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1、四、数列与函数交汇的综合题例27 已知函数（）。（）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（II）在数列中，（），求数列的通项公式。解：（）由及得或（舍去），所以或，即的实不动点为或；（II）由条件得，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。例28 二次函数 （1）求并求的解析式； （2）若求数列并求 （3）若求符合最小自然数n.解：（1） 又（2）（3） 例29 已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为求证：点的纵坐标是定值；若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；解：由题可知：，所以，点的纵坐标是定值，问题得证由可知：对任意自然数，恒成立由于，故可考虑
2、利用倒写求和的方法即由于：所以，所以，例30 设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nN*）.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若，Qn=（nN*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=()n-1. （2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1)
3、a2 nna2 n.两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. T2n =+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). 9T2n=1-.又Qn=1-， 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,9T2 nQ n； 当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,9T2 nQn； 当n3时，9T2 nQ n. 例31 已知函数，数列满足 （I）求数列的通项公式； （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求； （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正
4、整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。 （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。解：（I） 将这n个式子相加，得 （II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1 （III）设满足条件的正整数N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 中满足条件的正整数N存在，共有495个， （IV）设，即 则显然，其极限存在，并且例32 函数的定义域为R，且 （）求证：； （）若上的最小值为，试求f(x)的解析式； （）在（）的条件下记试比较与 的大小并证
5、明你的结论解：（）f(x)定义域为R， （）由（）知f(x)在0，1上为增函数， （） 例33 已知函数时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且 （1）若k=1，求数列的通项公式； （2）项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若，设数列的前n项和分别为Sn，Tn，求来源:学&科&网 。解：（1）因为所以其值域为于是又 （2）因为所以8分法一：假设存在常数，使得数列，得符合。法二：假设存在常数k0，使得数列满足当k=1不符合。9分当，则当 （3）因为所以的值域为于是则又则有来xxk.Com进而有18分例34
6、已知：函数，数列对总有；（1）求的通项公式。(2) 求和：（3）若数列满足：为的子数列（即中的每一项都是的项，且按在中的顺序排列）为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由。解（1）由，又 分所以，是以为首项，为公差的等差数列，即分（2）当为偶数，所以 分当为奇数，则为偶数， 分综上： 分（3）设，公比，则（）对任意的均成立，故是正奇数，又存在，所以 分当时，此时，成立 分当时，此时故不成立 分时，此时，成立 分当时，由，得，设，则，又因为，所以，此时或分别代入，得到不合题意分由此，满足条件（3）的只有
7、两个，即或 0分例35 已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时， 求证：解：（）， ，即 ， 数列是首项为，公比为的等比数列，即 （）（），当时，假设，则由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 （）， 当时，假设，则 由数学归纳法，得出数列 又，即 ， 例36 已知,其中,设,.(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有.【解析】(I)由已知推得,从而有(II) 证法1:当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.证法2: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的又因所以因此结论成立.证法3: 当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的由对上式两边求导得因此结论成立.例37已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.解：（1） 而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故
