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1、 矩阵在线性方程组中的应用 摘 要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。关键词 矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONSABSTR
2、ACTMatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramers Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose on
3、e of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some specia
4、l system of linear equations with special matrices.KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations目 录 中文摘要I英文摘要II目 录III引 言11.矩阵和线性方程组的概述11.1矩阵的概念11.2线性方程组的概念21.3线性方程组解的情况32.矩阵在线性方程组中的应用32.1克拉默法则32.2高斯消元法52.3非齐次线性方程组新解法的
5、解题步骤62.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法72.5利用追赶法解线性方程组92.5.1LU分解92.5.2追赶法102.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组122.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组143结 论17参考文献17致 谢19引 言矩阵的概念最早在19世纪由英国数学家凯利提出。在数学史上，研究过矩阵论的著名数学家有许多。在文献1中介绍了英国数学家西尔维斯特于1852年对矩阵的合同发现著名的“惯性定理”。在文献2中英国数学家凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告，对矩阵的基本理论进行了系统的阐述。当然还有许多数学家对矩阵的发展做出了伟大的贡献。随着时代的不断发展，矩阵已经在各个领域得
6、到了广泛的运用，是一种非常常用的用具。在数学领域中作为解决线性方程的工具之一，前人对此已经做了大量的的研究。1693年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨建立了行列式论。1750年，瑞士数学家克莱姆其后又定下了克拉默法则（又称克莱姆法则）。1800年，高斯和威廉若尔当建立了人们熟知的高斯若尔当消去法。 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。在文献3中了解到线性方程组在线性代数的教学中非常重要，行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基变换、坐标变换等，都和线性方程组有着非常密切的联系。 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容，矩阵和线性方程组是相辅相成的，在高等数学教学中利
7、用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种。对于一些线性方程组的特殊解法很少有进行归类、讲解。本文主要研究用特殊矩阵解一些线性方程组的方法，通过认真阅读本课题相关文献，如陈祥云的矩阵的初等变换及其应用，辛奎东的关于线性方程组新解法的探索，刘红旭的利用分块矩阵求解非齐次线性方程组，杨可的用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试等等，分析、总结和归纳用特殊矩阵解线性方程组的解法。1.矩阵和线性方程组的概述 1.1矩阵的概念由个数，排成个横行个竖列的数表，称为行列矩阵或级矩阵，简称矩阵。数位矩阵的元素，矩阵常简单记为或或，或简记为，等。1.2线性方程组的概念 线性方程组的一般形式如下： （1-1）
8、其中表示个未知量，是方程组的个数，则表示方程组的系数，称为常数项。假如所有的常数项都等于0，即为 （1-2） 则方程组（1-2）称为齐次线性方程组。否则称为非其次线性方程组。线性方程组（1-1）的解是数域的一个有序数组，当未知量分别用代入时，（1.1）中的每个方程都成立。这里将方程组（1-1）记为矩阵形式，。在此处把称为这个线性方程组的系数矩阵，假如再将常数项添加进去，让它称为矩阵的最后一列：称其为此线性方程组的增广矩阵，记为。1.3线性方程组解的情况 在求解线性方程组时，首先需要讨论线性方程组解的情况。它可能无解，可能存在唯一解或者可能存在无穷多组解。在这里，我们讨论线性方程组解的情况，以及
