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1、1.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值. 2.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=aex+b(a0). (1)求f(x)在0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值. 3.(2012重庆,16,13分)设f(x)=aln x+x+1,其中aR,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直
2、于y轴. (1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值. 4. (2012大纲全国,20,12分)设函数f(x)=ax+cos x,x0,. (1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)1+sin x,求a的取值范围. 5.(2012湖北,17,12分)已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2cos x),设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且. （1）求函数f(x)的最小正周期（2）若y=f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围6.(2012湖北,18,12分)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的
3、积为8. (1)求等差数列an的通项公式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和. 8.(2012河北高三模拟，21，12分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时, f(x)有极小值. (1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间m-2,m+2上单调递增,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2(t1,t1+1),使f (t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点. 9. (2012沈阳高三模拟，21,12
4、分)已知椭圆+=1(ab0)与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,原点O到直线AB的距离为,该椭圆的离心率为. ()求椭圆的方程;()是否存在过点P的直线l与椭圆交于M,N两个不同的点,使=4成立?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由. 10.(2013高考仿真试题一，20,12分)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于点C. (1)证明:ACF=BCF;(2)求ACB的最大值,并求ACB取得最大值时线段AB的长. 11.(2013高考仿真试题二，20，12分)已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点. (1)求椭
5、圆的方程;(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的取值范围. 12.(2013高考仿真试题三，20,12分)已知圆x2+y2=1过椭圆+=1(ab0)的两焦点,与椭圆有且仅有两个公共点,直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切,与椭圆+=1相交于A,B两点. 记=,且. (1)求椭圆的方程;(2)求k的取值范围;(3)求OAB的面积S的取值范围. 13. (2013高考仿真试题五，21,12分)已知函数f(x)=aln x+x2-(1+a)x,其中aR. (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0对定义域内的任意x恒成
6、立,求实数a的取值范围;(3)证明:对于任意正整数m,n,不等式+恒成立. 14.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,20,10分）已知,其中(e是自然常数）.（）求的单调性和极小值；（）求证：在上单调递增；（）求证： .15. (2012江西省临川一中、师大附中联考，20,13分）已知函数，aR（1）若a4，求函数f(x)的单调区间；（2）求yf(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）16. (2012北京海淀区高三11月月考，19,14分）已知函数（）若在处取得极大值，求实数的值；（）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；（）若，求在区间上的最大值17.(2012湖北省黄冈中学高三1
7、1月月考，21,14分）已知函数在上为增函数，且，（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围18.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，22,14分）设.（）若对一切恒成立，求的最大值.（）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；（）求证：.答案理数1.(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f
8、(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=0,得x1=-,x2=-. a0时,h(x)与h(x)的情况如下:x-,-,-,+h(x)+0-0+h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为. 当-1,即0a2时,函数h(x)在区间(-,-1上单调递增,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h(-1)=a-a2. 当-1,且-1,即2a6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 当-6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增. 又
9、因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)20,所以h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 2.(1)f (x)=aex-,当f (x)0,即x-ln a时, f(x)在(-ln a,+)上递增;当f (x)0,即x-ln a时, f(x)在(-,-ln a)上递减. (i)当0a0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(-ln a)=2+b;(ii)当a1时,-ln a0, f(x)在0,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(0)=a+b. (2)依题意f (2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去
