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。但是一般数列一直没有统一的通项公式，这是中学数学教学的一大难点，还需要我们去近一步的研究。2预备知识定义1：按一定次序排成一列的数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列第项（或首项）、第项、第项、第项、。数列的一般形式可以写成，其中是数列的第项。有时我们把这个数列简记为.如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。定义2：如
4、果一个数列从第项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。等差数列的前项和的公式为,这个公式还可以写成.定义3：如果一个数列从第项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.等比数列的前项和的公式为当时，这个公式还可以写成；当时,.3数列通项公式的几种求法3.1观察归纳法通过观察数列的前面几项，发现它们所反映出来的内在规律，归纳出数列的一个通项公式。例根据下面个数列的前几项，写出数列的一个通项公式.、解：、知,其中、知,其中、知,其中、注：一般地，行如数
5、列、（其中）的通项公式为；而行如、（其中）的通项公式为.其中、通过观察发现数列的内在现象，在通过归纳找出规律，通过规律抽象出一般的结论，体现了由特殊到一般的思维规律。3.2利用递推公式求通项公式的方法3.2.1形如的递推式，（其中，为等差数列或等比数列的通项公式）通常此类问题可以用等差或等比数列的叠加解题求其通项。例1数列满足，且，求数列的首项及通项公式.解：相加得：又即例2在数列中，且，求数列的通项公式.解：相加得：即所求通项公式为例3（2004年全国高考卷）已知数列中，且，其中、求、;求的通项公式.解：，同理：上面各式分别相加得：.于是.的通项公式为：当为奇数时，.当为偶数时，.3.2.2
6、形如的递推式，因为，令由有，所以，整理得：.所以.可见数列是首项为，公比为的等比数列。所以.故：.例1已知数列中，求数列的通项公式解：（法一）.设.数列是以首项为2，公比为3的等比数列。，即.（法二）此类问题还可以用消常数项法求解由得：又.数列是首项为6，公比为3的等比数列。、所以，上面各式相加得：.例2在数列中，且，求.解：.设（其中为常数）.即对应于得.又.数列是以首项为，公比为的等比数列。.3.2.3形如的递推式（为等差或等比数列的通项）利用迭代法，有、上面各式相乘（或代入），得：.例1在数列中，且，求通项公式.解：.、上面各式相乘得：.注：一般地，当（为常数）且时，可采用此例题运用的方
7、法。例2已知数列满足，且，求数列的通项公式.（分析：由于,不是形式，则应想法把它变成的形式。如何变呢？我们发现，当把等式两边同时乘以时有，则有，把式代入式得：，即：问题迎刃而解）.解：.、.各式相乘得：.3.2.4形如的，（其中、，且、为常数）先变形为，所以,再令,.上式代为.（即为类型求解）.或直接令,.在采用倒数变换转化为等差数列或拆分变化的情形。例在数列中，若,且,求此数列的通项公式。（分析：原式变形为,再变为,即得）解：原不等式变为,即得：.令,.所以有（即为上述第二种情况）.在令,即,所以,故数列是以首项为,公比为5的等比数列，即.所以,所以（当时也成立）.注：构造一个新的等比数列其
8、实也是一种方法，对于此类问题，也常用“猜想加证明”的数学归纳法进行处理。3.2.5形如型的（其中为常数）如果方程有解，取为它的任一根，在递推方程两边同时减去可得：,简单整理有,再令即可化为上面那一类型。例在数列中，,求数列的通项公式解：方程的根为：,任取一根，不妨取.因为,所以.所以.再令,上式化为：.利用上一类型的方法可求得.所以.3.2.6形如的递推式对于（其中为常数且，且），可利用对数的运算法则，将积、商、幂的形式化为和、差、倍的形式，从而构造出新的等差或等比数列。例已知数列满足,求数列的通项公式.（分析：由于出现幂的形式,故考虑将数列转化为积的形式）解：,.对的两边取对数得：.,又.数