9、它的通解表示形式。对于一般情况下的线性方程组（1-1），将它的增广矩阵化为行阶梯矩阵。这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：或者 其中。在前一种情况我们判定为原来方程组无解，而在后一种情形方程组有解。我们对后面一种情况进行讨论： a：若，则原方程组(1-1)有唯一解。 b：若且，则原方程组(1-1)有无穷多组解。这无穷多组解可以用一般解来表示，其中自由变量有个，主变量有个。2.矩阵在线性方程组中的应用2.1克拉默法则在这里简单介绍了利用克拉默法则解线性方程组。克拉默法则：如果含有个方程的元线性方程组 (2-1) 的系数矩阵的行列式则方程组（2-2）有唯一解，并且其中是将系数行列
10、式的第列元，换成常数项后的行列式。下面运用克拉默法则解一个简单的线性方程组。例2.1.1 解线性方程组解： 而 所以即原方程组的解为。例2.2.2 当下述方程组有非零解时，取何值时：解：该齐次方程组有非零解，当且仅当其系数矩阵的行列式所以由上可知，当齐次方程组有非零解时，。2.2高斯消元法高斯消元法也是一种常用的解线性方程组的方法。对于含有个方程，个未知量的元线性方程组首先用初等行变换先把上面方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵，然后写出该阶梯形矩阵所对应的方程组，逐步回代，即可以求出方程组的解。因为它们为同解方程组，所以也就得到了上面方程组的解。这种方法被称为高斯消元法。例2.2.1 解方程组解：
11、先写出增广矩阵，再化成阶梯形矩阵，即=根据最后一个增广矩阵可以得出其表示的线性方程组为将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得将其代入第二个方程，解得再将，代入第一个方程组，解得因此，方程组的解为其中可以任意取值。2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤在文献7中介绍了非齐次线性方程组新解法的解题步骤： （1）约化阶梯形矩阵。 （2）写出对应的方程组。 （3）把上面每个方程中下标最小的变量用其他变量表示，其它缺失的变量相应的补齐。 （4）写出方程组解的向量形式。例2.4.1 解线性方程组解：（1）首先约化阶梯形矩阵然后对增广矩阵进行初等变化，化为简化的阶梯型矩阵则原方程有无穷多个解。（2） 写
12、出对应的方程组。 （3）把上述每个方程中下标最小的变量用其它变量表示，其它缺失的变量补齐。 （4）写出方程组的解。 2.4直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法下面介绍直接通过矩阵变换及运算求出方程组的解法。首先对增广矩阵进行初等变换、零拓展矩阵和转解运算，再直接求出齐次方程组的基础解系和非齐次方程组的特解，进而求出非齐次方程组的通解。定义18 对于矩阵增加个维行向量而生成的新矩阵称做的拓展矩阵；若增加行向量都是零向量，则生成的新矩阵称为的零拓展矩阵，若增加的行向量组成一个单位方阵则生成的新矩阵称为的单位拓展矩阵。定义28 在矩阵中，若，有，则称为广义上三角矩阵。定义38 设是广义三角矩阵，在
13、中，若，而，构造成一个新矩阵，当，有；当，令，则定义为归零运算（或称转解运算），生成的矩阵称为归零矩阵（或转解矩阵）。定理18 设实数域上非齐次线性方程组，对进行零拓展，使其成为，对进行初等变换，使其成为对角线上的元素只取1和0的广义上三角矩阵（若而时则进行行行交换使得所在的行变为中的第行）；令，则矩阵中元素只取0或-1值；若当说对应的第列为零向量，则所有说对应的第列向量就构成方程的基础解系，而第列向量则是方程组的特解。定理28 对于方程组（2-1）说对应的增广矩阵进行拓展和初等变换，得到满足定理1的；当时，而时，做转解运算生成转解矩阵，使得当时，有，则所对应的列向量的全体即为方程组的基础解系
14、，矩阵中的第列向量乃是的特解，经过若干次转解运算存在满足定理1条件的转解矩阵。例2.5.1 求解方程组解：对增广矩阵进行变换，因此由定理1知方程组的解为。2.5利用追赶法解线性方程组本小节的解法是先把线性方程组的系数矩阵分解成为下三角阵和上三角阵的乘积，然后运用追赶法来求解线性方程组。为了把系数矩阵分解为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，则需要运用LU分解法（也称为三角形分解法）。2.5.1LU分解9令的前n-1个顺序主子矩阵非奇异，那么就存在单位下三角阵，以及上三角阵，使得并且这样的分解是唯一的。令矩阵有LU分解，即将两端的第一行元素进行对比可以得出将两端的第一列元素进行对比可以得出将两端的
