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1、对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点(1) 对数的概念.(2) 对数式与指数式的互化.(3) 对数的性质.(4) 对数的运算性质.(5) 对数的换底公式.知识点一对数的概念一般地，如果a =N (d0且GHl),那么数X叫做以为底N的对数，记作X = Iog41 N.其中叫做对数的底数,N叫做真数.例如,因为16二4,所以就是以16为底4的对数,记作log164 = -2 2对对数概念的理解：(1) 底数d必须满足d0且a,(2) 真数N大于O (负数和O没有对数).规定底数 O且(心1的原因：当V O时,N取某些值时，X的值不存在.例如,log(.3)9 = 2,但 IOg(_J)
2、27 却不存在.当Q = O时： 若N0,则X的值不存在； 若/V = 0,则A-的值是任意正数.(注意:0的负指数弄和0次胳都没有意义)当G = I时： 若N,则X的值不存在； 若N = I,则X的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数“ 0且a.常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作IgN ;将以无理数e (ea 2.71828)为底的 对数叫做自然对数,记作InN.根据对数概念,可以求參数的取值范围例1.求下列各式中X的取值范围.(1) IOgoS(X-3);(2) IOg(X.n(2-x).分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足:(1
3、) 底数。0且ai(2) 真数V0.解：(1) 题意可知:x-30,解之得:x3.x的取值范圉是(3,乜)；x-lO(2)由题意可知: -1 1 ,W-之得:lx0x的取值范围是(1,2).例2.求下列对数式中X的取值范围.(1) IOg2(5 - x);(2) 1Ogz 3.解：(1)由题意可知:5-x0,解之得:x,解之得：兀 O且a)有意义的尤的取值范围是【】(A) -l,-c)(B) (-1,S(C) O,-KX)(D) (O,-KX)解:由题意可知:x+l0,解之得:x-l.x的取值范围是(-1,1).选择【B】.例4.求IOglA_3(4-x)中X的取值范围.解:山题意可知：x -
4、 3 O0x的取值范围是(3,4)例5使右-log2Cv + 2)有意义的兀的取值范围是(A) -2,2)(B) -2,2(C) (-2,2)(D) (-2,2解:由题意可知:P解之得:_2vx0x的取值范围是(-2,2).i择C .知识点二指数式与对数式的互化在I=N与X = IOg “ N中，gx、N是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式26 =64化为对数式为6 = Iog2 64.指数式与对数式的比较表达形式名称aXN指数式ax =N底数指数S对数式X = IOgaN底数对数Xft知识点三对数的性质(1)负数和O没有对数.1的对数等于即IOgJ = O仪0且GH1). 底数的对
5、数等于亿即log = l (。0且GHI)对数恒等式N=N (d0且GHl)(5) IOgCz UX = X (40且0工1 )对数的性质不仅可以简化运算更盍要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如,一 2 = InfJ =Iogy =.例6.将下列指数式改写成对数式：(1) 24 =16;(2) 2=丄32解：(1) V 24 =16, log J6 = 4;(2) V 2-5 =丄1Ogr 丄=一53232例7.将下列对数式改写成指数式：(1) Iog5125 = 3;(2) IOgl 16 = -42解：(1) V IogSl25 =3, 53 = 125;(1V(2) T
6、logl 16 = -4, = 16212丿点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的盍要途 径,但一定要记清,K N在两种形式中的准确位置:指数式C广=N ,对数式X = IOg “ N.需要说明的是，并不是所有的指数式都可以化为对数式，如(-2)4 = 16 .就不能化为IOg_216 =4； =1,就不能化为IOgl 1 = 2.例8.计算下列各式的值：(1) Iog5 25 ;(2) Iog I 32 ;(3) 3,0,;(4) lnl; (5) Iog2j 2.5.2解：(1) Iog5 25 = Iog5 52 = 2 ;(对数的性质AOgaaX=X
