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1、专题考案 解三角形(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(9327)1在ABC中，“A30”是“sinA”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2已知ABC中，a=x,b=2，B45，若这个三角形有两解，则的取值范围是 ( )A.x2 B.x2 C.2x2 D.2xsinB,则ABC是 .三、解答题(101112245)14已知在三角形ABC中，tanA=,tanB=,且最长边为.求：(1)角C的大小；(2)最短边的长.15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，证明：16在ABC中,若a=(-1)c,且,求A、B、C.17
2、在ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=，求b.四、思考与讨论(12)18已知P为正方形ABCD内一点，且PAPBPC=123，求APB的度数.参考答案1B 由A30推不出sinA,但若sinA,在0,2周期内有A30，可推出结论，是必要非充分条件.2C 如图，必有bx,xsin45b，2x2.3D asinB=b,只有一解.ba,asin60b，CBB=60或120，A=15或75.5A 把4sinA+2cosB=1和2sinB+4cosA=3两式分别平方后相加得16+4+16(sinAcosB+cosAsinB)=28,即sin(A+B)=,sinC=,选A.6D sin3A-sin
3、3B=2cos(A+B)sin(A-B)=0，cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.又0(A+B),-(A-B)，(A+B)=或(A-B)=或(A-B)=0.A+B=或|A-B|=或A=B.7D G是ABC的重心,=0,即 又由已知得 均为非零向量,的表示是惟一的.故由可得.ABC为等边三角形，故选D项.8B S=a2-(b-c)2=bcsinAa2=b2+c2-2bc+bcsinA=b2+c2-2bccosA2-2cosA=sinAsin2A+cos2A=(4-4cosA)2+cos2A=117cos2A-32cosA+15=0cosA=(0AsinBsin(-A)sinB.又y=si
4、nx在(0,)上为增函数.-AB,即A+B.14解 （1）A、B、C为ABC三内角，tanC=-tan(A+B)=-=-1.又0C180,所以C=135.(2)ABC,abc=.由tanA=及诱导公式得sinA=.又sinC=,故由正弦定理得.解得a=.15证明 根据正弦定理知，要证的等式等价于约去sinC,并注意到sinCsin(A+B),即要证:sin2-sin2Bsin(A+B)sin(A-B)，即证sin2A-sin2B=sin2Acos2B-cos2sin2，即证sin2(1-cos2)sin2B(1-cos2)，亦即证sin2Asin2Bsin2Bsin2A.上式成立，故成立.16
5、解 由正弦定理有(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin(B+C),又sin(B+C)=sinA.cosB=,B=,A+C=. 又又sin,cos=sinC=cos(-C).由于A、C都是三角形的内角.=-C,3C-A= 由得C=,A=,B=.点评 在三角形中作三角变换，我们通常在利用正、余弦定理进行边角关系互化的同时，也还常常需要利用和差化积公式等进行三角恒等变换.17解 由正弦定理又a+c=10,a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b=4或5当b=4时，a=4,A=B又C=2A,A+B+C=A=与已知cosA=矛盾，不合题意，舍去检验当b=5时满足题意18解 设正方形ABCD的边长为a,APB=,PA=x,则PB=2x,PC=3x.在APB中，由余弦定理得cos=由正弦定理得sin=在PBC中，由余弦定理得cosPBC=.又PBC+PBA=90,故sinPBA=cosPBC.sin=.sin=-cos.=135.即所求角的度数为135.
