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1、二次函数压轴题特训(一)基本公式 _破解函数压轴题的基础(1)横线段的长度计算:【特点:两端点的y标相等,长度=】。 若A(2,0),B(10,0),则AB=。 若A(-2,0),B(-4,0),则AB=。 若M(-3,0),N(10,0),则MN=。 若O(0,0),A(6,0),则OA=。 若O(0,0),A(-4,0),则OA=。 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=。 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=。 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端,则AB=。 若A(4t,m),B(1-2t,m),且B在A的左端,则AB=。 若P(2m+3
2、,a),M(1-m,a),且P在B的右端,则PM=。注意:横线段上任意两点的y标是相等的,反之y标相等的任意两个点都在横线段上。 (2)纵线段的长度计算:【特点:两端点的x标相等,长度=】。 (若A(0,5),B(0,7),则AB=。 若A(0,-4),B(0,-8),则AB=。 若A(0,2),B(0,-6),则AB=。 若A(0,0),B(0,-9),则AB=。 若A(0,0),B(0,-6),则AB=。 若O(0,0),A(0,t),且A在O的上端,则OA=。 若O(0,0),A(0,t),且A在O的下端,则OA=。 若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端,则AB=。 若M(
3、m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端,则MN=。 若P(t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端,则PM=。注意:纵线段上任意两点的x标是相等的,反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。(3)点轴距离: 一个点到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值(即),到y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即)。 点(-4,-3)到x轴的距离为,到y轴的距离为。 若点A(1-2t,)在第一象限,则点A到x轴的距离为,到y轴的距离为_。 若点M(t,)在第二象限,则点M到x轴的距离为,到y轴的距离为。 若点A(-t,2t-1)在第三象限,则点A到x轴的距离为,到y轴的距离为。 若点N(t,)
4、点在第四象限,则点N到x轴的距离为,到y轴的距离为。 若点P(t ,)在x轴上方,则点到轴的距离为。 若点(,)在轴下方,则点到轴的距离为。 若点(,)在轴左侧,则点到轴的距离为。 若点(,)在轴的右侧,则点到轴的距离为。 若动点(,)在轴上方,且在轴的左侧,则点到轴的距离为,到轴的距离为。 若动点(,)在轴上方,且在轴的右侧,则点到轴的距离为,到轴的距离为。 若动点(,)在轴下方,且在轴的左侧,则点到轴的距离为,到轴的距离为。 若动点(,)在轴下方,且在轴的右侧,则点到轴的距离为,到轴的距离为。注意:在涉及抛物线,直线,双曲线等上的动点问题中,在动点坐标“一母示”后,还要高度关注动点运动变化
5、的区域(例如:动点在抛物线上位于轴下方,轴右侧的图象上运动),以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是等于相应的相反数,还是其本身。 ()中点坐标的计算:若【(),(),则线段的中点坐标为()】 若(,),(,),则中点为。 若M(0,-6),N(6,-4),则MN的中点坐标为。 若P(),Q(),则PQ的中点坐标为。 若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点,则M点的坐标为。 若A(-1,3),B(0,2),且A为中点,则点坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为_. 点(,)关于直线的对称点的坐标为_。 点(,)关于直线的对称点
6、的坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为。 点(,)关于直线的对称点的坐标为。 点(,)关于轴的对称点的坐标为。 点(,)关于轴的对称点的坐标为。(5) 由两直线平行或垂直,求直线解析式。【两直线平行,则两个k值相等;两直线垂直,则两个k值之积为-1.】 某直线与直线y=2x+3平行,且过点(1,-1),求此直线的解析式。 某直线与直线y=x+1平行,且过点(2,3),求此直线的解析式。 某直线与直线y=平行,且过点(-3,0),求此直线的解析式。 某直线与y轴交于点P(0,3),且与直线y=平行,求此直线的解析式。
7、某直线与x轴交于点P(-2,0),且与直线y=平行,求此直线的解析式。 某直线与直线y=2x-1垂直,且过点(2,1),求此直线的解析式。 某直线与直线y=-3x+2垂直,且过点(3,2),求此直线的解析式。 某直线与直线y=垂直,且过点(2,-1),求此直线的解析式。 某直线与直线y=垂直,且过点(1,-2),求此直线的解析式。 某直线与x轴交于点P(-4,0),且与直线y=垂直,求此直线的解析式。(6) 两点间的距离公式:则AB= 若A(-2,0),B(0,3),则AB=。 若P(-2,3),Q(1,-1),则PQ=。 若M(0,2),N(-2,5),则MN=。 若P(),Q(),则PQ=
