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1、数学双基与高考试题 此文系作者为张奠宙先生主编的中国数学双基教学的理论与实践一书第十章“数学双基与考试命题”撰写的书稿。高考，是现今最为公平有效的全国性选拔考试。高考的内容和和考察方式历年来都受到社会各阶层的广泛关注。高考中的数学考试是对中学数学教育的一次最具权威性的总结性评价。因此，高考数学试题的考试内容和考察方式对中学的数学教学发挥着直接的影响和指挥棒作用，高考数学试题的方向也就成为了中学数学教学的风向标。在中学数学教学中，高考数学的内容成为高中数学教学重点确定的重要依据。而人们广泛谈论的数学双基与数学高考之间有何关系？或者说数学高考试题是怎样考察数学双基的？数学双基在高考数学试题中的比例
2、有多大？这些问题在目前我国还统一实行高考的制度下就自然成为数学双基教学研究不可回避和必须回答与研究的问题。本文我们通过对2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学文理科试题的分析对这些问题作一些研究和探讨。一、 2007年高考全国卷（）文科数学试题分析为了便于了解数学双基与高考数学试题的关系和便于研究试题对双基考察的程度，我们将整套试题分为纯双基考查的题、双基掌握的题和探索创新题三类。所谓纯双基考察的题，是指试题考察的内容为教材中的基本知识与基本技能，不需要太大的运算和太高的综合运用知识的能力就能解答的题，思维层次不是很高；双基掌握的题，是指决定于双基的题。解答这类题需要灵活运用基础
3、知识与基本技能并具有一定的分析问题和解决问题能力，因此，它要求学生必须真正掌握双基才能正确解答。这类试题主要考查双基的扎实掌握和灵活运用，思维层次较高；探索创新题则已超出双基的范围，主要考察的不是双基的掌握，而是考察学生探索创新的能力，思维层次很高。而且，这类题所考查的内容也不一定是书上的基础知识与基本技能，有些可能超出教材的范围，甚至完全是学生陌生的知识。解答这类题需要学生具有综合运用知识分析问题和解决问题的能力、较强的逻辑思维能力、数学推理能力、探索发现能力和知识迁移能力。这类题的难度一般较大，个别的题难度虽然不很大，但需要学生具有较强的阅读理解能力和知识迁移能力。（一） 纯双基考查的题（
4、1）设，则（） 分析：本题直接考查一元一次不等式（组）的解法、集合概念以及交集运算。只要理解了交集的概念和掌握了一元一次不等式（组）的解法就很容易地解答此题。属于教材最基本的例、习题的要求。 （2）是第四象限角，（） 分析：本题主要考查同角三角函数的基本关系以及三角函数的符号法则，只需掌握同角三角函数的基本关系以及三角函数的符号法则就能解答。（3）（同理科3）已知向量，则与（）垂直不垂直也不平行平行且同向平行且反向 分析：本题主要考查向量的坐标运算及平行与垂直的判定方法，属于教材的例题要求。（4）（同理科4）已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）分析：本题主要考查双曲线的标准方程和几
5、何性质，a、b、c、e基本量的计算，只需简单的计算推理即可得出结论，属于教材的例题要求。（5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（）种种种种分析：本题主要考查分步计数原理以及组合数公式的推理计算，属于教材的例习题的基本要求。（6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）分析：本题主要B1考查线性规划的基本知识，逐一代入验证即可得结论。属于教材的例习题的要求。（7）（同理科7）如图，正四棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（）分析：本题主要考查异面直线所成角的求解问题及余弦定理的运用、空间想像能力，简单的推理计算，属于教材的基本内容。（8
6、）（同理科8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则分析：本题主要考查对数函数的单调性及对数的运算法则，属于教材的基本内容。（9）（同理科9），是定义在上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（）充要条件充分而不必要的条件必要而不充分的条件既不充分也不必要的条件分析：本题主要考查函数的奇偶性的定义及充分必要条件的判断。只要理解与掌握了充要条件的概念与一些常见函数的奇偶性，即可获得答案。（10）函数的一个单调增区间是（） 分析：本题主要考查三角函数性质、三角变换等基本知识，只需要运用降幂公式和余弦型函数的性质就能解答。（11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）分析：本题主要考
7、查导数的几何意义。解答中虽然还要涉及到直线的截距与三角形的面积公式以及数形结合的基本思想，但都是属于最基本的知识与技能，因此仍然属于纯双基类题。以上10个选择题计算量和思维量都不是太大，共计50分，占全卷总分的30。正常情况下，成绩优秀的学生能够在2025分钟内完成它，成绩中等一点的大约在2530分钟内能够完成，至少可以获得40分及以上成绩。（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食
