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1、例析纯电阻电路中求等效电阻的几种方法计算一个电路的电阻， 通常要分析电路的串并联关系，运用欧姆定律求解。实际电路中，电阻的连接千变万化， 需要应用相应的方法， 通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串 并联电路。本文介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。一、“基本单元”法找出电路中的“基本单元”，再利用电阻的串并联关系求解。1、片状导体求等效电阻【例1】如图1所示，ABCD为一块均匀的半圆形薄电阻合金片，当A、B接入电路时电阻为R,试求当C、D接入电路时电阻为。1【解析】设“基本单元”为沿对称轴AB切开的丄圆，由于A、B间电阻为R （可视为两个并联的“基本单元”），所以，“基本单元”的电阻
2、为 2R,当C、D接入电路时，相当于 两个“基本单元”串联，等效电阻为4 Ro图【例2】如图2甲所示，一材质均匀的正方形薄片导体的阻值为R,若在其正中挖去1小正方形，挖去的正方形边长为原边长的丄，则剩余部分的电阻为 o【解析】设挖去的小正方形为“基本单元”，由于原来的电阻为 R （ 3个并联的“基本单元”，串3个并联的“基本单元”，再串3个并联的“基本单元”）,所以“基本单元”的电 阻也为R;挖去后，如图2乙所示，电路相当于 3个并联的R、串2个并联的R,再串3个 并联的R,等效电阻为-R R =R.2、一维有限网络求等效电阻【例3】如图3甲所示，已知 R1=R2=R3= - =Rn = Rn
3、+1 = Rm=Rm+1 = R/2，贝U A、B间的电阻Rab =o【解析】如图3乙所示，找出“基本单元” （虚线方框内电路）进行递归，发现“基本单元”重现，容易得到Rab=R.23、一维无限网络求等效电阻（1）单边形【例4】如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是 之间的等效电阻Rab=。【解析】因为是电路是“无限”的，所以增减一个“基本单元”不影响其等效电阻。图 4乙虚线方框为一个个“基本单元”。R余，则:设去掉最左侧那个“基本单元”后剩余电路的电阻为R余r 口Rab =2r,且 R 余=RabR余+ r解得：Rab3 1） r【例5】如图5甲所示的电路是一个单边的线型
4、无限网络，每个电阻的阻值都是r，则A、B之间的等效电阻 Rab =【解析】图5乙虚线方框为一个个单元”（注意与例4不同），设去掉最左侧那个本单元”后剩余电路的电阻为 R余，则：“基本“基（R余 2r）r 口余，且R余二Rab（R余 2r） r 余 AB解得：Rab（ 3-1） rrabAI| |1|Vi|ip!：|（2）双边形【例6】一两端无穷的电路如图6甲所示，其中每个电阻均为r，则a、b两点之间的电阻 R ab =。【解析】此电路属于两端无穷网络， 整个电路 可以看作是由三个部分组成的， 等效电路如图6乙 所示，则：Rab=(2Rx r)r(2Rx r) r，其中Rx= (3 -1)r.(
5、参照例5）解得：R ab=（6- - 3）r6图6甲aRx彳 r _ TbRx、“等势点断路或短路”法电压是形成电流的原因,所以等势点之间的电阻没有电流通过,在计算等效电阻时可以把该电阻去掉，这种方法称之为“等势点断路”法；同样，等势点之间也可以用导线连接起 来缩成一点，即短路，这种方法称之为“等势点短路”法。【例7】如图7甲所示电路，由12根阻值都为Ro的电阻丝连接而成，则 A、D间的电 阻 Rad =。【解析】将A、D两端接入电源，假设电阻丝 BG和CG交于G!（G!与G靠近而不连 接），电阻丝FG和EG交于G2（ G2与G靠近而不连接）。这样，电路中G、G?三点分别处电流流径的对称点上（
6、即三条电流路径的中位），所以它们是等势点。现将Gi、G、G2用导线连接时不会有电流在这三点之间通过，将等势点拆下后，等效电路如图7乙所示。据图容易求得 Rad = 0.8 Ro。【例8】在图8甲所示的电路中，R1 =1 Q ,R2 = 4 Q,R3 =3Q ,R4 = 12 Q ,R5 =10Q,则A、B两端的等效电阻 Rab=。【解析】将 A、B两端接入电源，假设没有电流通过，可将 R5去掉，等效电路为图R5不存在，C、D两点的电势相等，所以 R5中8乙所示。据图容易求得15Q4。（事实上，只要满足 邑=色 的关系，电路即为平衡的桥式电路。）R2 R4Ri Bif旳土加RaR21图13三条棱
7、上电流都为-。设 ACi间电压为 U，任选一条电流路径可计算出3丄+J岂，所以验i=U=5r.636I 6图12乙图12甲【例13】如图13所示，Ri=R2=R3=R4=2 Q, Rs=4 Q,则电路总电阻为 Q。【解析】假设R3不存在，可判断其下端点的电势较高，所以R3上的电流由下而上流过。设R1、R2、R3上的电流分别为11、 12、13，则：R4的电流为I1 + I3； R5上电流为I 2_ I3U = I2 R?+( I2 I 3)只5= I2 R2+ I3 R3+( I 1 + I3)只4= I1R1 +( h+ I3) R4 整理：6 12 4 b=2 11 + 2 12+ 4 丨
