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1、第三章 函数的应用1：函数的零点【典例精析】例题1 求下列函数的零点。（1） y=；（2）y（2）（3x2）。思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。答案：（1）当x0时，y=x2+2x3，x2+2x3=0得x=+1或x=3（舍）当x0时，y=x22x3，x22x3=0得x=1或x=3（舍）函数y=x2+2|x|3的零点是1，1。（2）由（2）（3x2）0，得（x）（x）（x1）（x2）0，x1，x2，x31，x42。函数y（x22）（x23x2）的零点为，1，2。点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标。例题2 方程|x22x
2、|=a2+1 （aR+）的解的个数是_。思路导航：根据a为正数，得到a2+11，然后作出y=|x22x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x22x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。aR+a2+11。而y=|x22x|的图象如图，y=|x22x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点。方程有两解。答案：2个点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。例题3 若函数f（x）axb有一个零点为2，则g（x）bx2ax的零点是（ ）A. 0，2 B. 0， C. 0， D. 2，思路导航：由f（2
3、）2ab0，得b2a，g（x）2ax2axax（2x1）。令g（x）0，得x10，x2，故选C。答案：C【总结提升】1. 函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式yf（x）可以看作方程yf（x）0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了动与静、变量与常量的辩证统一。函数零点的求法：（1）解方程f（x）0，所得实数根就是f（x）的零点；（2）画出函数yf（x）的图象，图象与x轴交点的横坐标即为函数f（x）的零点。3. 函数零点与方程的根的关系 根据
4、函数零点的定义可知：函数f（x）的零点，就是方程f（x）0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）0是否有实数根，有几个实数根。 4. 函数y=f（x）的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，如果一个函数能通过变换化为两个函数之差的形式，则函数的零点就是这两个图象交点的横坐标，可以通过画出这两个函数的图象，观察图象的交点情况，对函数的零点作出判断，这种方法就是数形结合法。2：二分法【考点精讲】1. 函数零点的存在性判断二分法 如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在x0（a，b）
5、，使f（x0）0，这个x0也就是方程f（x）0的根。2. 逆定理：如果函数y=f（x）在a，b上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f（a）f（b）0。3. 用二分法求函数零点的步骤：已知函数y=f（x）定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使得|xx0|。（1）在D内取一个闭区间a，bD，使f（a）与f（b）异号，即f（a）f（b）0。令a0=a，b0=b。（2）取区间a0，b0的中点，则此中点对应的横坐标为x0=a0+（b0a0）=（a0+b0）。计算f（x0）和f（a0）。判断：如果f（x0）=0，则x0就
6、是f（x）的零点，计算终止；如果f（a0）f（x0）0，则零点位于区间a0，x0内，令a1=a0，b1=x0；如果f（a0）f（x0）0，则零点位于区间x0，b0内，令a1=x0，b1=b0。（3）取区间a1，b1的中点，则此中点对应的横坐标为x1=a1+（b1a1）=（a1+b1）。计算f（x1）和f（a1）。判断：如果f（x1）=0，则x1就是f（x）的零点，计算终止；如果f（a1）f（x1）0，则零点位于区间a1，x1上，令a2=a1，b2=x1。如果f（a1）f（x1）0，则零点位于区间x1，b1上，令a2=x1，b2=b1。实施上述步骤，函数的零点总位于区间an，bn上，当|anbn
7、|2时，区间an，bn的中点xn=（an+bn）就是函数y=f（x）的近似零点，计算终止。这时函数y=f（x）的近似零点与真正零点的误差不超过。【典例精析】例题1 对于函数f（x）x2mxn，若f（a）0，f（b）0，则函数f（x）在区间（a，b）内（ ）A. 一定有零点 B. 一定没有零点C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点思路导航：若函数f（x）的图象及给定的区间（a，b），如图（1）、图（2）所示，可知A错；若如图（3）所示，可知B错、D错。故C对。答案：C点评：结合二次函数的图象来判断给定区间根的情况。例题2 用二分法研究函数f（x）x33x1的零点时，经第一次计算得f（0）0，
8、f（0.5）0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_，这时可判断_。 思路导航：由题意知x0（0，0.5），第二次计算应取x10.25，这时f（0.25）0.25330.2510，故x0（0.25，0.5）。答案：（0，0.5） f（0.25） （0.25，0.5）例题3 是否存在这样的实数a，使函数f（x）x2（3a2）xa1在区间1，3上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点。若存在，求出范围，若不存在，说明理由。思路导航：运用二分法可以求出a的范围，但是要注意检验。 答案：（3a2）24（41）9a216a8920，若实数a满足条件，则只需使f（1）f（3）0即可。f（1）f（3）（13a
9、2a1）（99a6a1）4（1a）（5a1）0。所以a或a1。检验：（1）当f（1）0时，a1。所以f（x）x2x。令f（x）0，即x2x0，得x0或x1。方程在1，3上有两根，不合题意，故a1。（2）当f（3）0时，a，此时f（x）x2x。令f（x）0，即x2x0，解之得x或x3。方程在1，3上有两根，不合题意，故a。综上所述，a或a1。 【总结提升】本部分内容是高中数学的重难点，也是高考考查的重点，对于本部分内容的备考需注意以下两个方面：一是准确理解函数零点的概念及其存在性定理，能通过特殊值的函数值判断函数零点所在的区间；二是熟记常见函数的图象，牢记图象的基本特征，灵活运用函数图象解决相关
10、问题。高中阶段，研究函数零点的主要方法有：零点定理法、数形结合法。使用二分法求方程的近似解要注意：（i）要使第一步中的区间a，b长度尽量小；（ii）区间a，b的长度与一分为二的次数满足关系式。3：函数零点的应用【考点精讲】二次函数零点分布：设以下研究a0 的情况，a0分析方法同理（a）二次方程的两个根满足函数两个零点为满足（b）方程的两个根满足二次函数两个零点满足（c）方程的两个根满足时，（d）二次方程的两个根满足函数的零点满足（e）二次方程的两个根有且只有一个根在（p，q）内函数的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内或检验f（p）=0，f（q）=0并检验另一根在（p，q）内。【典例精析】例
11、题1 已知关于x的二次方程x22mx2m10。（1）若方程有两根，其中一根在区间（1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线f（x）x22mx2m1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得即m。（2）抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组即m1。例题2 对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f（x）（x22）（x1），xR。若函数yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取
12、值范围是（ ）A. （1，1（2，） B. （2，1（1，2C. （，2）（1，2 D. 2，1思路导航：当（x22）（x1）1时，1x2，所以f（x）f（x）的图象如图所示。yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，即方程f（x）c恰有两个解，由图象可知当c（2，1（1，2时满足条件。答案：B点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题3 已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1恒有零点（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值思路导航:（1）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件当m+60时，由0求得m且m-6综合可得m的范围（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值答案：（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点当m+60时，m-6，由=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=-36m-200，得m当m且m-6时，二次函数有零点综上可得，m，即m的范围为（-，（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有x1+x2=，x1x2=-4，即=-4，=-4，解得m=-3且当m=-3时，m+60，0，符合题意，m的值为-3
