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1、空间几何1（2012西山区）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，PA=AB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=（）求证：平面AEF平面PAB（）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值2（2011重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面体ABCD的体积；（）求二面角CABD的平面角的正切值3（2011宜阳县）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG（）确定点G的位置；（）求直线AC1与平面EFG所成角的大
2、小4（2011浙江）如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上（）证明：APBC；（）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2求二面角BAPC的大小5（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=1/2PD（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角QBPC的余弦值6（2011湖北）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=2，BF=（I） 求证：CFC1E；（II） 求二面角ECFC1的大小7（2011湖北）如图，已知正三棱柱AB
3、C=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合（）当CF=1时，求证：EFA1C；（）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值8（2011杭州）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，M为PC的中点（1）求证：PA平面BDM；（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值答案与评分标准一解答题（共30小题）1（2012西山区）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=（）求证：平面AEF平面PAB（）求平面PAB
4、与平面PCD所成的锐二面角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定。专题：综合题。分析：（）由四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=，知AD=CD=AB=2，在ADE中，AE=，DE=1，所以AECD由ABCD，知AEAB由此能够证明平面AEF平面PAB（）法一：由AE平面PAB，AE平面PAE，知平面PAE平面PAB，由PA平面ABCD，知PACD由AECD，PAAE=A，知CD平面PAE，由CD平面PCD，知平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面，由此能够求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值（）法二：
5、以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，0）、C（1，0），则，由AE平面PAB，知平面PAB的一个法向量为，求出平面PCD的一个法向量由此能求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值解答：解：（）证明：四边形ABCD是菱形，AD=CD=AB=2，在ADE中，AE=，DE=1，AD2=DE2+AE2，AED=90，即AECDABCD，AEABPA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAEPAAB=A，AE平面PAB，AE平面AEF，平面AEF平面PAB（6分）（）解法一：由（1）
6、知AE平面PAB，而AE平面PAE，平面PAE平面PAB，（6分）PA平面ABCD，PACD由（）知AECD，又PAAE=A，CD平面PAE，又CD平面PCD，平面PCD平面PAE平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面（8分）所以，APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角（9分）在RTPAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即（10分）PA=2，所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为（12分）（）解法二：以A为原点，AB、AE分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示因为PA=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E
7、（0，0）、C（1，0），则，（7分）由（）知AE平面PAB，故平面PAB的一个法向量为，（8分）设平面PCD的一个法向量为，则，即，令y=2，则（10分）= = 所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为（12分）点评：本题考查平面AEF平面PAB的证明，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用2（2011重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面体ABCD的体积；（）求二面角CABD的平面角的正切值考点：
8、与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法。专题：综合题；转化思想。分析：法一：几何法，（）过D作DFAC，垂足为F，由平面ABC平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AGCD，计算可得AG与DF的长，进而可得SABC，由棱锥体积公式，计算可得答案；（）过F作FEAB，垂足为E，连接DE，分析可得DEF为二面角CABD的平面角，计算可得EF的长，由（）中DF的值，结合正切的定义，可得答案法二：向量法，（）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB与H，过O作OMAC，交AD与M；易知OHOM，因此可以以O
9、为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系OXYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；（）设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（）易得向量的坐标，同时易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan，即可得答案解答：解：法一（）如图：过D作DFAC，垂足为F，由平面ABC平面ACD，可得DF平面ACD，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AGCD，则AG=；由SADC=ACDF=CDAG可得，DF=；在
10、RtABC中，AB=，SABC=ABBC=；故四面体的体积V=SABCDF=；（）如图，过F作FEAB，垂足为E，连接DE，由（）知DF平面ABC，由三垂线定理可得DEAB，故DEF为二面角CABD的平面角，在RtAFD中，AF=；在RtABC中，EFBC，从而，可得EF=；在RtDEF中，tanDEF=则二面角CABD的平面角的正切值为3（2011宜阳县）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG（）确定点G的位置；（）求直线AC1与平面EFG所成角的大小考点：直线与平面所成的角。专题：计算题；综合题。分
11、析：解法一：（）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；（）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；解法二：（）取AC的中点D，连接DE、DG，则EDBC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EFGM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果解答：解法一：（）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（
12、0，0，2），设G（0，2，h），则AC1EG，10+1（2）+2h=0h=1，即G是AA1的中点（）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1），即AC1与平面EFG所成角为解法二：（）取AC的中点D，连接DE、DG，则EDBCBCAC，EDAC又CC1平面ABC，而ED平面ABC，CC1EDCC1AC=C，ED平面A1ACC1又AC1EG，AC1DG连接A1C，AC1A1C，A1CDGD是AC的中点，G是AA1的中点（）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EFGM，E、F、M、G共面作C1HFM，交FM的延长线于H，AC平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，A