10、). 所以a=,代入原函数可得2+b=3,即b=. 故a=,b=. 3.(1)因f(x)=aln x+x+1,故f (x)=-+. 由于曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0,即f (1)=0,从而a-+=0,解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x0),f (x)=-+=. 令f (x)=0,解得x1=1,x2=-因x2=-不在定义域内,舍去. 当x(0,1)时, f (x)0,故f(x)在(1,+)上为增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3. 4.(1)f (x)=a-sin x. (2分)(i)当a1时,f (x)0
11、,且仅当a=1,x=时, f (x)=0,所以f(x)在0,上是增函数;(ii)当a0时, f (x)0,且仅当a=0,x=0或x=时, f (x)=0,所以f(x)在0,上是减函数;(iii)当0a1时,由f (x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a. 当x0,x1)时,sin x0, f(x)是增函数;当x(x1,x2)时,sin xa, f (x)0, f(x)是减函数;当x(x2,时,sin x0, f(x)是增函数. (6分)(2)由f(x)1+sin x得f()1,a-11,所以a. 令g(x)=sin x-x,则g(x)=cos x-. 当x时,g(x)0,
12、当x时,g(x)0. 又g(0)=g=0,所以g(x)0,即xsin x. (9分)当a时,有f(x)x+cos x. (i)当0x时,xsin x,cos x1,所以f(x)1+sin x;(ii)当x时, f(x)x+cos x=1+-sin1+sin x. 综上,a的取值范围是. (12分)5. (1)因为f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin+. 由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=1,所以2-=k+(kZ),即=+(kZ). 又,kZ,所以k=1,故=. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y=f(x)
13、的图象过点,得f=0,即=-2sin=-2sin=-,即=-. 故f(x)=2sin-,由0x,有-x-,所以-sin1,得-1-2sin-2-,故函数f(x)在上的取值范围为-1-,2-. 6. (1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7. (2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-
14、7|=记数列|an|的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10. 当n=2时,满足此式,综上,Sn=7.(1)当n=kN+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n2). 又a1=S1=,所以an=-n. (2)因为bn=,Tn=b1+b2+bn=1+,所以Tn=2Tn-Tn=2+1+-=4-=4-. 8.(1)因为f(x)=x4+bx2+cx+
15、d,所以f (x)=x3-12x+c. 设h(x)=x3-12x+c,(2分)由题意知,方程h(x)=0有三个互异的实根,h(x)=3x2-12,令h(x)=0,得x=2. x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)h(x)+0-0+h(x)增c+16(极大值)减c-16(极小值)增所以故-16C16. span (4分)(2)存在c(-16,16),使f (x)0,即x3-12x-c,所以x3-12x-16,即(x-2)2(x+4)0,(*)在区间m-2,m+2上恒成立. (6分)所以m-2,m+2是不等式(*)解集的子集,所以或m-22,即-2或m4. (8分)(3)证明:由题设,可得存在
16、,R,使f (x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+x+),且x2+x+0恒成立. (9分)又f (t2)=0,且在x=t2两侧同号,所以f (x)=(x-t1)(x-t2)2. (10分)另一方面,g(x)=x3+2bx+c-(x-t1)=x3+(2b-1)x+t1+c=(x-t1)(x-t2)2-1. 因为t12,且t2-t11,所以-11-t220. 所以0(x-t2)21,所以(x-t2)2-10,所以g(x)b0),(1分)由=及=,得a=2,b=1. (3分)所以椭圆的方程为+y2=1. (4分)()当直线l的斜率不存在时,M(0,-1),N(0,1),易知符合条件,此时直线
17、l的方程为x=0. (6分)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,代入+y2=1得(9+36k2)x2+120kx+64=0. 由=14 400k2-256(9+36k2)0,解得k2. 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,(9分)由=4得x1=4x2,(10分)由消去x1,x2,得=,即=1,无解. 综上,存在符合条件的直线l,且其方程为x=0. (12分)10.(1)证明:由题设知,F,C,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+,代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. 则y1+y2=2pm,y1y2=-p
18、2. (4分)不妨设y10,y20,tanACF=1,当且仅当y1=p时取等号,此时ACF取最大值,ACB=2ACF取最大值,并且A,B,|AB|=2p. (12分)失分警示:(1)不能准确地得出ACF与BCF的正切值. (2)没有注意到ACF取得最大值时,y1=p. 11.(1)由题意可设椭圆方程为+=1(ab0),则解得所以椭圆方程为+y2=1. (4分)(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,OP,OQ的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx+m(m0且m1),P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,=64k2m2-16(1+4
19、k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,且x1+x2=,x1x2=. 故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. 因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,所以=k2,即+m2=0,又m0,所以k2=,即k=. 又m1,且0,022且m21. 又SOPQ=|x1-x2|m|=|m|=,所以SOPQ的取值范围为(0,1). (12分)失分警示:根据直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列求出k的值,从而用m表示出SOPQ. 12.(1)由题意知2c=2,c=1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点,从而b=1,故a=,所以所求椭圆方程为+y2=1.