8、36 12 4 怯=4 11 + 2 13解得：h=6 I3； I2= 5I3丨5=丨2丨3 =4丨3,UU2+U5 5I4I4 26选择电流流过R2、R5这条路径可求得 R=U =U2 U5 = 53 2 4I3 4二竺门.II11I311(注：此电路即为非平衡的桥式电路。)【例14】每边的电阻为框架由三个正方形组成，正方形图14甲是由均匀电阻丝焊接成的框架电路, r，则框架A、E两点间的电阻为图14甲a/ H 时(i Si图14乙【解析】如图14乙所示，假设电流I从A点流入，E点流出，设AH、HG、GF上的电流分别为 a、卩、6I，则流经 HC、GD、BC、CD、DE的电流分别为(a册、(
9、3- 9)I、(1a)I、(1 3)1、(1 9)I，根据电路的对称性， AH和DE中的电流对应相等， HG和CD中的电流对应相等。14 a 3=2a =1,3=；又因为 Uahc=Uabc2Rae513a -3=-带-828联立上式的解得:U HG U GEIAH:Ir -Ir 2Tr 15r-I8四、“电流叠加”法电路中有多个电源，通过电路中任一支路的电流等于每个电源单独存在时在该支路上产 生电流的代数和。【例15】图15甲是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是r，则两个结点A、B之间的等效电阻Rab=。【解析】如图15乙所示，假设电流I从A点流入，向四面八方流到无
10、穷远处，根据对称性，有-电流由A点流到B点；假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到B4点后流出，同样有丄电流经A点流到B点。这样，AB段的电流便由两个 丄叠加而成，为丄.442IrAB，IAB图15甲图15乙（上述解答基于这样的前提：从A点流入电流的对称性不会因B点有电流流出而破坏，同样，从B点流出电流的对称性也不会因 A点有电流流入而破坏。这一结论可以通过基尔霍 夫方程组得到证明。）可以通过简单的直线无限电阻丝，用相同的思路求A、B之间的等效电阻来验证。A B【例16】如图16有一个无限大NaCI晶格，每一个键电阻为 r，求相 邻的Na原子和CI原子间的电阻。【解析】假设电流I从N
11、a原子流入，根据对称性，有-电流流向相邻6的CI原子；假设电流I从相邻的CI原子流出，同样有 -电流从相邻的Na6原子流入。根据电流叠加原理可知，每一个键电阻上的电流为丄。3Na+ 0C1*NKI晶休结构模型图16I r 3_I【例17】有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图16所示。所有正六边型每边的电阻均为Ro,则间位结点a、b间的电阻Rab=【解析】假设有电流I自a电流入，向四面八方流 到无穷远处，根据对称性，有 L电流由a流向c，有丄36电流由c流向b;再假设有电流I由四面八方汇集b点流 出，那么必有-电流由c流向b，有1电流由a流向c。36根据电流叠加原理可知，由
12、a流向c的电流I I II ac=.362由c流向b的电流Icb=-.632ORab=II ac R0I cb R0_ I五、不变部分电阻“重复代用”法【例18】三个完全相同的金属环两两正交，并把正交点焊接，成为球形骨架，如图18所示。若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为Rab。今将A、B间一【解析】设去掉A、B间那段四分之一圆周的金属丝后剩余部分电阻为RxRRxRab :R RxR _ Rab更换电阻后,间的电阻R=-Rx2R RabRRab【例19】图19是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，已知电阻 电阻丝的阻值都是 r，贝U A、B之间的电阻Rab=。【解析】设拆除 Ro
13、后的剩余部分的电阻为Rab=Ro/R余，根据例15的结论，可求得 R余=r3r r 3rrab=.3r +r 4LJHnnrRo=3r，其余每一小段第8页共9页段金属丝改换成另一个阻值为RR的一段四分之一圆周的金属丝，则A、B间的电阻 R=2O六、“再造电路对称”法【例20】如图20所示，正方体每条边的电阻为 r，则A、B之间的等效电阻 【解析】将距AB最远端的电阻GH等效成两个2r的并联，G、G? 和 比、H2分别处电流流径的对称点上，它们是等电势点。根据 “等势点断路”法，把它们拆下，分别并入两边的电路，其等效电路如图20乙所示。据图容易求出Rab=.12Rab =图20甲图20乙七、“等
14、势点断路+基本单元”法【例21】在图21甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R,试求A、B两点间的等效电阻Rab =JiB图21甲【解析】A、B两端接入电源，根据“等势点断路”法，拆去背面那根无限长的电阻丝， 发现C、D、E各点处在电流路径的对称点上（各条电流路径的中位），它们的电势彼此相等。电路可以等效为图 20乙所示的二维无限网络。这样A、B间的电阻可看作左、中、右三个部分并联。R中=2R R二空，对于左、右两侧的电阻，参照例 4可求得R左=R右= 3 21 R. 2R R 331111=r r Rab R左R右R中2転Rab =齐 R参考文献：1张大同.高中物理竞赛辅导M 第2版.西安：陕西师范大学出版社，2003: 274-314
