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1、全等三角形难题(含答案 )1.已知： AB=4 ， AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADABCD解：延长 AD 到 E, 使 AD=DED是BC 中点BD=DC在ACD 和BDE 中AD=DEBDE= ADCBD=DCACD BDEAC=BE=2在ABE 中AB-BE AE AB+BEAB=4即 4-2 2AD 4+21AD 3AD=212.已知： D 是 AB 中点，ACB=90 ，求证：CDAB2ADCB延长 CD 与 P ，使 D 为 CP 中点。连接AP,BPDP=DC,DA=DBACBP 为平行四边形又ACB=90平行四边形 ACBP 为矩形AB=CP=1/2AB
2、3. 已知： BC=DE ，B= E，C= D， F 是 CD 中点，求证： 1= 2A1 2BECFD证明：连接BF 和 EF BC=ED,CF=DF, BCF= EDF 三角形 BCF 全等于三角形EDF( 边角边 ) BF=EF, CBF= DEF连接 BE在三角形 BEF 中 ,BF=EF EBF= BEF 。 ABC= AED 。 ABE= AEB 。 AB=AE 。在三角形 ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF= EAF ( 1= 2) 。4. 已知：1= 2 ，
3、CD=DE ，EF/AB ，求证： EF=ACA1 2 FCDEB过 C 作 CG EF 交 AD 的延长线于点GCG EF ，可得， EFD CGDDEDCFDE GDC （对顶角）EFD CGDEF CGCGD EFD又， EF AB，EFD 11= 2CGD 2AGC 为等腰三角形，ACCG又 EF CGEF AC5. 已知： AD 平分BAC ， AC=AB+BD ，求证： B=2 C A证明：延长AB 取点 E，使 AE AC ，连接 DEAD 平分BACEAD CADAE AC ， AD ADAED ACD（ SAS ）ECAC AB+BDAE AB+BDAE AB+BEBD BE
4、BDE EABC E+ BDEABC 2 EABC 2 C6.已知： AC 平分BAD ， CE AB ，B+ D=180 ，求证：AE=AD+BE证明：在 AE 上取 F，使 EF EB ，连接 CFCE ABCEB CEF 90 EB EF，CE CE ，CEB CEFBCFEBD 180 ，CFE CFA 180 DCFAAC 平分BADDAC FACAC ACADC AFC （ SAS ）AD AFAE AFFE AD BE12. 如图，四边形ABCD 中， AB DC ，BE 、CE 分别平分 ABC 、BCD ，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC。在 BC 上截取 B
5、F=AB ，连接 EFBE 平分ABCABE= FBE又BE=BEABE FBE （ SAS ）A=BFEAB/CDA+D=180 oBFE+ CFE=180 oD=CFE又DCE= FCECE 平分BCDCE=CEDCE FCE （ AAS ）CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13. 已知： AB/ED ，EAB= BDE ，AF=CD ， EF=BC ，求证： F= CEDCFABAB ED ，得：EAB+ AED= BDE+ ABD=180度，EAB= BDE ，AED= ABD ，四边形 ABDE 是平行四边形。得：AE=BD ，AF=CD,EF=BC，三角形 AEF 全等于三角形
6、DBC ，F=C。14. 已知： AB=CD ，A= D，求证： B= CADBC证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E，（当 ADBC 时， E 点是射线AB,DC 的交点）。则：AED 是等腰三角形。AE=DE而 AB=CDBE=CE ( 等量加等量，或等量减等量）BEC 是等腰三角形B=C.15. P 是BAC 平分线 AD 上一点， ACAB ，求证： PC-PBAC-AB CAPDB在 AC 上取点 E，使 AEAB 。AE ABAP APEAP BAE ，EAP BAPPE PB。PCEC PEPC （ AC AE ） PBPC PBAC AB 。16. 已知ABC=3 C，1=
7、 2 ， BE AE ，求证： AC-AB=2BE证明：在 AC 上取一点 D，使得角DBC= 角 CABC=3 CABD= ABC- DBC=3 C-C=2 C；ADB= C+ DBC=2 C;AB=ADAC AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD 中， AE 是角 BAD 的角平分线，AE 垂直 BDBE AE点E 一定在直线BD 上，在等腰三角形ABD 中， AB=AD ， AE 垂直 BD点E 也是 BD 的中点BD=2BEBD=CD=AC-ABAC-AB=2BE17. 已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DC DCFAEB作AG BD
8、 交 DE 延长线于GAGE 全等 BDEAG=BD=5AGF CDFAF=AG=5DC=CF=218 如图，在 ABC 中， BD =DC ，1= 2，求证： ADBCAD至BC于点E,BD=DCBDC 是等腰三角形DBC= DCB又1= 2DBC+ 1= DCB+ 2即ABC= ACBABC 是等腰三角形AB=AC在ABD 和ACD 中 AB=AC1= 2BD=DCABD 和ACD 是全等三角形（边角边）BAD= CADAE 是ABC 的中垂线AE BCAD BC19 如图， OM 平分POQ ， MA OP ,MB OQ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N求证：OAB=OBA
