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1、第5章 第5课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1已知数列an是首项为a14的等比数列，且4a1，a5，2a3成等差数列，则其公比q等于()A1B1C1或1 D.解析：依题意有2a54a12a3，即2a1q44a12a1q2，整理得q4q220，解得q21(q22舍去)，所以q1或1，选C.答案：C2已知正数组成的等差数列an的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为()A25 B50C100 D不存在解析：由S20100得a1a2010，a7a1410.又a70，a140，a7a14225.故选A.答案：A3已知正项数列an的前n项的乘积等于Tnn26n(nN
2、)，bnlog2an，则数列bn的前n项和Sn中的最大值是()AS6 BS5CS4 DS3解析：Snb1b2bnlog2(a1a2an)log2Tn12n2n22(n3)218，n3时，Sn的值最大故选D.答案：D4已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN)的直线的斜率是()A4 B3C2 D1解析：S210，S555，a1a210，55，即a5a23d12，解得d4，而点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN)的直线的斜率kd4，故选A.答案：A5“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一
3、秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是()A10秒种 B13秒种C15秒种 D20秒种解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an，则数列an是首项为a12，公差为d2的等差数列，由求和公式得na1240，即2nn(n1)240，解得n15.故选C.答案：C6共有10项的数列an的通项an，则该数列中最大项、最小项的情况是()A最大项为a1，最小项为a10 B最大项为a10，最小项为a1C最大项为a6，最小项为a5 D最大项为a4，最小项为a3解析：an1，则an在n3且nN时为递减数
4、列，n4，nN时也为递减数列，1a1a2a3，a4a5a6a101.故最大项为a4，最小项为a3，故选D.答案：D二、填空题7数列an中，Sn是前n项和，若a11,3Sn4Sn1，则Sn_.解析：S1a11，又SnSn1，故数列Sn是以1为首项，为公比的等比数列，故Snn1.答案：n18秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有_解析：由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为2的等差数列，所以a1a2a29a30151
5、522255.答案：2559已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 009项之和S2 009等于_解析：由题意an1an1an，anan2an1，两式相加得an2an1，an5an1，即an是以6为周期的数列2 00933465.a1a2a2 009a1a2a3a4a52 0082 00912 0082 0091，即S2 0091.答案：1三、解答题10一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮
6、袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak(k1,2,3，n)试求：(1)a1，a2，a3；(2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？解析：(1)由题意得a1n1，a2(n1)(n2)12n4，a3(n1)(n2)(n3)123n9.(2)在第k站出发时，放上的邮袋共：(n1)(n2)(nk)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：123(k1)个，故ak(n1)(n2)(nk)12(k1)knk(k1)k(k1)knk2(k1,2，n)，即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋个数为knk2(k1,2，n)11(2011江苏南通一模)设等差数列an的前n项和为Sn，且a5
7、a1334，S39.(1)求数列an的通项公式及前n项和公式；(2)设数列bn的通项公式为bn，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m3，mN)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解析方法代码108001068】解析：(1)设等差数列an的公差为d.由已知得即解得故an2n1，Snn2.(2)由(1)知bn.要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2b1bm，即2，整理得m3，因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.当t2时，m7；当t3时，m5；当t5时，m4.故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列12(2011北京崇文一模)已知数列an的前n项和为Sn，且Snn2n.数列bn满足bn22bn1bn0(nN)，且b311，b1b2b9153.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn对一切nN都成立的最大正整数k的值【解析方法代码108001069】解析：(1)当n1时，a1S16；当n2时，anSnSn1n5.而当n1时，n56，ann5.又bn22bn1bn0，即bn2bn1bn1bn，bn是等差数列，又b311，b1b2b9153，解得b15，d3.bn3n2.(2)cnTnc1c2cn.Tn1Tn0，Tn单调递增，故(Tn)minT1.令，得k19，所以kmax18.
