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1、向量的加法与减法（1）教学目的：掌握向量加法的定义会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解教学过程：一、复习引入：1.向量的概念； 2.向量的表示方法；向量的模； 3.零向量、单位向量；4.平行向量；5.相等向量；6.共线向量与平行向量关系；二、讲解新课：1 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（1） 平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。（2） 三角形法则（“首尾相接，首尾连”）这种定义，对
2、两向量共线时同样适用.当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。如图，已知向量、。在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作，即 特殊情况：对于零向量与任一向量，有 探究：（1）两向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|,则+的方向与相同，且|+|=|-|;若|,则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加 2向量加法的交换律：+=+3向量加法的结合律：(+) +=+ (+)证：如图：使, , 则(+) +=+ (+) =(+) +=+ (+)从而，多个向量
3、的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。三、讲解范例：例1如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).例2 如图，ABC中O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式： 例3 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于于点O，且求证：四边形ABCD是平行四边形. 四、课堂练习：1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度。2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。3、一艘船从A点出
4、发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和。4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h。 向量的加法与减法（2）教学目的：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量。教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解。教学过程：一、复习引入：1.向量的概念； 2.向量的表示方法；向量的模； 3.零向量、单位向量；4.平行向量；5.相等向量；6.共线向量与平行向量关系；7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（3
5、） 平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。（4） 三角形法则（“首尾相接，首尾连”）这种定义，对两向量共线时同样适用.8向量加法的交换律：+=+9向量加法的结合律：(+) +=+ (+)二、讲解新课：向量的减法1用“相反向量”定义向量的减法：(1)“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a(2)规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0(3)向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a - b = a + (-
6、b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。2用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b3求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作= a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。a-bAAB - -BOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b 探索：若ab 如何作 a - b -b三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d。例2平行四边形中，用，表示向量、。变式一：
7、当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ 变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？ 变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？例3 化简下列各式：例4 已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点，若试证明：例5 已知的范围.四、课堂练习：1.下列等式:a+0=a b+a=a+b -(-a)=a a+(-a)=0 a+(-b)=a-b正确的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.52.下列等式中一定能成立的是( )A. += B. -=C.+= D. -=3.化简-+的结果等于( )A. B. C. D. 4.已知=a, =b,若|=12,|=5,且AOB=90,则|a-
8、b|= .5.在正六边形ABCDEF中, =m, =n,则= .6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .向量的加法与减法（3）教学目的：掌握向量的加法与减法，会作向量的和、差向量。教学重点：向量加法与减法的概念和向量加法、减法的作图.教学难点：对向量加法、减法定义的理解，多个向量加法、减法的作图.。教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（5） 平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。（6） 三角形法则（“首尾相接，首尾连” ）这种定义，对两向量共线时同样适用.2向量加法的交换律：+=+3向量加法的结合律：(+) +=+ (
9、+)4. “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 05.向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。6.求作差向量：减法的三角形法则作法二、例题：例1 已知向量a、b、c，求作向量a+b+c .例2 在平行四边形ABCD中，若则必有 A. B. C. ABCD是矩形 D. ABCD是正方形例3 证明：是“A、B、C是三角形三个顶点”的必要不充分条件.例4 在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上，分别取点E、F，使BE=DF，用向量方法证明四边形AECF也是平行四边形.例5 如图，一物体受到两个大小均为60N的力的作用，两力的夹角为60o且有一力方向水平，求合力的大小和方向. 例6 在无风时，飞机的航速为320km/h,现在飞机朝东飞行，而风以80km/h的速度向北吹，求飞机的实际航速和航向.例7 已知非零向量a,b满足|a|=|b|及|a+b|=|a-b|.若作试判断四边形OACB的形状，并证明之.