20、 (3分)(2)因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,所以原点O到直线l的距离为=1,即m2=k2+1. (5分)由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. (7分)=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=,由,得k21,即k的取值范围是. (9分)(3)|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2-,由k21,得|AB|. (11分)设OAB的AB边上的高为d,则S=|AB|d=|AB|,所以S. (12分)失分警示:(1)没有将
21、几何关系转化为代数式;(2)计算时不细心或不耐心. 13.f (x)=+x-(1+a)=. (1)当a0时,若0则f (x)1,则f (x)0,故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+);当0时,随着x的变化, f (x),f(x)的变化情况如下表:x(0,a)a(a,1)1(1,+)f (x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+),单调递减区间是(a,1). 当a=1时,f (x)=0,函数f(x)的单调递增区间是(0,+);当a1时,同理可得,函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+)
22、,单调递减区间是(1,a). (4分)(2)由于f(1)=-a,显然当a0时, f(1)1时,可以变换为=,(9分)在上面不等式中分别令x取m+1,m+2,m+n,然后不等式两边再相加得+=+=-=. 所以+. (12分)失分警示:(1)忽略a=1的情形;(2)在证明第(3)问时,没有注意到(2)的结论. 14.（）函数的定义域是，令，解得；令，解得.当变化时，的变化如下表所示：1-0+0极小值由表知，函数单调递减区间是，单调递增区间是，的极小值为. -（4分）（）函数的定义域是，当时，在上是增函数. -（7分）（）由（）知函数在上的最小值为，由（）知函数在上的最大值是，即不等式成立. -（1
23、0分）15.（1）函数的定义域是.，.3分令，解得；令，解得.所以函数的单调递增区间为（-1,3），单调递减区间为（3,+）. .5分（2）函数的定义域是，.，此时函数在定义域上是减函数，不存在极值点. .7分当时，关于的方程令，解得，9分则，若，则，令，解得；令，解得，或.当变化时，的变化如下表所示：-0+0-极小值极大值由表知，函数的极小值点；极大值点是.11分若，令，解得；令，解得.当变化时，的变化如下表所示：+0-极大值由表知，函数的极大值点是，不存在极小值点.12分综上所得，当时，函数不存在极值点；当时，函数的极小值点，极大值点是；当时，函数的极大值点是，不存在极小值点. .13分1
24、6.（），2分令，解得，令，解得或；令，解得.当变化时，随的变化情况如下表：00增极大值减极小值增4分由表知，函数在处取得极大值，所以. 5分（II），6分因为，直线都不是曲线的切线，所以对成立，7分则只要的最小值，所以. 8分(III) ，因为所以当时，对成立，在R上是增函数，所以当时，取得最大值；9分当时，在时，是增函数，在时，是减函数，所以当时，取得最大值；10分当时，在时，单调递减，所以当时，取得最大值；11分当时，在时，是减函数，在时，是增函数，又，当时，在取得最大值，当时，在取得最大值，当时，在，处都取得最大值. 综上所得，当或时，取得最大值；当时，在，处都取得最大值；当时，在取得
25、最大值；当时，取得最大值. 14分17.（1），又函数在上为增函数，即恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，又在的最大值是1，又，仅有. 4分（2），令，解得，令，解得；令，解得.函数的单调递增区间是，单调递减区间为.当变化时，、的变化情况如下表：+0极大值由表知函数的极大值，不存在极小值. 9分（3）由（1）知，则，.令，,当时，恒有，此时不存在使得，即此时不存在使得成立；当时，又，在上恒成立，在上是增函数，又在上至少存在一个，使得成立，即恒成立，必有，解得，综上所得，的取值范围为 14分18.（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a， a0，f（x）=ex-a=0的解为x=lnaf
26、（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， f（x）0对一切xR恒成立，-alna0，alna0，amax=1（）设是任意的两实数，且，故，不妨令函数，则上单调递增.，恒成立.=.故. 9分（）由（1） 知exx+1，取x=, 得1- 即 .累加得( 故存在正整数a=2使得.19.（） .由的判别式当即时，恒成立，则在单调递增 当时，在恒成立，则在单调递增当时，方程的两正根为则在单调递增，单调递减，单调递增综上，当时，只有单调递增区间当时，单调递增区间为，单调递减区间为（）即时，恒成立当时，在单调递增当时，满足条件当时，在单调递减则在单调递减此时不满足条件故实数的取值范围为
27、.（）由（2）知，在恒成立.令 则，.又，.20.() 因为f (x) =(r+1) (1+x) r-(r+1) =(r+1) (1+x) r-1, 令f (x) =0, 解得x=0.当-1 x 0时, f (x) 0时, f (x) 0, 所以f(x) 在(0, +) 内是增函数.故函数f(x) 在x=0处取得最小值f(0) =0.() 由(), 当x(-1, +) 时, 有f(x) f(0) =0, 即(1+x) r+11+(r+1) x, 且等号当且仅当x=0时成立,故当x -1且x0时, 有(1+x) r+1 1+(r+1) x. 在中, 令x=(这时x -1且x0), 得 1+.上式两边同乘nr+1, 得(n+1) r+1 nr+1+nr(r+1),即nr 1时, 在中令x=-(这时x -1且x0), 类似可得nr . 且当n=1时, 也成立.综合, 得 nr . () 在中, 令r=, n分别取值81,82, 83, , 125, 得(8-8) (8-8),(8-8) (8-8),(8-8) (8-8),(12-12) (12-12).将以上各式相加, 并整理得(12-8) S (12-8).代入数据计算, 可得(12-8) 210.2, (12-8) 210.9. 由S的定义, 得S=211.
