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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座9）空间几何体的表面积和体积一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测
2、008年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r
3、2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。四典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积
4、问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1 图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，
5、从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A2 B3 C6 D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b，c，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _
6、 _。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和表面积PABCDOE例5（2006上海，19）在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是P
7、B与平面ABCD所成的角，PBO=60。在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO，于是PO=BOtan60=，而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=2=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。图例6（2002京皖春文，19）在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）（）证明：SCBC；（）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积VSABC。解析：（）证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAAC。又ABAC=A，SA平面ABC。由于ACB=
8、90，即BCAC，由三垂线定理，得SCBC。（）解：BCAC，SCBC。SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中，BC=5，SB=5，得SC=10。在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，SCA=60，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60。（）解：在RtSAC中，SA=，SABC=ACBC=55=，VSABC=SACBSA=。点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型4：锥体体积、表面积综合问题例7ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD
9、所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的距离？解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。设点B到平面EFG的距离为h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例8（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三
10、棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）AS1S2CS1=S2 DS1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9（2002北京理，18）如图924，在多面体ABCDA1B1
11、C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h。（）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（）证明：EF面ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）图（）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1GPQ，垂足为G。如图所示：
12、平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90，ABPQ，ABB1P.B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1HPQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形。PG=（bd），又B1G=h，tanB1PG=（bd），B1PG=arctan，即所求二面角的大小为arctan.（）证明：AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有ABCD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，AB面CDEF。EF是面ABFE与面CDEF的交线，ABEF。AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，EF面ABCD。（）V估V。证明：ac，bd，VV估=2cd+2a
13、b+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=（ac）（bd）0。V估V。点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了考生继续学习的潜能。例10（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（ ）A B C2S0SS DS022SS（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A32 B28 C24 D20解析：（1）解
14、析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上6226，S下64224，V台，答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例11（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A B C D解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S侧=h2=42r2，。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知
15、识。例12（2003京春理13，文14）如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。图题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题例13（1）（2002京皖春，7）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A BC D（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其
16、面积为，则这个圆锥的全面积是（ ）图A3 B3 C6 D9解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BADE体积之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sabsin，a2sin60，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例14（2000全国文，12）如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D解析：如图所示，由题意知，r2hR2h，图
17、r 又ABOCAO，OA2rR，cos，答案为D。点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型8：球的体积、表面积例15已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例16如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,A
18、B=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9：球的面积、体积综合问题例17（2006四川文，10）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）A B C D（2）半球内有一个内接正方体
19、，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。解析：（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的表面积是，选D。（2）作轴截面如图所示，设球半径为，则 ，。点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例18（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解：（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又，（2）如
20、图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H 由题设AOFAEG ，得AO1HAOF ，得点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型10：球的经纬度、球面距离问题例19（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）（2）在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，设是北纬的纬线长，答：北纬纬线长约等于（2）解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，则平面，所以，球心到截面距离为例20在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点
21、的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，中，所以，两点的球面距离等于点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。五思维总结1正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2；(2)体积：V=a3；(3)对棱中点连线段的长：d=a；(4)内切球半径：r=a；(5)外接球半径 R=a；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四
22、面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；体积 V=abc；底面ABC=；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC=+; 外切球半径 R=；内切球半径 r=3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，底面半径为r，则 sin=cos = ，+=90 cos=sin = .圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r 、r，则h=lsin，r-r=lcos。球的截
23、面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座8）空间几何体一课标要求：1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出
24、它们的直观图；3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；二命题走向近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。预测07年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象
25、能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。三要点精讲1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋
26、转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直
27、于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组
28、成的复杂的几何体叫组合体。2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行
29、于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。四典例解析题型1：空间几何体的构造例1（1）（06北京理4）平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交于点 C，则动点C的轨迹是（ ）A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支（2）（04天津文 8）如图，定点A和B都在平面内，定点 C是内异于A和B的动点，且那么，动点在平面内的轨迹
30、是（ ）A一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点（3）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是 A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析：（1）设与是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A。（2）答案为B。（3）解析： 点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，
31、满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点P的轨迹是两个点。选项为C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例2（06江苏9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1个B2个 C3个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱
32、锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型2：空间几何体的定义例3（06江西文9）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（B）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影
33、到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。例4（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。点评：对于空间几何体的定义
34、要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型3：空间几何体中的想象能力例5（2002上海春，10）图912表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 对.解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。图91例6（2003京春文11，理8）如图91，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）A90 B60C45 D0答案：B
35、解析：将三角形折成三棱锥如图943所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60。点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。题型4：斜二测画法例7画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画X，Y，Z轴，使XOY=45（或135），XOZ=90。（2）画底面：按X轴，Y轴画正五边形的直观
36、图ABCDE。（3）画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB，CC，DD，EE。（4）成图：顺次连结A，B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例8是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么ABC的面积为_。解析：。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。题型5：平行投影与中心投影例9（1）如图，在正四面体ABCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则EFG在该
37、正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ） A B C D（2）（2000全国，16）如图915（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图915（2）的 （要求：把可能的图的序号都填上）.解析：（1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“”所示，在其它平面上的射影如“”所示。答案：C；（2）答案：；解析：面BFD1E面ADD1A1，所以四边形BFD1E在面ADD1A1上的射影是，同理，在面BCC1B1上的射影也是。过E、F分别作D
38、D1和CC1的垂线，可得四边形BFD1E在面DCC1D1上的射影是，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是。点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。例10（06 安徽理16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）ABCDA1B1C1D1A1解析：如图
39、，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。题型6：三视图例11（1）画出下列几何体的三视图（2）解析：这二个几何体的三视图如下（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主
40、视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。例12某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。五思维总结1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交
41、线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角
42、面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分3三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正