8、。 若A(),B(-1,),则AB=。 若P(),B(),则。 若P(),B(),则=。 若P(),M(),则PM=。 若(),(),则。 若(),(),则。 若(,),(,),则。 若P(0,-4),Q(0,-2),则PQ=。 若P(3,0),Q(4,0),则PQ=。 若P(1,-4),Q(2,0),则PQ=。(7) 直线的斜率公式:【注:所谓斜率,就是一次函数y=kx+b中k的值;可由两个点的坐标直接求得:若A(),B()(),则,(y标之差除以对应的x标之差)】例题:若A(2,-3),B(-1,4),则解:A(2,-3),B(-1,4), = 。 。 。 。 。 。 。 。(8) 点到直
9、线的距离公式:到直线Ax+By+C=0(为了方便计算,A,B,C最好化为整系数)的距离公式为:;运用该公式时,要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0的形式(即:先写x项,再写y项,最后写常数项,等号右边必须是0)。例题:求点P(2,-3)到直线的距离。解:先把直线化为一般式 3x-6y-4=0所以的值就是把点对应代入代数式Ax+By+C中。或者把通过移项化为(同样要先写x项,再写y项,最后写常数项,等号右边必须是0)。从而另解:因为,P(2,-3)所以(注:由于系数中有分数,计算比较繁杂)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。在一个题中设计若干常见问题:与y轴交于点
10、B,与x 轴交于C,D(C在D点的左侧),点A为顶点。YCODX 判定三角形ABD的形状并说明理由。Y0DxBA【通法:运用两点间的距离公式,求出该三角形各边的长】 三角形ABD与三角形BOD是否相似说明理由。YOXDB A 【通法:用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长,再用相似的判定方法】 在x轴上是否存在点P,使PB+PA最短若存在求出点P的坐标,并求出最小值。若不存在,请说明理由。YXOB【通法:在两定点中任选一个点(为了简单起见,常常取轴上的点),求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标,再把此对称点与余下定点相连】 在y轴上是否存在点P,使三角形PAD的周长最小
11、若存在,求出点P的坐标,并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由。YD XA【通法:注意到AD是定线段,其长度是个定值,因此只需最小】 在对称轴上是否存在点,使三角形是等腰三角形若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。YCOXBx1【通法:对动点的坐标一母示(,)后,分三种情况,若为顶点,则;若B为顶点,则BP=;若为顶点,则。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。 若平行于轴的动直线与直线交于点,与抛物线交于点P,若三角形ODF为等腰三角形,求出点P的坐标.YOXD lF PB【通法:分类讨论,用两点间的距离公式】。 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使的面积最大若存在,求
12、出点P的坐标,若不存在,请说明理由。YO DX PB【通法:】 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使四边形DOBP的面积最大若存在,求出点P的坐标,并求出四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由。Y O DX B P【通法:或】 在直线BD下方的抛物线上, 是否存在点P,使四边形DCBP的面积最大若存在,求出点P的坐标,并求出四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由.YCD X O PB【通法:】 在直线下方的抛物线上,是否存在点,使点到直线BD的距离最大若存在,求出点P的坐标,并求出最大距离;若不存在,请说明理由。YOD B P【通法:因为是定线段,点到直线的距离最大,意味着三角形的面积
13、最大】 在抛物线上,是否存在点,使点到直线BD的距离等于,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。YODXB【通法:在动点坐标一母示后,用点到直线的距离公式,列出方程,求解即可】。 在抛物线上是否存在点P,使,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。YODXCBA【通法;在动点P的坐标一母示后,把到图形三角形ABD的面积算出,借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来,再代入已知中的面积等式】。 若点P在抛物线上,且PDB=,求点P的坐标。YOXDB【通法:利用,及点B的坐标,求出直线PB的解析式,再把此解析式与抛物线方程组成方程组,即可求出P点的坐标】。 若Q是线段CD上的一个
14、动点(不与C,D重合),交BC于点E,当三角形QBE的面积最大时,求动点Q的坐标。YO QCXDEB【通法:三角形QBE是三边均动的动三角形,把该三角形分割成两个三角形基本模型的差,即,题中平行线的作用是有两个三角形相似,从而有对应边的比等于对应高的比,最后该动三角形的面积方可表示为,以动点Q(t,0)的坐标有关的开口向下的二次函数。】 若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出E点的坐标。YOX【通法:以其中一个已知点(如:点B)作为起点,列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下,两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可】。