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1、浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用文1介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.例1 已知椭圆，为坐标原点，为椭圆右顶点，若椭圆上存在点(异于点)，使得，则椭圆离心率的取值范围为_.分析 此题中的点满足，即点在以为直径的圆上，也即椭圆与以为直径的圆有不同于点的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点变换为点，则点与点的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.解 作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，原坐标系中
2、以为直径的圆的方程为，则，不难求得椭圆离心率.说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.例2 已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为_.分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互
3、相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.解 作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.由文2中的结论，易得当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为.说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一
4、种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.例2变式 已知椭圆，为椭圆内一定点，过点的弦与椭圆交于两点，若使得三角形面积为的弦存在两条，则取值范围为_.例3 （2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.分析 此题按照常规解法较为繁琐，但利用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射变换后，点分别变换为点，对应直线的斜率变换为原来的
5、倍，且根据圆的性质，可得，利用此性质可较容易求得与的比值关系.解 作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点分别变换为点，由为中点，可得.（1）当两点分别是原坐标系中椭圆的右顶点及上顶点时，经仿射变换得到，此时线段所在直线斜率为，则斜率为，即,，计算易得，即椭圆的标准方程为.（2）经仿射变换后，是的等比中项所在直线斜率变换为，则根据，可得斜率为，因为，即求得，又因为，则，化简计算易得，即为定值.说明 本题原答案是利用直线与椭圆联立求得点坐标，进而求得直线后，继续令直线与椭圆联立，求得点坐标，再利用三条线段成等比中项求得与的比值，运算量较大.但利用仿射变换的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解，运算量大大简化.