9、列是首项为,公比为3的等差数列。,.注：本例通过等价转换，构造数列这一等比数列，解题思想与前面所述方法类似，但值得注意的是在对取对数的时候，应保证大于0.3.2.7形如的递推式在中（，为等差或等比数列的通项），因为,所以令,则上式变为,即转化为型求解。例1数列中，,求数列的通项.解：因为,所以在等式两边同时除以,得：,在令则上式变为,即.所以,.上面各式两边分别相加得：,所以,所以,当时，不满足，所以所求数列通项公式为例2（2003年高考题）在数列中，,且求数列的通项公式。设为常数，且,求数列通项.解：由递推公式得：,令.则原式变为,故是以公差为,首项为1的等差数列，因而.所以.设,用代入可解
10、得：,所以数列是以公比为,首项为的等比数列，所以,即.注：第题是结合运用待定系数法，根据题设条件确定常数,进而转化为等比数列求解的。3.3利用前项和求通项公式如果数列的前项和为，则通项与的关系为,当满足时，通项公式为.例1已知数列的前项和为,其中,求数列的通项公式。解：当时，因为,所以,当时，,符合。所以数列的通项公式为.例2已知数列和首项,且,求此通项公式。已知数列的前项和为,其中,且当时，,求.解：由已知得,所以,即.所以是以首项为,公比为2的等比数列，所以,所以.当时，.所以,所以数列是以首项为,公差为的等差数列。而时，,所以.所以,所以.所以.所以.注：上述解法体现了与之间的转化，最后
11、归纳为等差或等比数列求出通项公式，但值得注意的是不要忽略的情况。例3（2004年全国卷3）已知数列的前项和为,且满足.求数列的通项公式。解：当时，有,所以所以经验证也满足上式，所以.注：本题得出的递推式与的形式有所不同，因为在中为常数，而不是定值，故在解题时应注意区分，否则会出错。3.4解方程法此类问题常为：已知一个函数，且数列满足等，（为等差或等比数列的通项公式），在解此类问题时，常将代入中即可。例1已知函数,数列满足,求数列的通项公式.解：因为数列满足,且,所以.所以,解得：.例2已知函数,若正数数列的前项和对所有大于1的自然数，都有且，求数列的通项公式。解：由已知可得,所以当时，有,即,
12、由此可知数列是以首项为,公差为的等差数列，所以,所以,当时，仍满足。所以数列的通项公式为.3.5利用辅助线法对于非等比等差的数列，我们可以根据题设给出的关系特征，通过变形转化，构造出一个新数列，使其成为等差或等比数列，从而进一步可求出原数列的通项公式。例如图1.2，直线与相交与点，直线与轴交与点，过做轴的垂线交直线于点，过做轴的垂线交直线于点，过点做轴的垂线交直线于点，这样一直下去，可以得到一系列点点的横坐标构成数列，求数列的通项公式。解：设点的坐标为,由已知条件得点的坐标是,点的坐标为,由在直线上,得,所以,即.(图1)又因为,所以.故知数列是首项为,公比为的等比数列，从而.所以.注：本题正
13、是巧妙的运用了点的坐标是，从而得出的坐标的。例2（05年重庆文）已知数列满足,且,记.求的值。、求数列的通项公式及数列的前项和.（本题只求数列的通项公式）解：由于,则,代入中，得：,两边同时减4得,即：.所以数列是以为首项，公比为的等比数列。所以.所以.即数列的通项公式为.4总结数列是连接初等数学与高等数学的桥梁，要想对数列的研究进行扩展或延伸，必须要知道其通项公式。本文只是介绍了几种常见的求数列通项公式的方法，可以看到，求数列（特别是以递推关系式给出的数列）通项公式的确具有很强的技巧性，与我们所学的基本知识与技能、基本思想与方法有很大关系，因而在平日教与学的过程中，既要加强基本知识、基本方法、基本技能和基本思想的学习，又要注意培养和提高数学素质与能力和创新精神。这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学的效率，注意多加总结和反思，注意联想和对比分析，做到触类旁通，将一些看起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有利于形成和发展创新的思维。