7、)（2）log, 32 = Iog,（lj =-5;（3）3,a,o=10;（对数恒等式:严Af=N）（4）Inl = O;（对数的性质:1的对数等于0）（5）log2,52.5 = l.（对数的性质:底数的对数等于1）例9.计算：（I）IOg9 27 ;（2） IOg 葩 81；（3）IogI-：|（2-5）.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.3 解：(1)设Iog9 27 =X9则有9 =27.32x =32x = 39x = -23 .log927 = -;(2)设Iogir. 81 = X,则有(V5) =81,3“ = 3，扌X = 4,x = 16.（3）设IOgAe（2-巧
8、）=.则有（2 +巧）“: IOgi_ 81 = 16;=2VJ = = 2 + 3log(2+(2-V5)=j.例10.求下列各式中的x:(1) Iogt 27 = ;(2) 4A =53t.O32解：(1) Tog 27j2 =27丿=27=(3爭=3? =9;2(L(2) V 4=53 =5,x = log45 13丿J例 1*1.若4 =2,lgx = ,贝Ib=.解：T 4“ =2匸 22a =292a = l9a = -.2I*.* Igx = Ci, .*. X = 10 =10，= VFo.例 12.已知函数 /(x) = log2(2 +),若 /(3)= 1 JIIJn =
9、解: /(3)=1,AIog2(9 + 6)=l,9 + = 2,解之得: = -7.点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即IOgU = 1 (0,且“Hl)例 13.设 log 2 = ,loga 3 = H ,则 C严的值为.解：V Iogu 2 = In ,1Oge 3 = n, /. a = 2, Cr =3.A a2m+ = (uh, )2 - an =223 = 12.例14.求下列各式的值:(1) 5,0fo4;(2) 3;ft: (1) 5,0fo4 =4;(对数恒等式:泸=N)(3) 24+l0g25 =24 2k5 =16x5 = 80.知识点四对数的运算性质 如果
10、 0t 且Hl. M 0,N0.则有: IogHMN) = gM+log；M Iogtf- = Iogu M-Iog;(3) Iog 7Af=Hlog iM 其中对数的运算性质可推广：1OgHMlM2Mj = I。轧M+log打M+log,收常用推论：(1)IOgU 丄=IOgu MT= -IOg u M ；M(2) IOg T =Iog M7 =-log M. P “例15 证明对数的运算性质:Iog “ (MN) = Iogl M + IOgJ N (d0 且gH1,M0,N0)分析:利用指数幕的运算性质,可以证明对数的运算性质 证明：设 Iog M =PjOg N = q,则 M = C
11、ryN = Clg * IOgu(MN) = Iogu(ClP d)= IOgMr = p + q ,log“ M + log7 TV = p + q.A IOgj) = Iog, /+Iogu TV .例16 证明对数的运算性质：Mlog = Iog/M-IogjN ( O且d H 1,M 0,N O ) TV ,证明:设IOg“ M = PJOgtf N = 则M =ap,N = CIqg-=呃F=g 呃MrjN=P-q/. IOg I = IOg M - IOg ” N “ N例17.证明对数的运算性质：IOg z M,! = AHOg I M ( a 0且 H 1,M 0,N 0 )证
12、明:设 IOg lZ M=X 侧 M = ax: IOg“ M = IOg ) = IOgiz cx =IvCJI IOg“ M = nxlog“M =nlogttM.对数的运算性质的应用例18.化简求值：(1) 41g2 + 31g5-lg-;lgl.2322 IOg 32-log3 + IOg 3 8 - 5 嗓3;(9) lgJ7 + lg8-31gJI5.19.计算:严+log迟25 =解:原式= 3 + log*(=3 + 4 = 7.例 20.设 Iog2 3 = Jog215 =Z?,则 Iog2 75 =解：V Iog2 3 = ,log, 15 =b/. Iog2(35) =
13、 Iog2 3IOg2 5 = a + Iog2 5 = Z?,A Iog2 5 = b a Iog2 75 = Iog2(15 5) = Iog215 + Iog2 5 = b + b a = 2b u 例21.计算：3叫一2“叱3+10呻+丄解:原式=32也+102 + 2 V= 3x5-16x3 + 3+2 吆诂=15-4827+r29T例 22.计算:(Ig 2)2+lg 2 Ig 5-Ig 20.解:原式= !g2(g2 + lg5)-Ig(IoX 2)例23.讣算:(I)Iog2+ Iog212-Ilog2 42;厶解：（1）原式=Iog?+ Iog2 J144 - Iog2 O忑