8、盐质量在497.5g501.5g之间的概率约为_分析：本题主要考查样本频率分布估计总体分布的基本知识，仅仅需要识记住基本概念就能计算出结果，属于纯双基类题。（14）（同理科14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则_分析：本题主要考查原函数与反函数图像间的关系及反函数的求解问题，仅仅需要知道指数函数与对数函数的图像是关于直线对称、互为反函数的图像关于直线对称和反函数的求法即可以得出结论，属于纯双基类题。（16）（同理科15）等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_分析：本题主要考查等差、等比数列的定义与n项和公式，仅仅需要掌握等比数列前n项和公式和等差数列的定义，通过解方程便获得
9、结果，属于纯双基类题。（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（）求B的大小；（）若，求b分析：本题主要考查正、余弦定理及基本计算能力，应当说只要能理解掌握两个定理及其运用并具有基本的运算能力，便很容易获得正确答案，属于教材的基本内容，属于纯双基类题。（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元（）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（）求3位
10、顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率分析：此题主要考查互斥事件和对立事件的概率，考查分析问题及解决问题的能力，对于问题（1），直接用独立重复试验或采用对立事件便可以解决，属于纯双基要求。（19）（本小题满分12分）SCDAB四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，（）证明：；（）求直线SD与平面SBC所成角的大小分析：此题主要考查立体几何的基本知识和空间想像能力；对于问题1，纯属于考查面面垂直的性质和三垂直线定理的应用，属于纯双基要求。（20）（本小题满分12分）设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围分析：此题主
11、要考查应用导数研究三次函数的极值和单调性以及解不等式等知识，考查综合分析和解决问题的能力。但对于问题1，根据导数与函数极值的关系建立一个二元一次方程组，解这个方程组即可获得解答，仍然是纯双基问题。（21）（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和分析：本题主要考查等差、等比数列中基本量的求法，以及用错位相减法求数列的前n项和。对于问题1，只需运用等差数列和等比数列的通项公式和已知条件建立方程组即可获得解答。因此，（）仍然是纯双基题。（二）双基掌握的题（12）（同理科11）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部
12、分相交于点，垂足为，则的面积是（）分析：本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的关系，同时考查数形结合的数学思想与转化的思想. 试题由几个基本的知识点构成，解答此题需要考生熟练掌握基础知识与基本的计算技能。属于双基掌握的题。（15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_分析：本题主要考查正四棱锥的性质和球的性质，只要掌握了正四棱锥的性质和球的性质并具有一定的空间想像能力，便容易计算出结果，属于双基掌握的题。（18）（）由独立事件和互斥事件的基本公式的掌握和运用便可以解决，属于双基掌握的题。（19）（）考查线面角的计算，也是一个很常规的问题，通过
13、作、证、算或用空间向量很容易得到结论，决定于双基掌握的题。（20）（）通过对函数的极值的求法和解二次不等式便可以解决。属于双基的掌握。（21）（）对于此问题，是在教材中的错位相减法的基础上有所改编，体现源于教材，高于教材。解答此题需要真正理解与牢固掌握等比数列求和公式的推导方法错位相减法，并能将该方法进一步的引申推广到一般结论：混合数列（一个等比数列与一个等差数列对应项乘积所构成的数列）均可运用错位相减法求和。而且在解答中要求考生真正理解与掌握了错位相减法和具有基本的变形能力才能解决。因此，它属于双基掌握的题。（三）探索创新题（22）（本小题满分12分）（同理科21）已知椭圆的左、右焦点分别为
14、，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P（）设P点的坐标为，证明：；（II）求四边形ABCD的面积的最小值分析：本题考查直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的运用，考查运用所学知识与方法解决问题的能力。此题决定于双基的掌握和通过探索发现才能完全解决。若没有一定的探索发现能力较难解答此题.但（）小题只需初中圆的基本知识和高中椭圆的半焦距计算与不等式的基本知识也很容易解答，因此，（）属于双基掌握题，（）属于探索创新的试题。就以上6道解答题来看，每题都设计了两个问题，第一问均属于纯双基类或双基掌握的问题，除第22题外，对于第二问只要具有较扎实的双基和一定的分析问题的能力也
15、都较容易解决，属于双基掌握的问题。二、2007年高考全国卷（）理科数学试题分析我们将2007年高考国卷（）理科数学试题的题型、所考查双基的内容和各题的分值以表格的形式分析如下：表101 试题题型与考查双基分析表题号题型双基分值1选择题主要考查同角三角函数的基本关系、象限角符号特征和基本运算，属于纯双基考察题。52选择题主要考查复数的基本概念和复数的运算，属于纯双基考察题。53选择题主要考查平面向量的坐标运算及垂直的运算方法，纯双基考察类题。54选择题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，属于纯双基考察题。55选择题主要考查集合相等的概念以及集合元素的互异性，属于纯双基考察题。56选择题主要考查点
