二次函数全章分节练习知识点.docx

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1、二次函数（1）【知识要点】1形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的函数，叫二次函数 2在函数y=ax2+bx+c中，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数及常数项一、基础练习1某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y（万元），与平均年增长率x之间的函数关系式是 .2在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“”，不是的打“x”). (l）y=-2x2 ( ) (2）y=x-x2 ( ) (3）y=2(x-1)2+3 ( ) (4）y=-3x-3 ( ) (5) s=a(8-b) ( )3说出下列二次函数的二次项系数a，一次项系数b和常数项c (1)y=x

2、2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x2+2x中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;4已知二次函数y=x2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .5.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)问当a,b,c满足什么条件时： (l）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ；(3）它是正比例函数 ；二、提高训练6.已知正方形边长为3，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是 .7.在半径为4cm的圆面上，从中挖去一个半径为x的同心圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为 .8已知二次函数y=a

3、x2+bx+c(a0),若x=0时y=1；x=1时y=1；x=2时y=-1.求这个二次函数关系式.9已知二次函数y=ax2+bx+c(a0),若x=1时y=3；x=-1时y=4；x=-2时y=3.求这个二次函数关系式.二次函数的图象（1）【知识要点】1.函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，图像的顶点是(0,0)2.函数y=ax2,当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，对称轴的左侧y随x的增大而减小，对称轴的右侧y随x的增大而增大；当x=0时函数y有最小值0.一、基础练习1函数y=ax2(a0)的图象叫做 ，它关于 轴对称，它的顶点是 .2当a0时，y=ax2在x轴上的 (其中顶

4、点在 轴上),它的开口 并且向上无限 .3.函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 .4.函数y=3x2与函数y=-3x2的图象的形状 ，但 不同. 5.抛物线y=ax2与y=2x2形状相同，则a= .6.已知函数y=ax2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是 ，顶点是 . 抛物线的开口 ，在对称轴的左侧，y随x增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 .7.若抛物线y=ax2经过点P ( l，-2 )，则它也经过 （ ） A. P1(-1，-2 ) B. P2(-l, 2 ) C.P3( l, 2) D.P4(2, 1)二、提高训练8.

5、一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（-2,8).(l）求这个函数的解析式； (2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算OAB的面积 9.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1)利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m时，求水面的宽； (2)当水面宽为6m时，水面与抛物线顶点的距离是多少？二次函数的图像（2）【知识要点】函数y=a(x+m)2+k(a,m,k是常数，a0).当a0时，图像开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，右侧y随x的增大而 ，当x= 时，y有最 值，是 .当a0时，函数y有最小值，是 . 当a 0

6、时，函数y有最大值，是 .一、基础练习1. 函数y=2x2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 .2. 函数，当x= 时，函数有最 值，是 .3. 函数y=x2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，当x 时，函数y有最 值，是 .4. 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 5. 抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A . 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( )A.x=3 B.x=2 C.x= D.x=7

7、. 二次函数y=-2x2+4x-9的最大值是 ( )A.7 B.7 C.9 D.9二、提高训练8. 己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长9. 如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？二次函数的性质【知识要点】 1若已知抛物线的顶点为（0, 0)，则二次函数的关系式可设为y=ax2(a0 ). 2若已知抛物线的顶点在y轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax2+k(a0 ).3若已知抛物线的顶点在x轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2 (a0 ).4若已知抛物线的顶点坐标为

8、（m , k ）则二次函数的关系式可设为y = a ( x+m）2+k （a0 ) .一、基础练习1. 已知函数y=(m-1)x2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点2. 函数y=2x2的图象向 平移5个单位，得到y=2（x+5）2的图象，再向 平移 个单位得到y=2x2+20x+56的图象3. 二次函数y=2x2-4x-3，当x= 时，有最 值，是 .4. 已知抛物线y=x2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .5. 用配方法把二次函数y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y= ,它

9、的对称轴是 ，顶点坐标是 .6. 一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=1时，y=4；当x=2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（ ）A.y=2x2-x-5 B.y=2x2+x+5 C. y=2x2-x+5 D. y=2x2+x-57. 已知二次函数y=ax2+bx+c (a0）的顶点坐标为M (2，4 )，且其图象经过点A (0, 0 )，则a, b , c的值是（ ）A .a=l, b=4, c=0 B.a=1,b=-4,c=0 C.a=-1,b=-1,c=0 D.a=1,b=-4,c=88. 已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a= .9. 已知抛物线与x轴交点的

10、横坐标分别为3, l；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 .10. 抛物线y=-x2+4x-1的顶点坐标是 ，在对称轴x=2的 侧y随x的增大而减小11. 二次函数y =ax2+bx+c的图象的形状 ( ) A只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D与 a , b，c都有关12. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置 ( ) A只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D与 a , b，c都有关二、提高训练13. 己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（1，3 )，求b，c的值14. 已知二次函数y =ax2 +bx1的图象经过点 (2，1

