《九年级数学下册-第二章-二次函数章末小结与提升课时作业-(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册-第二章-二次函数章末小结与提升课时作业-(新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年.docx（11页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、二次函数章末小结与提升二次函数描述的关系实际问题二次函数概念二次函数y=ax2的平移上、下平移|k|个单位长度:y=ax2+k左、右平移|h|个单位长度:y=a(x-h)2上、下平移|k|个单位长度,左、右平移|h|个单位长度:y=a(x-h)2+k二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质开口方向:a0,开口向上;a0x-b2a时,y随x的增大而增大x-b2a时,y随x的增大而减小a-b2a时,y随x的增大而减小x-b2a时,y随x的增大而增大二次函数的表达式:待定系数法二次函数与一元二次方程二者关系利用图象解方程二次函数与实际问题最大面积问题最大利润问题其他问题类型1二次函数的图象与性质典例
2、1(某某中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:4ac0;当y0时,x的取值X围是-1x3;当x0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】由题意知a0,即4ac0时,x的取值X围是-1x3,故错误;当x0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值是(B)A.1B.-1C.-1-52D.-1+522.在-3x0X围内,二次函数y1=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示.在这个X围内,有结论:y1有最大值1、没有最小值;y1有最大值1、最小
3、值-3;函数值y1随x的增大而增大;方程ax2+bx+c=2无解;若y2=2x+4,则y1y2.其中正确的个数是(B)A.2B.3C.4D.53.某篮球运动员身高1.91 m,在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-15x2+72的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离约为(B)A.3.2 mB.4 mC.4.5 mD.4.6 m4.我们知道,经过原点的抛物线的表达式可以是y=ax2+bx(a0).(1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a=-1;当顶点坐标为(m,m),m0时,a与m之间的关系式是a=-1m.(2)继续探究,如果b0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k
4、0)上,请用含k的代数式表示b.解:(2)a0,y=ax2+bx=ax+b2a2-b24a,顶点坐标是-b2a,-b24a.又该顶点在直线y=kx(k0)上,k-b2a=-b24a.b0,b=2k.类型2求二次函数的表达式典例2已知二次函数的顶点坐标为(2,-2),且其图象经过点(3,1),求此二次函数的表达式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.【解析】设二次函数的表达式为y=a(x-2)2-2,把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,解得a=3,所以二次函数的表达式为y=3(x-2)2-2,当x=0时,y=34-2=10,所以函数图象与y轴的交点坐标为(0,10).
5、【针对训练】1.某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(2,1),则这个二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.2.(某某中考)已知抛物线y=a(x-1)2过点(3,1),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式;(2)若点B0,14,C均在抛物线上,且BDC=90,求点C的坐标.解:(1)将点(3,1)代入表达式,得4a=1,解得a=14,所以抛物线的表达式为y=14(x-1)2.(2)由(1)知点D的坐标为(1,0),设点C的坐标为(x0,y0)(x01,y00),则y0=14(x0-1)2,过点C作CFx轴于点F,BOD=DFC=90,DCF+CDF=90,
6、BDC=90,BDO+CDF=90,BDO=DCF,BDODCF,BODO=DFCF,14=x0-114(x0-1)2,化简得14=4x0-1,解得x0=17,检验知x0=17是分式方程的解,此时y0=64,点C的坐标为(17,64).类型3二次函数与一元二次方程典例3已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,这个二次函数的图象与x轴总有公共点;(2)若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐标.【解析】(1)=(-m)2-42(-m2)=m2+8m2=9m20,则对于任意实数m,这个二次函数的图象与x轴总有公共点.(2)由题意得212
7、-m-m2=0,解得m1=1,m2=-2,当m=1时,二次函数为y=2x2-x-1,令y=0,即2x2-x-1=0,解得x1=1,x2=-12,则点A的坐标为-12,0;当m=-2时,二次函数为y=2x2+2x-4,令y=0,即2x2+2x-4=0,解得x1=1,x2=-2,则点A的坐标为(-2,0),综上所述,点A的坐标为-12,0或(-2,0).【针对训练】1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列说法错误的是(D)A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a0)的最小值是-4C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根D.当x0;b2-4ac
8、0;9a-3b+c=0;若点(-0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则y1y2;5a-2b+c0)经过原点O和点A(2,0).(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1x21,比较y1,y2的大小;(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式.解:(1)由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).(2)由图知,抛物线的对称轴为直线x=1,当x1时,y随x的增大而减小,所以当x1x2y2.(3)点C的坐标为(3,2),设直线AC的关系式为y=kx+m(k0),则2
9、k+m=0,3k+m=2,解得k=2,m=-4,所以直线AC的函数关系式为y=2x-4.类型4利用二次函数解决实际问题典例4(某某中考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-16x2+bx+c表示,且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时,到地面OA的距离为172 m.(1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离.(2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面
10、的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?【解析】(1)根据题意得B(0,4),C3,172,代入y=-16x2+bx+c,得c=4,-1632+3b+c=172,解得b=2,c=4,所以抛物线的表达式为y=-16x2+2x+4,即y=-16(x-6)2+10,所以D点的坐标为(6,10),所以拱顶D到地面OA的距离为10m.(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y=2236,所以这辆货车能安全通过.(3)令y=8,则-16(x-6)2+10=8,解得x1=6+23,x2=6-23,则x1-x2=43,所以两排灯的水平距离最小
11、是43m.【针对训练】1.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=1.6.2.如图有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.(1)在如图的坐标系中求抛物线的表达式.(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?解:(1)设抛物线的表达式为y=ax2.由题意设D(5,h),则B(10,h-3),把B
12、,D的坐标代入y=ax2,得h=25a,h-3=100a,解得a=-125,h=-1,抛物线的表达式为y=-125x2.(2)D(5,-1),此时水面离拱桥顶距离为1米.从警戒线开始,再持续t=10.2=5小时,才能到拱桥顶.3.(某某中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,
13、身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,解得a=-15,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0x8).(2)当y=1.8时,有-15(x-3)2+5=1.8,解得x1=-1,x2=7,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.(3)当x=0时,y=-15(x-3)2+5=165.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+bx+165.该函数图象过点(16,0),0=-15162+16b+165,解得b=3,改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15x2+3x+165=-15x-1522+28920,扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米.
