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1、对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中数学课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”下面通过对一道高考题（05年江苏卷）的反思、探究、推广，介绍自己在这方面所做的一次尝试。考题：如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程 本题是由一动点出发的两条线段之比为定值的点的轨迹
2、一个很自然的想法是将题中的比改为和，点P的轨迹还是圆吗？探究一 若将题中的条件改为，其他条件不变，则P点的轨迹将是什么呢？ 解：以O1O2所在直线为x轴, O1O2的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系(下同),设P(x,y), 则 即 化简并整理得 若时,则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）. 若时,则表示两个点(-1,0)、（1，0）.若时,则表示焦点在x轴的双曲线的一段(如图2). 若时,则表示两条线段, (如图3).若时,则表示焦点在y轴的双曲线的一段(如图4). 若时,则表示两条线段, (如图5) 若时,则表示椭圆的一段(如图6)若时,则表示椭圆(如图7).若时,则表示椭圆(如图8)
3、. 探究二 若将题中的一个圆改为一定直线，即把圆O2改为直线x=2，其他条件不变, 则P点的轨迹又将是什么呢？解: 设P(x,y), 则(如图9) 即 = 化简并整理得 化简并整理得 若时,则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.若时,则表示一个点(-1,0).若时, 表示抛物线在直线的右边一段，不表示任何图形，则表示抛物线在直线的右边一段(如图10) 若时, 表示抛物线在直线的右边一段，表示一个点(2,0)，此点在抛物线上，则表示抛物线在直线的右边一段(如图11). 若时, 表示抛物线在直线的右边一段，表示抛物线在直线的右边一段，则表示抛物线在直线的右边一段和抛物线在直线的右边一段围成的半封
4、闭图形(如图12). 若时, 表示两条线段, 表示抛物线在直线的右边一段,则两条线段,和抛物线在直线的右边一段围成的半封闭图形(如图13). 若时, 表示抛物线在其中一段，表示抛物线在直线的右边一段，则表示、围成的半封闭图形(如图14). 若时, 表示抛物线在直线的左边，表示抛物线在直线的右边，则表示、围成的封闭图形(如图15). 若时, 表示抛物线在直线的左边一段，表示抛物线在直线的右边一段，则表示、围成的封闭图形(如图16). 探究三 若将题中的一个圆改为一定点，即把圆O2改为定点（2，0），其他条件不变, 则P点的轨迹又将是什么呢？解:设P(x,y), 则(如图17) 即化简并整理得 若
5、时,则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）. 若时,则表示一个点(-1,0). 若时,则表示双曲线左支的一段(如图18)若时,则表示抛物线的一段(如图19). 若时,则表示椭圆的一段(如图20)若时,则表示椭圆(如图21)若时, ,则表示椭圆(如图22)探究四 若将题中的一个圆改为一定点，即把圆O1改为定点（-2，0），再将题中的一个圆改为一定直线，即把圆O2改为直线x=2，其他条件不变, 则P点的轨迹又将是什么呢？解: 设P(x,y), 则(如图23) 即 = 化简并整理得 化简并整理得 若时,则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.若时,则表示线段O1O2(如图24).若时, 表示抛物线在直线的左边一段，表示抛物线在直线的右边一段，则表示抛物线、抛物线围成的封闭图形(如图25). 6318