11、)，且这个函数有最小值3 ，求这个函数的关系式15. 已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（l , 2 ) ，且图象过点（ l ，3 ) . (1)求这个二次函数的关系式； (2)写出它的开口方向、对称轴；二次函数的应用（1）【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内.一、基础练习1. 二次函数y=x2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x轴的交点是 ，当x= 时，y有最 值，是 .2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的符号是 ，b的符号是 ，c的

12、符号是 .当x取 时， y0，当x 时，y=0, 当x取 时，y 0,b0,则（ ）A . x5 B.-lx5 C. x5或x-1 D. x1或2x0的解集；（3） 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范值；（4） 若方程ax2bxc =k有两个不相等的实数根，求k的取什范围。 32213、 韦达定理在二次函数y=ax2bxc（a0）中的应用（） 已知其中一个交点，求另一个交点：例5：若抛物线与X轴的一个交点是（2，0）则另一个交点是（ ）； 求两交点A,B线段的长度例6：若抛物线与X轴的交点为A，B，且AB的长度为10，求a 利用韦达定理求面积：例7：抛物线与X轴的一个交点是A(3，0），

13、另一个交点是B，且与y轴交于点C， （1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使，求点D的坐标。例8：已知如图，二次函数与x轴于A,B两点，若OA:OB=3:1，求mABOxy例9：已知二次函数的图像交x轴于A(，0)、B（，0）两点，交y轴正半轴于点C，且。(1)求此二次函数的解析式； (2)是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于E点，使得M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。4、 抛物线ax2bxc =0与x轴交点及对称轴之间的关系；31设抛物线与x轴的交点为A(，0)和B（，0）则

14、对称轴为直线，抛物线任纵坐标相等的两点关于对称轴对称，即若有，则则对称轴为直线。例10：已知二次函数的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程的解是 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间的联系1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

15、 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；例：二次函数232与x轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.总结： 一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程与轴有 个交点 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点这个交点是 点

16、 0，方程有 的实数根是 .与轴有 个交点 0，方程 实数根.二次函数与轴交点坐标是 .经典例题讲解【例1】已知：关于的方程求证：取任何实数时，方程总有实数根；若二次函数的图象关于轴对称求二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；在条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M0两种情况，然后利用根的判别式去判

17、断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）当，原方程有实数根. 当时，原方程为关于的一元二次方程， . 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判

18、定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，取任何实数时，方程总有实数根. （2）关于的二次函数的图象关于轴对称，.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）.抛物线的解析式为. ，（判断大小直接做差）（当且仅当时，等号成立）. （3）由知，当时，.、的图象都经过. （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）对于的同一个值，的图象必经过. 又经过，. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设.对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，.又根据、的图象可得 ，.（a0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）. .而.只有，解得.抛物线的

19、解析式为. 【例2】关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一

20、个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.【解析】：（1）由题意得 解得 解得 当且时，方程有两个不相等的实数根. （2）由题意得 解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0)（3）抛物线的对称轴是 由题意得 (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 与抛物线有且只有一个交点 (这种情况考试中容易遗漏) 另设过点的直线（） 把代入，得，整理得有且只有一个交点， 解得 综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整

21、数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值【例4】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整

22、个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.解：（1）由题意得，AOxy864224B为正整数，（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为单元过关测试一、选择题1. 二次函数y=

23、(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2)2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- D.x=3. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（ ） A.y= - (x-2 )2 -2 B.y= - (x-2 )2 +6 C. y = - (x+2 )2 -2 D. y= - (x+2 )2 +64把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是 （ ） A. B. C. D. 5 抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共

24、有（ ）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=(x+2 )2 -2 B.y=(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -27二次函数y =ax2+bx+c的图象的形状 ( ) A只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D与 a , b，c都有关8 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置 ( ) A只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D与 a , b，c都有关9. 若二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，

25、则m的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或210、二次函数y= a (x+m)2-m (a0) 无论m为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x上 B. 直线y=x上 C.y轴上 D.x轴上11、抛物线y=x2+x+2上三点（-2，a）、(-1，b)，（3，c），则a、 b、c的大小关系是（ ）A、abc B bac C cab D无法比较大小12、已知二次函数y=x2-4x-5，若y0, 则（ ）A . x5 B.-lx5 C. x5或x-1 D. x1或x-513、下列各图中有可能是函数y=ax2+c, 的图象是（ ）二、填空题14.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶

26、点坐标是 .15.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为 .16.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .17.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是 18.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .19.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数），当x取x1,x2时（x1x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .三、解答题20.根据下列不同条件，求二次函数的解析式： (l）二次函数的图象经过A (-1, l

27、)，B（l, 7), C(2,4）三点； (2）已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 ); (3）图象经过（-3,0),(l,0), (-l，4)三点21. 已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0,0）和（1，6 ）两点？22. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形边长为x（m) ，面积为S(m2）. (l）求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； (2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用23.某跳水运动员进行IOm跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系

28、下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误 (l)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由二次函数的应用【例题经典】用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有

29、最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间x（元）152030y（件）252010例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数 （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解