13、CG1H，又ACGM，GMC1HGMFM=M，C1H平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以C1NH为直线AC1与平面EFG所成角因为，点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力属中档题4（2011浙江）如图，在三棱锥PABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上（）证明：APBC；（）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2求二面角BAPC的大小考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法。专题：综合题；转化思想。分析：（I）由题
14、意因为PO平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BCPO有AB=AC，D为BC的中点，得到BCAD，进而得到线面垂直，即可得到所证；（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可解答：解：（I）由题意画出图如下：由AB=AC，D为BC的中点，得ADBC，又PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到POBC，POAD=OBC平面PAD，故BCPA（II）如图，在平面PAB中作BMPA于M，连接CM，BCPA，PA平面BMC，APCM，故BMC为二面角BAPC的平面角，在直角三角形ADB中，；在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直
15、角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，又cosBPA=，从而故BM=，BM2+MC2=BC2，二面角BAPC的大小为90点评：（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解5（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角QBPC的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判
16、定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角。专题：计算题；证明题。分析：首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz；（）根据坐标系，求出则、的坐标，由向量积的运算易得=0，=0；进而可得PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案解答：解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz；（）依题意有Q（1，1，0），C（0，0
17、，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），所以=0，=0；即PQDQ，PQDC，故PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ；（）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（1，2，1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，1，2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos，=，故二面角角QBPC的余弦值为点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算6（2011
18、湖北）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=2，BF=（I） 求证：CFC1E；（II） 求二面角ECFC1的大小考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系。专题：计算题；证明题。分析：（I）欲证C1E平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C1E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EFC1E，C1ECE，又EFCE=E，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CFC1E；（II）根据勾股定理可知CFEF，根据线面垂直的判定定理可知CF平面C1EF，而C1F平面C1EF，则C
19、FC1F，从而EFC1即为二面角ECFC1的平面角，在C1EF是等腰直角三角形，求出此角即可解答：解：（I）由已知可得CC1=，CE=C1F=，EF2=AB2+（AEBF）2，EF=C1E=，于是有EF2+C1E2=C1F2，CE2+C1E2=C1C2，所以EFC1E，C1ECE又EFCE=E，所以C1E平面CEF由CF平面CEF，故CFC1E；（II）在CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，于是有EF2+CF2=CE2，所以CFEF，又由（I）知CFC1E，且EFC1E=E，所以CF平面C1EF又C1F平面C1EF，故CFC1F于是EFC1即为二面角ECFC1的平面角由（I）知C1EF
20、是等腰直角三角形，所以EFC1=45，即所求二面角ECFC1的大小为45点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力7（2011湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合（）当CF=1时，求证：EFA1C；（）设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系。专题：计算题。分析：（I）过E作ENAC于N，连接EF，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知NF为EF在侧面A1C内的射影，根据，得NFAC，又AC1A1C，故NF
21、A1C，由三垂线定理可得结论；（II）连接AF，过N作NMAF与M，连接ME根据三垂线定理得EMAF，则EMN是二面角CAFE的平面角即EMN=，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tan=，根据的范围可求出最小值解答：解：（I）过E作ENAC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC侧面A1CEN侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影在直角三角形CNF中，CN=1则由，得NFAC1，又AC1A1C，故NFA1C由三垂线定理可知EFA1C（II）连接AF，过N作NMAF与M，连接ME由（I）可知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAFEMN是二
22、面角CAFE的平面角即EMN=设FAC=则045，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sin故tan=，又0450sin故当=45时，tan达到最小值，tan=，此时F与C1重合点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力8（2011杭州）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，M为PC的中点（1）求证：PA平面BDM；（2）求直线AC与平面ADM所成角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定。专题：计算题；证明
23、题。分析：（1）连接AC，交BD于点O，连接MO，由三角形中位线定理易得MOPA，进而由线面平行的判定定理得到PA平面BDM；（2）利用等体积法，根据VMADC=VCADM，我们分别计算出SADC，点M到面ADC的距离h1，SADM的大小，即可求出C点到平面ADM的距离，进而求出直线AC与平面ADM所成角的正弦值解答：解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接MO因为MO是PAC的中位线，所以MOPA又因为MO面PAD中，所以MO面PAD（2）因为SADC=，点M到面ADC的距离h1=，所以VMADC=因为PDC为等腰三角形，且M为PC的中点，所以DMPC取PB的中点E，AD的中点N，连接ME，PN，NE，BN因为四边形DMEN为平行四边形所以DMNE又因为PNB为等腰三角形，所以NEPB所以DMPB因为DMPC，DMPB且PCPB=P所以DM面PBC所以DMBC因为BCAD所以ADDM，因为DM=所以SADM=所以VMADC=VCADM=SADMh2所以h2=所以sin=点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得MOPA，（2）的关键是根据等体积法，求出C点到平面ADM的距离