9、证明：OM 平分POQPOM QOMMA OP ， MB OQMAO MBO 90OM OMAOM BOM（ AAS ）OA OBON ONAON BON（ SAS ）OAB= OBA ，ONA= ONBONA+ ONB 180ONA ONB 90OM AB20 （ 5 分）如图，已知ADBC，PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于E， CE 的连线交 AP 于 D求证： AD+BC= ABPCEDAB做 BE 的延长线，与 AP 相交于 F 点， PA/BCPAB+ CBA=180 ，又，AE ， BE 均为PAB 和CBA 的角平分线EAB+ EBA=90 AEB=90 ，EAB 为直
10、角三角形在三角形 ABF 中， AE BF ，且 AE 为FAB 的角平分线三角形 FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形 DEF 与三角形BEC 中，EBC= DFE, 且 BE=EF ，DEF= CEB ，三角形 DEF 与三角形BEC 为全等三角形， DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC21 如图， ABC 中， AD 是CAB 的平分线，且AB =AC +CD，求证： C=2 BACDB延长AC到E使 AE=AC 连接 ED AB=AC+CD CD=CE可得B= ECDE 为等腰ACB=2 B22 （ 6 分）如图， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE
11、AC 于 E ， BFAC 于 F，若 AB=CD，AF =CE，BD 交 AC 于点 M（ 1）求证： MB=MD， ME=MF（ 2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由（ 1）连接 BE ，DF DE AC 于 E，BFAC 于 F，DEC= BFA=90 ，DE BF ，在 RtDEC 和 RtBFA 中， AF=CE ， AB=CD ，Rt DEC Rt BFA （ HL ）， DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形 MB=MD ， ME=MF ；（2）连接 BE ，DFDE AC 于 E，BFAC 于 F，DE
12、C= BFA=90 ，DE BF ，在 RtDEC 和 RtBFA 中， AF=CE ， AB=CD ，Rt DEC Rt BFA （ HL ），DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形MB=MD ， ME=MF 23 已知：如图，DCAB，且 DC =AE ， E 为 AB 的中点，（ 1 ）求证： AED EBC （ 2 ）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与 AED 的面积相A等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：EODBC证明：DC ABCDE AEDDE DE，DCAEAED EDCE为AB中点AE BEBE DCDC ABDCE BECCE CEEBC
13、 EDCAED EBC24 （ 7 分）如图， ABC 中，BAC =90 度， AB =AC ，BD 是ABC 的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于F求证：BD =2CEFAEDBC证明：CEB= CAB=90 ABCE 四点共元AB E= CB EAE=CEECA= EAC取线段 BD 的中点 G，连接 AG ，则： AG=BG=DGGAB= ABG而：ECA= GBA ( 同弧上的圆周角相等）ECA= EAC= GBA= GAB而： AC=ABAEC AGBEC=BG=DGBE=2CE25 、如图： DF=CE ， AD=BC ，D= C。
14、求证： AED BFC 。DEFCAB证明：DF=CE ，DF-EF=CE-EF，即 DE=CF ，在AED 和BFC 中， AD=BC ， D= C ， DE=CFAED BFC （SAS ）26 、（ 10 分）如图： AE 、 BC 交于点 M， F 点在 AM 上， BE CF， BE=CF 。求证： AM 是ABC 的中线。AFBMCE证明：BE CFE=CFM ，EBM= FCMBE=CFBEM CFMBM=CMAM 是ABC 的中线 .27 、（ 10 分）如图：在 ABC 中， BA=BC ，D 是 AC 的中点。求证：BD AC 。ADBCABD 和BCD 的三条边都相等AB
15、D= BCDADB= CDADB= CDB=90 BD AC28 、（ 10 分） AB=AC ， DB=DC ， F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CFADBCF在ABD 与ACD 中AB=ACBD=DCAD=ADABD ACDADB= ADCBDF= FDC在BDF 与FDC 中BD=DCBDF= FDCDF=DFFBD FCDBF=FC29 、（12 分）如图： AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证： AF=DE 。ABFECDAB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FBABE= CDFDCB= ABFAB=DC BF=CEABF= CDEAF=DE30.