16、到直线的距离公式以及二元一次不等式表示的平面区域. 属于纯双基考察的题。57选择题主要考查异面直线所成角的求解问题及余弦定理的运用与空间想像能力和简单的推理计算，属于教材的基本内容，属于纯双基考察的题。58选择题主要考查对数函数的单调性及对数的运算法则. 属于纯双基考察题。59选择题本题主要考查函数的奇偶性的定义及充分必要条件的判断。只要理解与掌握了充要条件的概念与一些常见函数的奇偶性即可获得答案，属于纯双基考察的题。510选择题主要考查二项式定理展开式的通项公式的灵活运用.属于双基掌握的题。511选择题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线的定义. 属于双基掌握的题。512选择题
17、主要考查二倍角的余弦公式与三角变换、复合函数单调区间的求解。要求具有较扎实的基础知识与基本技能方能解答. 属于双基掌握的题。513填空题主要考查分步计数原理与分类计数原理、有限制条件的排列组合问题. 属于纯双基考察题。514填空题本题主要考查原函数与反函数图像间的关系及反函数的求解问题，仅仅需要记住指数函数与对数函数是关于直线对称即可以得出结论，属于纯双基考察题。515填空题本题主要考查等差、等比数列的定义与n项和公式，仅仅需要掌握基本公式，通过解方程便获得结果，属于纯双基考察题。516填空题本题主要考查空间想象能力与线面的位置关系.需要熟练运用双基才能解答，属于双基掌握的题。517解答题本题
18、主要考查正弦定理.两角和与差的正弦.三角函数的值域. （）只需运用正弦定理和已知三角函数值求角即可解答，属于纯双基考察题；（）则需要熟练运用双基才能解答，属于双基掌握的题。1018解答题本题主要考查对立事件、相互独立事件的概率、离散型随机事件的概率及分布列.考查运用概率知识解决实际问题的能力. 本题解答只需掌握这些基本知识与运算技能即可解答，属于纯双基题。1219解答题考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、三垂线定理、直线与平面所成的角.考查空间想象能力和逻辑推理能力. （）小题的解答只需运用面面垂直、线面垂直和三垂线定理即可，属纯双基题；（）的解答则需要综合运用有关知识和具有一定的运算能力才能
19、解答，属于双基掌握题。1220解答题（）小题的解答只需运用导数的求法和均值不等式即可，属于纯双基考察题；（）的解答则需要综合运用函数的最值、函数的单调性、分类讨论思想和综合分析问题和解决问题的能力，属于双基掌握题。1221解答题（）小题的解答只需要圆与椭圆的基本性质即可，属于纯双基考察题；（）的解答则需要综合运用直线方程、椭圆及其标准方程、均值不等式、数形结合思想与分类讨论思想、化归转化思想.并具有较强的运算技能与能力以及综合分析问题和解决问题的能力，属于双基掌握题。1222解答题本题的解答则需要具有较高的观察能力、探究能力、归纳猜想的能力与较高的运算技能和逻辑推理能力.本题解答的一般过程为：
20、观察、运算、猜想得出结论，再用数学归纳法推理证明结论的正确性.属于探索创新能力的考察题。.12从上表的分析中我们可以看出，纯双基题目有选择题中的第1、2、3、4、5、6、7、8、9题，共（45分），填空题中的第13、14、15题，共（15分），解答题中的第17（1）、18、19（1）、20（1）、21（1）题，共（34分），合计94分.占总分的627。决定于双基的掌握的题有选择题中的第10、11、12题（共15分），填空题中的第16题（共5分），解答题中的第17（2）、19（2）、20（2）、21（2），共24分，合计44分，占总分的29.3。22题属于探索创新能力的考察题，12分，占总分的8
21、。为了便于比较分析，我们将前面的分析数据以表格的形式整理如下：题源纯双基考察题双基掌握题探索创新题双基考察比例（总分150）题型题号分值比例题号分值比例题号分值比例全国文数选择题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、115569.312525.32285.394.7填空题13、14、1615155解答题17、18（1）、19（1）、20（1）21（1）3418（2）、19（2）、20（2）、21（2）22（1）28全国理数选择题1、2、3、4、5、6、7、8、94562710、11、121529.32212892填空题13、14、1515165解答题17（1）、18、19（1）、20（1）
22、、21（1）3417（2）、19（2）、20（2）、21（2）24表102. 文理科试题类型、分值比例表三、结论由以上分析可知：高考试题中文科纯双基考察的分值比理科要高，考察取决于双基和探索创新能力的分值都比理科要低，这是由文理科学生数学学习的不同状况所决定的。高考中，纯双基考察的题和双基掌握的题都属于对数学双基的考察，只是考查要求的程度不同而已。把这两者合起来看，高考数学对数学双基考察的分值文、理科分别是94.7和92，而对探索创新能力的考察文理科分别为5.3和8。由以上的数据分析可以使我们获得以下结论： 第一，高考主要考的是双基。因此，在高中数学教学中应主要加强双基教学。只要注重了双基教学，使学生掌握扎实的双基和一定的分析问题和解决问题得的能力，在高考中就一定能获得好的成绩，也就是说“双基决胜高考！”第二，双基教学仍然是当前中学数学教学的主要任务。 第三，创新、发现、探究考察的成分不可能很多，目前的考试方法只能如此。
