《高中数学典型例题解析不等式5.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学典型例题解析不等式5.doc（25页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、高中数学典型例题分析第五章不等式5.1不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式axb(1)当a0时，解为；(2)当a0时，解为；(3)当a0，b0时无解；当a0，b0时，解为R2. 一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1x2 类型解集ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx20xx-，xRRxx=-0RR3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：将f(x)的最高次项的系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积；将每一
2、个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成0或0的形式，转化为整式不等式求解，即：0f(x)g(x)00然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不
3、等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解注意分类.三、经典例题导讲例1 如果kx2+2kx(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是.A. 1k0 B. 1k0 C. 1k0 D. 1k0错解
4、：由题意：解得：1k0错因：将kx2+2kx(k+2)0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k0的情况.正解：当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立， k0符合题意.当k0时，由题意：解得：1k4故选D.错因：忽略了a4时，x|2x4x|2xa，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要条件,x|2x4x|2xaa4故选C.例3已知f(x) = ax + ，若求的范围.错解： 由条件得 2 2得 +得 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时，不一定取最
5、大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有, 解得： 把和的范围代入得 例4 解不等式（x+2）2(x+3)(x2)错解：（x+2）2原不等式可化为：(x+3)(x2)原不等式的解集为x| x 3或x错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x2) 或（x+2）2(x+3)(x2)，解得：x=3或x2或x2解得：x 3或x2原不等式的解集为x| x 3或x或x例5 解关于x的不等式解：将原不等式展开，整理得： 讨论：当时，当时，若0时；若0时当时，点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.例6关于x的不等式
6、的解集为求关于x的不等式的解集解：由题设知，且是方程的两根， 从而 可以变形为即： 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.例7（06年高考江苏卷）不等式的解集为解：，0， 解得反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利
7、用函数的单调性等等.四、典型习题导练1.解不等式2. 解不等式 3.解不等式 4. 解不等式 5.解不等式6.k为何值时，下式恒成立：7. 解不等式8. 解不等式5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: 是一个含有两个变 量 和 的 函数，称为目标函数2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和
8、财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时
9、，直线必须经过可行域4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲例1 画出不等式组表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组
10、表示的平面区域.例2 已知1xy2,且2x+y4,求4x2y的范围.错解：由于1xy2,2x+y4,+ 得32x6 (1)+ 得：02y3 .2+(1)得. 34x2y12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：令z4x2y，画出可行域如右图所示，由得A点坐标（1.5，0.5）此时z41.520.55.由得B点坐标（3，1）此时z432110.54x2y10 例3 已知,求x2+y2的最值.错解：不等式组表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)23
11、7，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由得A点坐标（4，1），此时zx2+y242+1217，由得B点坐标（1，6），此时zx2+y2（1）2+(6)237，由得C点坐标（3，2），此时zx2+y2（3）2+2213，而在原点处，此时zx2+y202+020，当时x2+y2取得最大值37，当时
12、x2+y2取得最小值0. 例4某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？分析： 数据分析列表书桌书橱资源限制木料（m3）010290五合板（m2）21600利润（元/张）80120计划生产（张）xy设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为 2x+y-600=0 A(100,400) x+2y-900=0 2x
13、+3y=0目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为zmax=80100+400120=56000(元)若只生产书桌，得0x300，即最多生产300张书桌，利润为z=80300=24000（元）若只生产书橱，得0，先假设，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或
14、多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如+=1，可以用=1-，=或=1/2+，=1/2-进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分
15、母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，
16、一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的
17、限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用.三、经典例题导讲例1 已知ab(ab),比较与的大小.错解： ab(ab)，b(ab)，(1)当a、b同号时，即ab0或ba0,ba0, ,0,b0,.例2 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.错解：所以选B.错因是由于在、中很容易确定最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏与前三者的大小比较.正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而，由当ab时，a+b2,两端同乘以
18、，可得（a+b）2ab, ，因此选D.例3 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.错解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当
19、a=b=时，等号成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例4 已知0 x 1, 0 a 1，试比较的大小.解法一： 0 1 - x2 1, 解法二： 0 1 - x2 1, 解法三：0 x 1, 0 1 - x 1, 1 1 + x 2, 左 - 右 = 0 1 - x2 1, 且0 a 0，求证： 证：构造函数 则， 设2ab 由显然 2a 0, ab - 1 0, ab 0 上式 0f (x)在上单调递增，左边四、典型习题导练1.比较（a+3）(a5)与（a+2）（a-4）的大小.2.已知a,b,c,d都是正数，求证：3.已知x 0 , y 0，2x + y = 1，求证：4