16、公园里有一条“ Z ”字形道路 ABCD ，如图所示，其中 ABCD，在 AB，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳在一条直线上 .E，F，M，且BE CF，M 在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M 恰好证明：连接EFAB CDB=CM是BC中点BM=CM在BEM 和CFM 中BE=CFB= CBM=CMBEM CFM （SAS ）CF=BE31 已知：点A、F 、E、 C 在同一条直线上，AF CE， BE DF ，BE DF 求证：ABECDF AF=CE,FE=EF.AE=CF.DF/BE,AEB= CFD （两直线平行，内错角相等）BE=DF：ABE CDF （ SAS ）32. 已
17、知：如图所示，AB AD ，BC DC ，E、F 分别是 DC 、BC 的中点，求证：AE AF 。DEACFB连接 BD；AB=AD BC=DADB= ABDCDB= A BD; 两角相加， ADC= ABC ；BC=DCEF 是中点DE=BF ；AB=ADDE=BFADC= ABCAE=AF 。33 如图，在四边形ABCD 中， E 是 AC 上的一点， 1= 2，3= 4 ，求证 : 5= 6DA153C2E 64B证明：在ADC ，ABC 中AC=AC ，BAC= DAC ，BCA= DCAADC ABC （两角加一边）AB=AD ， BC=CD在DEC 与BEC 中BCA= DCA
18、， CE=CE ， BC=CDDEC BEC （两边夹一角）DEC= BEC34 已 知 ABDE，BCEF，D，C 在 AF 上，且 ADCF，求证：ABCDEFAD=DFAC=DFAB/DEA=EDF又BC/EFF=BCAABC DEF （ASA ）35 已知：如图， AB=AC， BDAC， CE AB，垂足分别为D、 E， BD、 CE 相交于点 F，求证： BE=CDCDFEA证明：BD ACBDC=90 CE ABBEC=90 BDC= BEC=90 AB=ACDCB= EBCBC=BCRt BDC Rt BEC （ AAS)BE=CD36、如图，在 ABC 中， AD 为BAC
19、的平分线， DE AB 于 E， DFAC 于 F。求证： DE =DF AEFBDC证明：AD 是BAC 的平分线EAD= FADDE AB ， DF ACBFD= CFD=90 AED 与AFD=90 在AED 与AFD 中EAD= FADAD=ADAED= AFDAED AFD （AAS ）AE=AF在AEO 与AFO 中EAO= FAOAO=AOAE=AFAEO AFO （ SAS ）AOE= AOF=90 AD EF37.已知：如图 ,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE若 AB=5,求AD的长？ADEBCAD ABBAC= ADE又AC BC 于 C， DE AC
20、于 E根据三角形角度之和等于180 度ABC= DAEBC=AE ，ABC DAE （ ASA ）AD=AB=538 如图： AB=AC ， ME AB ， MF AC ，垂足分别为E、 F ， ME=MF 。求证： MB=MCAEFBMC证明：AB=ACB=CME AB ， MF ACBEM= CFM=90 在BME 和CMF 中 B= C BEM= CFM=90 ME=MFBME CMF （AAS ）MB=MC 39. 如图，给出五个等量关系：ADBC ACBD CEDEDCDABCBA 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况） ，并加以证明已知：
21、 AD=BC ，DAB= CBA求证：DAB CBA证明：AD=BC ，DAB= CBA又AB=ABDAB CBA40 在ABC 中， ACB 90 ， AC BC ，直线 MN 经过点 C，且AD MN于D，BE MN 于 E .(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADC CEB ； DEADBE；(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图2立吗？若成立， 请给出证明； 若不的位置时，（ 1 ）中的结论还成成立，说明理由.（ 1 ）ADC= ACB= BEC=90 ，CAD+ ACD=90 ，BCE+ CBE=90 ，ACD+ BCE=90 CAD= BCE AC=B
22、C ，ADC CEB ADC CEB ，CE=AD ， CD=BE DE=CE+CD=AD+BE（ 2 ）ADC= CEB= ACB=90 ，ACD= CBE 又AC=BC ，ACD CBE CE=AD ， CD=BE DE=CE CD=AD BE41 如图所示，已知AE AB ，AF AC ， AE=AB ， AF=AC 。求证：（ 1） EC=BF ；（ 2） EC BFFEAMBC（ 1 ）AE AB ， AF AC ，BAE= CAF=90 ，BAE+ BAC= CAF+ BAC ，即EAC= BAF ，在ABF 和AEC 中，AE=AB ，EAC= BAF ， AF=AC ，ABF
23、AEC （SAS ），EC=BF ；（ 2 ）如图，根据（ 1 ），ABF AEC ，AEC= ABF ，AE AB ，BAE=90 ，AEC+ ADE=90 ，ADE= BDM （对顶角相等） ，ABF+ BDM=90 ，在BDM 中，BMD=180 -ABF- BDM=180 -90 =90 ，EC BF 42 如图： BE AC ，CF AB ， BM=AC ，CN=AB 。求证：（ 1 ） AM=AN ；（ 2） AM AN 。NA43F1EM2BC证明：（ 1 ）BE AC ， CF ABABM+ BAC=90 ，ACN+ BAC=90 ABM= ACNBM=AC ， CN=ABAB
24、M NACAM=AN（ 2 ）ABM NACBAM= NN+BAN=90 BAM+ BAN=90 即MAN=90 AM AN43 如图 ,已知A= D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证 :BC EF在ABF 和CDE 中,AB=DEA= DAF=CDABF CDE （边角边）FB=CE在四边形 BCEF 中FB=CEBC=EF四边形 BCEF 是平行四边形BC EF44 如图 ,已知 AC BD ， EA 、EB 分别平分 CAB 和DBA ， CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD相等吗？请说明理由在 AB 上取点 N , 使得 AN=ACCAE= EANAE 为公共 ,CAE EANANE= ACE又AC 平行 BDACE+ BDE=180而ANE+ ENB=180ENB=
