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1、第3讲二项式定理基础巩固1.(1+2)3(1-)5的展开式中x的系数是()A.-4B.-2C.2D.4【答案】C【解析】(1+2)3的通项公式为Tr+1=2r,(1-)5的通项公式为Tk+1=(-1)k,要求展开式中x的系数,只需(1+2)3中的常数项及一次项系数与(1-)5中的一次项系数及常数项分别相乘再求和,即1(-10)+121=2.2.若展开式中含项的系数为-560,则n等于()A.4B.6C.7D.11【答案】C【解析】展开式的通项为Tr+1=(-1)r2n-r,令=-1,则n=3r-2.又(-1)r2n-r=-560,显然r必为奇数,n亦为奇数,经验证n=7.3.已知(1+2x)4
2、=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4等于()A.8B.-8C.16D.-16【答案】B【解析】由二项展开式的通项公式得:a1=1321=8,a2=1222=24,a3=1123=32,a4=1024=16,从而可知a1-2a2+3a3-4a4=-8.4.在的展开式中,所有奇数项的系数之和为1024,则中间项系数是()A.330B.462C.682D.792【答案】B【解析】二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n,而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意,得2n-1=1024,n=11.展开式共有12项,中间项为第六项、第七项,
3、系数为=462.5.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2nx2n,则a2+a4+a2n的值为()A.B.C.3n-2D.3n【答案】B【解析】根据二项式定理,令x=1,则a0+a1+a2+a2n=3n,又令x=-1,则a0-a1+a2-+a2n=1,两式相加得2(a0+a2+a2n)=3n+1,又a0=1,所以a2+a4+a2n=.6.(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【答案】D【解析】令x
4、=0,y=1,得(1+b)n=243=35;令x=1,y=0,得(1+a)n=32=25,则可取a=1,b=2,n=5,故选D.7.二项式(1-x)4n+1的展开式中,系数最大的项是()A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D.第2n+1项和第2n+2项【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式Tk+1=(-x)k=(-1)kxk,可知系数为(-1)k,与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项,又由第2n+1项系数为(-1)2n=,第2n+2项系数为(-1)2n+1=-0,故系数最大项为第2n+1项.8.若x+x2+xn=(1+x)n-1能被7整除,则x,n的值可
5、能分别为、.(写出一组数即可)【答案】54【解析】x+x2+xn=(1+x)n-1,当x=5,n=4时,(1+x)n-1=64-1=3537能被7整除.9.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=.【答案】1【解析】由Tr+1=(kx2)6-r=k6-rx2(6-r)得x8的系数为k4=15k4,由15k4120得k48,由于k为正整数,于是k=1.10.(2012浙江卷,14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,a5为实数,则a3=.【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+
6、x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5可得,可解得11.(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有25=26n=8,(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为T5=(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大,则有即5r6.又rN,r=5或r=6.系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.12.已知(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项;(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.【解】由题意知,
7、第五项系数为(-2)4,第三项的系数为(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式Tk+1=()8-k=(-2)k,令-2k=,则k=1,故展开式中含的项为T2=-16.(3)由于展开式中的第k项,第k+1项,第k+2项的系数绝对值分别为2k-1,2k,2k+1,若第k+1项的系数绝对值最大,则解得5k6.又T6的系数为负,系数最大的项为T7=1792x-11.由n=8知第5项二项式系数最大,此时T5=1120x-6.13.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+a100x100.求下列各式的值
8、:(1)a0;(2)a1+a2+a100;(3)a1+a3+a5+a99;(4)(a0+a2+a100)2-(a1+a3+a99)2.【解】(1)由(2-x)100展开式中的常数项为2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a100=(2-)100.所以a1+a2+a100=(2-)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100,与联立相减,可得a1+a3+a99=.(4)原式=(a0+a2+a100)+(a1+a3+a99)(a0+a2+a100)-(a1+a3+a99)=(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.拓展延伸14.(1)求证:1+2+22+25n-1(nN*)能被31整除;(2)求S=+除以9的余数.【解】(1)证明:1+2+22+25n-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+31+-1=31(31n-1+31n-2+),显然31n-1+31n-2+为整数,原式能被31整除.(2)S=+=227-1=89-1=(9-1)9-1=99-98+9-1=9(98-97+)-2.98-97+是正整数,S被9除的余数为7.