20、.若，求证：5.若x 1，y 1，求证： 6证明：若a 0，则5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中
21、有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”为模型的新的形式.三经典例题导讲例1求y=的最小值.错解： y=2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=,则t,于是y=由于当t时，y=是递增的，故当t2即x=0时，y取最小值.例2m为何值时，方程x2+(2m+1)x
22、+m23=0有两个正根.错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根. 例3若正数x，y满足，求xy的最大值解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号因，则，即，所以的最大值为.例4已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值因此最大值一定要用S来表示首要问题是列出函数关系式设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc由于a+b+c不是定
23、值，所以肯定要对函数式进行变形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=S而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水
24、池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC中，APB=BPC=CPA=90，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切R都有.5青工小李需制作一批容积为V的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里时)的立方成正比已知某轮船的最大船速是18海里时，当速度是10海里时时，它的燃料费用是每小时30元，其
25、余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明 一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3. 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4. 归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性
26、命题（猜想）.5. 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7. 演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8. 直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法反证法.9. 分析法：从原因推导到结果的思维方法. 10. 综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法. 11. 反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12. 应用反证法证明命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题
27、结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；间接证明命题为真.13. 数学归纳法：设pn是一个与自然数相关的命题集合，如果证明起始命题p1成立；在假设pk成立的前提上，推出pk1也成立，那么可以断定，pn对一切正整数成立.14. 数学归纳法的步骤： （1）证明当 （如 或2等）时，结论正确； （2）假设 时结论正确，证明 时结论也正确二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理. 而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据
28、：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲例1 是正数组成的数列,其前n项和为,并且对于所有的自然数,与2的等差中项等于与2的等比中项.(1)写出数列的前3项;(2)求数列的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2. (N).当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.这就是说,当n=k+1
29、时,上述结论成立.根据、,上述结论对所有的自然数n成立. 错因在于解题过程中忽视了取值的取舍.正解：由(1)猜想数列an有通项公式an=4n-2.猜想数列有通项公式=4-2.下面用数学归纳法证明数列的通项公式是=4-2. (N).当=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述结论成立.假设n=k时结论成立,即有=4-2.由题意,有将=4-2代入上式，得，解得由题意,有将代入，化简得解得.由这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据、,上述结论对所有的自然数n成立. 例2用数学归纳法证明对于任意自然数， 错解：证明：假设当（N）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立
30、可知等式对任意N成立错因在于推理不严密，没有证明当的情况 正解：证明：（1）当时，左式，右式，所以等式成立（2）假设当（）时，等式成立，即，那么当时，这就是说，当时，等式成立由（1）、（2），可知等式对任意N成立例3是否存在自然数，使得对任意自然数，都能被整除，若存在，求出的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由分析本题是开放性题型，先求出，再归纳、猜想、证明解：，猜想， 能被36整除，用数学归纳法证明如下：（1）当时，能被36整除（2）假设当，（N）时，能被36整除那么，当时， 由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除 能被36整除，这就是说当时命题成立由（1）、（
31、2）对任意，都能被36整除当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大例4 设点是曲线C：与直线的交点，过点作直线的垂线交轴于，过点作直线的平行线交曲线C于，再过点作的垂线作交X轴于，如此继续下去可得到一系列的点，如图，试求的横坐标的通项公式分析 本题并没有指明求通项公式的方法，可用归纳猜想证明的方法，也可以通过寻求与的递推关系式求的通项公式解：解法一 与（，）联立，解得直线的方程为，令，得，所以点直线的方程为与联立，消元得（），解得，所以点（，）直线的方程为，令，得，所以点同样可求得点（，0）由此推测（，0），即用数学归纳法证明（1）当时，由点的坐标为（，0），即，所以命题成立（2）假
32、设当时命题成立，即，0），则当时，由于直线的方程为，把它与（，）联立，消去可得（）， 于是 即点的坐标为（，） 直线的方程为令得，即点的坐标为（，0） 当时，命题成立解法二设点，的坐标分别为（，0）、（，0），建立与的递推关系，即，由数列是等差数列，且，公差可求得（）， 用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k1常利用几何图形来分析图形前后演变情况例5 有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2-n2个部分证明当n1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2又n1时，n2-n22，命题成立假设nk时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2-k2个部分，那么设第k1个圆记O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点把O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k1)k2-k22k=(k1)2-(k1)2即nk1时命题成立由可知对任何nN命题均成立说明: 本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k1个圆与其它k个圆的交点个数问题 例6 已知n2，nN假设n=k时，原不等式成立
