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1、高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 或。由解得 或和求交集得且或x5。故所求函数的定义域为。例2 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得由解得由和求公共部分，得故函数的定义域为评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1） 已知的定义域，求的定义域。（2） 其解
2、法是：已知的定义域是a，b求的定义域是解，即为所求的定义域。例3 已知的定义域为2，2，求的定义域。解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知的定义域为1，2，求f(x)的定义域。解：因为。即函数f(x)的定义域是。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切xR都成立，由
3、项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0恒成立，因为的定义域为R，即无实数当k0时，恒成立，解得；当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k的取值范围是。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x
4、，则另一边长为于是可得矩形面积。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域（0，）。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9 已知的定义域为0，1，求函数的定义域。解：因为的定义域为0，1，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间a，1a与
5、a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，F（x）的定义域为；（2）当时，F（x）的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10 求函数的单调区间。解：由，即，解得。即函数y的定义域为（1，3）。函数是由函数复合而成的。，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。函数值域
6、求法十一种 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2
7、上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解
8、得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域
9、。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x
10、）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离
11、之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