14、= Iog2屁卜 iog,f=iog2 二一*2(2)原式=lg5 + 二Ig2+lg5lg(lx2) + (lg2)= 21g5 + 21g2 + lg5(l + lg 2)+(lg2) = 2(lg5 + lg2)+lg5 + lg2(lg5 + lg2)= 2 + lg5 + lg2例 24计算：5叽小5： + 3oto(J)2 解:原式=52lofe5 + 3 沁川=25 %g + 9 窗S = 3-i + + 3 = 23 .点评 本题为易错题，易错误得到5叫卜府=5叫Z),实际上，此时真数l-3.例25.若Iog*2)(疋- 7兀+13) = O,则X的值为 解:Tlog-2)(x
15、 -7x + 13) = 0X2 -7x +13 = 1A x-20 ,解之得/ = 4.x-2lX的值为4.例 26.若 /(2l+l)=,则/(4)=解:由 2+1= 4 得到 T =3,x = log23., /(4)=iog23例27.已知lg,lg”是方程2x2-4 + 1= O的两个根,则flg- 的值是【】(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4解：T 2/ 4x +1 = O, 亍一2 + 丄=O 2 IgGIgb是该方程的两个根 Ig + Ig Z? = 2, Iga Ig b =.2 Ig -Al = (Ig6/ IgZ?)? = (lg6/ + IgZ?)2 4Ig Ie
16、Z? = 22 4 = 2.b)J2选择【B】例 28.计算:(订! + log j + Iog 3 =解:原式=)+呃5 4)4 5丿27+ lg3l =y例29.解下列方程：(1) log2(x +4) +log2(x-l) = 1+ log,(x + l);(2) lg(2t+2x-16)= Ox-lO,解之得.x = 2.该方程的解为x = 2;(2) lg(2v + IX-16)= X(Ig 10-5) = xIg2 = IgT ：.T +2x-16 = 2x,解之得:x = 8,符合题意.该方程的解为x = 8.例 30.若 lg-21g2 = lj!j=(A) 4(B) 10(C
17、) 20(D) 40解:T Ig - 21g 2 = 1, ： Ig U - Ig T = 1, Ig - Ig 4 = Ig- = L4: = 10,解之得: = 404选择【D】.例 31.方程IOgM(I+ 23) = x + l的解 X=.MHog3(l + 23c)=log33l,l + 23t =3x+l =33t.3“ = I ,解之得:X = 0,即该方程的解为- = 0.点评根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的x +1 = Iog3 3l+,.例 32.计算:1Og25 6.25 + lg0.01 + lne-2l+to23.I解：原式=IOg25 2.52
18、+lgl02+ In 门 一 2 2l0fc32 2 + 2x3 .2 2例 33. (1)计算:Iog3 27 + Ig 25 + Ig 4 + (-9.8) + IOg( l)(3 - 2);(2)已知 Ig X + Ig y = 2 lg(x 2y),求 IOg 方 y 一 IOg 员 x 的值.解：(1)原式=IOgj 3 訂 lg(25x4)+l + logjj(-1)= - + 2 + 1 + 2213 2(2) V lgx + lgy = 2IgCV-2y), IgQ = Ig(X_2y)2 (X _ 2y)： = Xy , x2 _ 5xy + 4y2 = O.VxO, 1-5
19、 丄+ 4 丄XJ= o,Z = 1 或hi.X 4 X/ xO,y 0,x-2y O . O - 0,Hxl x = 8 =(2计=;解法二:V Iogt 8 = 6, IOgA T =31ogx2 = 6, Iogx 2 = 2.* IOg J (V2) = 2 IOg y2 = 2 JOg V2 = 1, x = V2 (2) Iog(x2 -10)= 1 + Iog3 XJOg(x2 -IO) = Iog3 3 + Iog5 X logj(x2 - IO)= Iog3 3xx2-100. X O,解之得: =5.X2 一 10 = 3X即X的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个
20、同底对数相等,则它们的真数相等.例 39.若 Glog 3 = 1,则 3“+9“ 的值为.解：TdIogs 3 = 1, log53rt = 3“ =5. 3“ +9“ =5 + (3)，=5 + 52 =30.点评 本题考査对数的性质:底数的对数等于1.即log, = l 0且Hl)例 40. flgX-Igy = 6/,WlJlgI 丄 _Ig 2)12（用含“的式子表示）X 解:T Ig Igy = ,: Ig = a.yZ 31s) -ls =ls=18(7)=31gr3(2；例 41.若 A-IogJ 3 = 1 !SlJlog2S + 等于【】(A) 3(B) 5(C) 7(D)