15、第二行其余元素进行对比可以得出将两端的第二列其余元素进行对比可以得出则对于一般的用递推关系得出 （2-2） 即可求出和，从而实现的三角分解。这一过程就是矩阵的LU分解。2.5.2追赶法9线性方程组的系数矩阵，先通过公式(2-2)进行LU分解，接着利用追赶法解出该线性方程组，是一个非常方便快捷的方法。追过程和赶过程是追赶法的关键所在。记a) 分解对计算b) 追过程对于计算c) 赶过程对于计算而对于线性方程组（1-1）中，可得该线性方程组的Jacobi迭代公式如下：简记成：下面我们通过具体的例子来了解用追赶法解线性方程组的解题过程。例2.5.1 用追赶法解线性方程组解：系数矩阵利用公式(2-3)对
16、进行LU分解，所以追过程：解即赶过程：解即即得线性方程组的解。2.6利用分块矩阵求解非齐次线性方程组通过文献10可以得知，假如是一个阶非奇异阵，把进行分块，其中分别是和矩阵。如果是非奇异方阵，则一定可以找到一个上三角分块，令，其中，并且是非奇异阵。根据上面的结论，得出用来求解个方程的非其次线性方程组是比较方便的。可以依以下过程求解：对于非齐次线性方程组 （2-3） 把（2-3）写成矩阵方程为 此处为系数矩阵。假如是非奇异阵，即，那么方程组（2-3）有唯一解。把阶阵分块：，并注意为非奇异阶阵，同时把和进行对应的分块，可以使，的行数等于的行数，的行数等于的行数。那么矩阵方程可以写成把上面式子的两边
17、分别左乘上三角分块矩阵，即可以得到 （2-4） 其中 。 把方程（2-4）分解成为下面两个矩阵方程 （2-5）根据初等变换的性质我们可以知道（2-4）和（2-5）是同解方程。由于，所以存在，且，再把代入中，得到。据此，得出。 例 2.6.1 解非齐次线性方程组解：将方程写成矩阵方程并进行分块，有 。这里，。先求出的逆矩阵，计算，方程左乘，得到，解矩阵方程，解得，故所以所求方程的解为。2.7用加边矩阵求解非齐次线性方程组在文献11中主要介绍利用加边矩阵的初等变换，把非其次线性方程组解的判定和解的结构融于一体，在方程组有解的基础上，直接找出唯一解或者导出基础解系和原方程的一个特解。个方程个未知数的
18、非其次线性方程组的一般形式是： （2-6）其中至少有一个不为。方程组（2-6）的向量形式为 （2-7）式子中是维向量。（2-7）式子说明假如有一组个数满足那么维向量即为方程组（2-6）的一个解向量。令方程组（2-6）的系数矩阵为，增广矩阵为，作的转置矩阵，并将的每行顺序记为，据此作出的加边矩阵：矩阵中即为（2-7）中的。对矩阵用初等行变换求秩。这里对所在的行进行初等变换时有如下限制：a:所在的行不与其他行交换；b:其余任意行不作加上或者减去所在行的倍数的初等变换；c:所在行可以作加上或者减去其余行的倍数的初等变换。即在整个变换过程中，所在的行一直保留在矩阵的最后一行。假设原方程（2-6）系数矩
19、阵的秩。对于用初等变换求出秩，最后化出下列矩阵：说明，说明。根据线性方程组解的判定定理，中有解，中无解。我们可以根据式最后一行，得到根据（2-7）得出是方程组（2-6）的一个特解（或唯一解）。从最后一行上面部分可以找出方程组（2-6）对应的齐次线性方程组的一个基础解系，在得出原方程组的一般解。例2.7.1 求方程组的解。解：写出矩阵，并做初等变换：根据上面可得方程组存在唯一解，由最后一行得，即，所以原方程的唯一解为。3结 论矩阵和线性方程组都是高等数学中的重要教学内容。而矩阵在线性方程组的求解中应用广泛。本文只是简单讨论、归纳了应用矩阵求解线性方程组解的几种方式，希望帮助大家今后在求解线性方程
20、组时可以运用多种方法。参考文献1 Sylvester J. J. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 1)M. Cambridge University Press, 1904. 145-3782 Cayley A. ,The Collected Mathematical Papers(Vol. 2)M. Cambridge University Press, 1889. 475-4963李明远,马文斌,孙鹏哲,吴国荣. 线性代数教学实践中的体会J.内蒙古财经学院报(综合版)，2009.7(2)：139-1414 李树海. 线性方程组理论的一个应用J
21、.数学教学研究. 2012.31(10)： 61-625 陈祥云. 矩阵的初等变换及其应用J.高等函授学报（自然科学版)，2012.25(2)：71-746 卢刚. 线性代数M. 第二版. 高等教育出版社, 2003: 64-687 辛奎东. 关于线性方程组新解法的探索J.科教文化.2005.12(3)：2228 陈建莉. 线性方程组解法新探J.纺织高校基础科学学报，2008.21(2)：238-2399 黄明游,刘播,徐涛. 数值计算方法M. 北京: 科学出版社, 2005.80-9010 刘红旭. 利用分块矩阵求解非其次线性方程组J.辽宁师专报，2003.5(2)：911 杨可. 用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试J.内蒙吉林学院学报（自然科版），1996.18(4): 65-68
