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1、高考数学第一轮复习-函数最值的应用一、最值综合与应用问题：（一）知识归纳：1最值综合问题：这是中学数学最重要的题型之一，题型非常广泛.几何图形的最值问题：在平几、立几、解几图形中求解面积、体积、距离及各种几何量的最大、最小值；代数中的最值问题：求解方程（或不等式）的最大、最小解，数列的最大、最小项，变量或代数式的最大、最小取值，等等；2最值应用问题：这是应用问题中最典型的内容，如求解利润、费用的最大与最小，用料，时间最少，流量、销量最大，选取的方法最多、最少等，都是常见的应用问题。（二）学习要点：在中学数学范围内，最值综合与应用问题几乎都要运用函数的思想与方法解决，解答程序是：正确选择变量作自
2、变量，根据问题的条件将问题转化为函数，建立函数的解析式，并求函数的（实际型）定义域；求函数的极值，并结合函数的定义域得到函数的最值；如果函数的解析式中含有参数，注意可能要对参数的取值进行讨论（讨论极值点是否在定义域内）【例1】如图，扇形AOB的半径为1，中心角为45，矩形EFGH内接于扇形，求矩形对角线长的最小值. 解析这是一道高考题，需要用函数思想解决它，但是取什么量作自变量是解决这个问题的关键，应反复斟酌. 根据这个问题的图形特点，取将对角线长表示成这个角的函数是比较好的想法. 所以，当时，解法二设矩形的高 矩形的宽 对角线 令 令 在的左、右两侧取定义域内两点，如取 得的值在处左负右正，
3、. 评析该问题的难点是正确选择自变量,上面两种解法各有优缺点,解法一虽然简单些,但选择”角”作自变量有时会涉及到过多的三角知识,在许多情况下会出现困难的运算,应慎重;解法二选择矩形的边长为自变量的想法要常规一些.【例2】已知正四棱锥边长为3，求它的体积的最大值.解析设底面边长为， 且左正右负，当.(初等方法)等号成立时,评析立体几何中的最值综合问题是高中数学中的一种重要题型,在立几的复习中将会作更多的讨论.【例3】设是定义在上以2为周期的周期函数,且为偶函数,已知在区间2,3上=2(3)2+4,（）求时的解析式；（）若矩形ABCD的两个顶点A、B在轴上，另两个顶点C、D在函数的图象上，求这个矩
4、形面积的最大值.解析（）设（）设则， 当 设 矩形ABCD面积令且左正右负， 评析这是代数与几何的综合型的最值问题，由于这种问题能综合考核较多的数学能力，因此这是常见的试题形式，在该问题中求的值域时，换元这一步是很重要的想法，这样大大降低了运算量.【例4】一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有的面积，问应如何设计十字型宽及长，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.解析设 由条件知:即 设外接圆的半径为R，即求R的最小值， 等号成立时， 当时R2最小，即R最小，从而周长最小， 此时 评析这是最值的应用问题，在函数型的应用问题中，最值应用问题占了很大的
5、比例，也是紧常见的应用题的试题形式，应多加强这方面的训练.二、最值在参数讨论中的应用（一）知识归纳：1“恒成立”问题：“设函数的定义域为区间D，若对恒成立若对恒成立2“存在”问题：设函数的定义域为区间D，若存在，使得 若存在，使得 （二）学习要点：1“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.2必须注意，如果在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将
6、“（）”改为“（）”.3在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意总有”，“无论都有”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”，“集合 ”等多种形式，注意总结经验.【例1】不论实数取何值,直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围.解析曲线的公共点为方程组的解,命题最终化归为二次方程的判断式“对恒成立”.联立（1）若，显然当时方程无解，命题不成立；（2）若方程为一元二次方程， 则恒成立， 评析这是高考中的一道基础型试题，如果对“恒成立”的概念与方法很熟悉，则问题解答得心应手.【例2】设函数 集合 A ,求实数的取值范围.解析 A 不等
7、式有角,这是“存在”性问题.由 不等内有解， 即存在，使得 设 故命题又等价于 求导得，且的值在处左正右负，实数的取值范围是评析有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型，其中有许多与最值有关，这类问题的理解比“恒成立”要困难一些.【例3】设若，问是否存在使得？说明理由.解析 这是关于“存在”性问题，注意问题中是变量，是参数. 设存在这样的,， 则命题等价于 的对称轴内单调递增， 得， 显然正确，故存在，使得.评析如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题，则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁，又严密的解题过程.训练题一、选择题：1若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
8、）ABCD2如果存在实数使得不等式|+1|2|成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD3设，如果恒成立，那么（ ）ABCD4若时总有则实数的取值范围是（ ）ABCD5若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（ ）ABCD6设数列若的每一项总小于它的后面的项，则的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：7若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .8若的解集为空集，则实数的取值范围是 .9若不等式内有解，则实数的取值范围是 .10在一块半径为R的半圆形铁皮中截出一块矩形，矩形的一边在半圆的直径上，则这个矩形的最大面积是 .三、解答题：11求外切于半径为1的球的圆锥的体积最小值.12由点P（0，1）
9、引圆的割线与该圆交于A、B两点，求AOB的面积的最大值（O为原点）及此时割线AB的方程.13机动车辆通过大桥，为了安全，同一股道上的两辆车的间距不得小于，其中是车速，是平均车身长度，为比例系数.已测定：车速为时，安全车距为问应规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大？（车流量即单位时间内通过的车辆数）.14对定义（的单调减函数使得：恒成立，求的取值范围.15已知函数 （）求函数的反函数；（）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.答案与解析一、选择题：1A 2B 3D 4D 5A 6B 二、填空题：7 ， 8， 9，10R2 .三、11如图，设圆锥的高底半径为， PAD，且OE=OD=1， 即 圆锥体积 且的值在处左负右正，12设AB方程为O到AB的距离 令 求导得单调递减，13，则车流量 当且仅当时等号成立. 当时车流量最大；14命题等价于恒成立， 对恒成立；由得：；由得：；由、得取值范围是15（）（）（1）若在内为增函数，则即对于恒成立，记在上为增函数，（2）若在内为减函数，则对恒成立， 综上，的取值范围是