21、 101 1 1 Z- 解：T XIOg4 3 = , Ioe 3 = , 3 = 42 = -4 = 2 J 2 J 2log23x+9v = log, 2 +(3,)2 =l + 22 =5.选择【B】例 42.若 G = IOg3,则 2“+2“ =解：Ta = Iogn 3, 4z =3,J (2a)2 =3, T =3.2+，2“+$辰才響例 43.方程 IogJy- -5) = log-2) = log2( -2b-2)=IOgJd方2(“ + /?) +4 = Iog2 4 = Iog2 2 = 2 知识点五对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会
22、遇到不同底数的对数运算, 必须使用换底公式.IOg bIOgr a换底公式：log, = j= (c0且oHl. c()且心10)说明:(1) 换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义；(2) 换底公式的意义在于改变对数式的底数把本题底数的对数运算转化为同底数的对数 运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明；(3) 在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定通常换成以10 为底数的常用对数.换底公式的证明分析：换底公式的证明.要用到对数式与指数式的互化证明:设 IOg “ b = X,则 a = b.在等式ax=b的两边同时取以C为底的对数得：IOgC
23、 a = Iogr /?,即 XIOgr a = IOgr b .A = ,Jlg b =也. bg, log.其中 0且 H 1 ,c 0且CH 1,/? 0.对数换底公式的几个常用推论：log7 = I =IogM log.(4) log” log/ = 1;1一 logfr T ,或IOg“ b logfr U = I -Zl y = 1 IOgMIOgr a IOgr b(5) IOg iOgfr c Iogr 6/ = 1.例51.计算：(1) log29log34log168;(2) (Iog2 3 + Iog4 3iog3 4 + Iog9 4).解(1)原式=21竺=坐！如辿2
24、 = 注2lg2 Ig3 Ig 16 lg2 Ig3 41g243解法二:原式=21og,321og52log 4 2 = 4(log2 3kg3 2)-log2 24= 4l- = 3;4原式倍铝飞4 十 Ig4lg3lg3 )l3 lg9 丿 Ug2 21g2j21g2 I 21g2I 321g3丿31g3 31g2=2x3=2解法二:原式=(IOg2 3 + log2? 3XlOgI 22 +Iog32 22)1 33 + -log23 21og32 + log32)=-log23.31og322 ) 2999=IOg、 3 IOS, 2 = 1 =.2 - 2 2注意 在（2）的解法二
25、中,用到了对数换底公式的推论:Iog m H = log4r b. IOgff b IOgh a = . ,zIrI例52计算:(I) (IOg+,ogs3=(2) (IOg 2125 + log 4 25 + logQXlog5 2 +Iog25 4 + Iog125 8) =式HB+般挣器肾1；解法二:原式=(IOgj2 3 + log2j 3) = log2 3 +1 IOg2 3JIOg3 2= -log23.1og32 = -;原式空+輕+妙|.(些+旦+址jI 2 lg4 lg8j l5 Ig25 Ig 125；3I + + JWl+21+31)13 32 = I3 I lg2 2
26、Ig231g2丿 llg5 21g53Ig5J 3Ig2 Ig5解法二:原式=(3log? 5+ log?2 5 +Iog23 5Xlog5 2+ Iog52 T + Iog53 2)3Iog2 5 + log2 5 + -Iog2 5(log52 + Iog52 + log52)13= ylog2531og52 = 1371例53. (1)设34 =36,求二 + 的值;X y(2)已知IOg, 3 = ai3h = 7,Iog1256.解：(1) .3=4=36X y Iog3 36 Iog4 36 X = IOg 36, y = IOg 4 36 .=2 IOg 36 3 + IOg 3
27、6 4 = IOg 36 9 + IOg 36 4 = IOgJ6 36 = 1;点评 这里用到了对数换底公式的推论：log,= log/(2) V Iog23 = 6,3z, =7卷7呃7“捂Ig 3 = Ig 2, Ig 7 = ? Ig 3 = ba Ig 2. Iog12 56 =Ig56 _ Ig7 + lg8 _ Ig7 + 31g2 _M?lg2 + 31g2 _ (Gb+ 3)lg2 _ ab + 3IgTI 一 Ig3 + lg4 一 Ig3 + 21g2 一 lg2 + 21g2 ( + 2)lg2 一 a+ 2例54.已知a,b.c都是不等于1的正数,且 =b =C +
