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1、圆的基本概念和性质及垂径定理仁为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是OO的直径，CD是0中任意一条弦，求证：ABCD.B2如图所示，BD, CE是二ABC的髙，求证：E, B, C, D四点在同一个圆上.3点A、0、D与点B、0、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）车轮为什么要做成圆形？能不能做成别的形状，比如三角形.四边形等?（元调）车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A. 同弧所对的圆周角相等B. 直径是圆中最长的弦C. 圆上各点到圆心的距离相等D. 圆是中心对称图形知识点一(圆的基本概念和性质)【知识梳理】一、圆的定义及性质1. 圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕
2、它固左的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形 成的图形叫做圆，固立的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作90”，读作“圆 0”.(2)静态：圆心为0,半径为r的圆是平而内到泄点O的距离等于迫长r的点的集合.2. 圆的性质 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称 中心是圆心；圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直 线都是圆的对称轴3. 两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线)二、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的
3、线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作篦，读作“圆弧AB或AB . 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧:大于半圆的弧叫做优弧：劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3. 同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【例题精讲】类型一、圆的定义例仁下列命题中，正确的个数是（）二直径是弦，但弦不一定是直径；二半圆是弧，但弧不一泄是半圆：二半径相等且圆心
4、不同的两个圆是等圆；二一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A l个 B.2个 C.3个 D.4个【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一泄是（）A. 正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形例2爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9Cm,点导火索的人需要跑到离爆破点12Om以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？例3判断题（对的打J,错的打X,并说明理由） 半圆是弧，但弧不一定是半圆：（） 弦是直径；（） 长度相等的两段弧是等弧；（） 直径是圆中最长的弦.（）【变式1】下列说法中，结论错误的是（）A. 直径相等的两个圆是等圆B. 长
5、度相等的两条弧是等孤C. 圆中最长的弦是直径D. 一条弦把圆分成两条狐，这两条弧可能是等弧例4.直角三角形的三个顶点在Oo上，则圆心0在.例5.有的同学说：“从优弧和劣弧的泄义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一泄 比劣弧长广试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，0中的优弧AmB , 。中的劣弧CD,它们的长度大小关系是不确左的，因此不能说优弧一上比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【变式】判断正误：有AB. CD, AB的长度为3c, CD的长度为3cm,则A
6、B与CD是等弧类型三、圆的对称性例6已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中.大圆的弦AB交小圆于C, D.求证：AC=BD.【变式1】平而上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则圆的半径是（）A.2.5cmB.6.5cm C. 2.5cm 或 6.5CmD. 5cm 或 13Cm【变式2】（1）过上的三个点确立一个圆.（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的例7如图，G）O的直径为10,弦AB=8, P是眩AB上的一个动点，那么OP的长的取值范弗|是.【课堂练习】1已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同 一个圆
7、上.2. 下列说法中，正确的是（）A. 两个半圆是等弧B. 同圆中优呱与半圆的差必是劣弧C. 长度相等的弧是等弧D. 同圆中优弧与劣弧的差必是优弧3. 圆O所在平而上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少?4. 已知C）O的半径为13,弦AB二24, P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_.知识点二（垂径定理）【知识梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.知识点二、垂径定理的拓展根掳圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径
8、）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；T5cmB. 3VcmC. 35cmD. 3VJcm4. 如图，AB 为0 的弦，ZAOB=90o, AB=a,贝IJOA=, O 点到 AB 的距离=.5如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧 急措施，若拱顶离水而只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施？圆的定义： 圆心确龙圆的位垃，半径确泄圆的大小：确龙一个圆应先确左圆心，再确怎半径，二者缺一不可： 圆是一条封闭曲线. 泄点为圆心，左长为半径；圆指的是圆周，而不是圆而：强调“在一个平而内
9、“是非常必要的，事 实上，在空间中，到泄点的距离等于左长的点的集合是球而，一个闭合的曲而.圆的性质：圆有无数条对称轴：因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直 径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.与圆相关的概念：弦：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一泄是直径.：半圆是弧，而弧不一定是半圆；无特殊说明时，弧指的是劣弧.等弧：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视：圆中两平行弦所夹的弧相等.垂径定理：（1）垂径泄理是由两个条件推出两个结论，即直径垂直于弦-j平分弦=i平分弦所对的弧（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆
10、心的直线或线段.注意：在垂径泄理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出苴他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦“作为题设时，平分 的弦不能是直径）1. 下列命题中错误的有（）（I）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图所示，AB是OO的直径，CD是OO的弦，AB丄CD于E,则图中不大于半圆的相等弧有（）.A1对B. 2对C3对D. 4对3如图，已知二0的直径ABZCD于点E,则下列结论一定错误的是（）CBA. CE=DE
11、B. AE=OEC. BC=BDD二OCE二二ODE4如图所示，矩形ABCD与C)O相交于M、N、F. E,若AM=2, DE=U EF=8, 则MN的长为()CC. 6D85如图，AB是二0的直径，CD为二0的一条弦，CDZAB于点E,已知CD=4, AE=L则二O的半径圆心到弦AB的距离为4cm,则AB=cm.7如图，CD 为C)O 的直径，AB丄CD 于 E, DE=8cn CE=2cn 则 AB=cm.8如图，OO的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OG则AB=cm.ZAOB=9如图所示，AB是C)O的直径，弦CD丄AB于点P, CD=IOCnK AP:PB = I:5,求00半径.10.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CFAD.(1) 请证明：E是OB的中点：(2) 若AB=S,求CD的长.B