28、+ = 0,求?C的值.分析:使用连等设參数法.可以利用指数塞与根式的互化以及指数踊的运算性质解 决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问題.1丄I解法一：设 =by =CZ =/,则 t 09a = tx .b = t- .c = tz 1 1 11 丄 1abc = F 八* =FHTF = O abc = 0 = 1.解法二:设/ =by =CZ =r,则0.V a,b.c都是不等于1的正数I X = IOga t.y = IOgA, z = IOgr t XyZ1 1 11Flog IogM log= 0,. IOgf a + IOgz b + IOgZ Clogf(bc)
29、 = O/ abc = 1 例55.计算Iog2 16的结果是【】434(A) -(B) -(C)-343解:Iog2 V16 = log, 16, = Iog216 = log, 24 =.333选择【A】.点评：这里用到了对数的性质：(1) IOgiIM=Iogu / 例56.求下列对数式的值：(1 ) hi 1 + In -;e(2) 41g2 + 31g5-lgl;(3) log,Z7+lg25lg4 + 71072.解：(1)原式= O + ln =-1;(2) 原式=Ig 2 + Ig 5 - Ig * = lg(2 X5 + ) = lg(24(3) Jj=log3(33)+lg
30、(254)+2 = - + 2 + 2 = H.2 213例 57. 2 Ig 5 + Ig 9 - Ig + log 2 3 Iog 5 78 =3(D)4 logf = l54) = 41gl0 = 4;解:原式=lg25 + lg3-lg +空 Xsd4 Ig 2 Ig 3= lg25x3扌 +Ig 8= IglOO +I1g2lg2= 2 = I.2 2例58.对数综合运算求值:(I) Ig厉+ig8-igjfL2(2) (l-log63)2 +Iog62log618log64.解:3 3D原式(升飞27()Rgfr 322Ig3 + 21g2-lS10(lg3 + 21g2-l)3I
31、g3 + 21g2-l 2(2)原式=(Iog6 6-Iog6 3)，+ Iog6 2(log6 3 + Iog6 6)Iog6 4 =(log6 2)2 +Iog6 2-Iog6 3 + Iog6 2 Iog6 4=Dg6 2(lg6 2+ Iog6 3)+Iog6 2 Iog6 4= (IOg62 + log62)21og62= 21og6221og62=1例59.求下列式子的值：(I) 21g(lg严).2 + lg(lg(2)21g2 + lg31+lg 0.36+ -Ig 8解：原式=2临(心的)=22 +以的)=2；2+ lg(lg)2 +Ig(Igd)(2)原式 迴4 + 塩3
32、Igl2 _lgl2_ lgl + lg.6 + lg2 Ig(IO 0.6 2) Ig 12例60给出下列各式:Ig(Ig 10) = 0Ig(Ine) = 0 :若 Io = lgx,WJ X = I0;由 log“X = -X = 5.2其中正确的是.(把正确的序号都填上)答案解:Ig(Ig IO) = Ig 1 = 0做正确;Ig(Ine) = Ig 1 = 0,故正确;若Io = IgX,则X = I(T,故错误；由logg142 = ,用表示IOg逅7;(2)已知k7 = ,log145 = Z?,用上表示Iog3528 .解：(1) V Iog142 = 6/, Iog214 =
33、 . log 7 7 = log , 7 = 21og, 7 = 2(log, 14-log, 2)= 2丄一 1 ；(2) VIOgu7 = ,log145 = Z?IOg 14).IOa 28 = bgj28 =7 丿=叽14-叽7 + 叽14 = 2-ae5 log* 35logu(75)Iog14 7 +Iog14 5c + b例65.解关于X的方程：(1) Iog5(x + l)-log,(x-3)=l;(2) (lg+Igx3-10 = 0.解：(1) IOgS(X+ 1)-1OgS-I(X-3) = 1,log5(x + l)+log5(x-3) = Iog55IOgS(X + lx-3) =Iog5 5( + 1Xx-3) = 5A x + 1 0,解之得:x = 4.x-3 O该方程的解为x = 4;(2) (IgX) +3IgX-IO = O,(lgx-2Xlgx + 5) = 0 Igx = 2SEIgX =-5 = 102gx = W5.经检验/ = 10和X = IO-5都是原方程的解.例 66.
