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1、2023/6/24,1,西安交通大学航天航空学院宋亚勤2013年9-10月,固体力学非线性数值方法,2023/6/24,2,第一章弹性力学简介 第二节：能量原理与变分法,1、弹性体形变势能2、泛函与变分,最小势能原理、里兹（Ritz）法、伽辽金（Galerkin）法,3、位移变分方程,4、应力变分方程,最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,5、自然变分原理和广义变分原理,6、弹性力学修正变分原理,2023/6/24,3,1.弹性力学问题的微分提法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）几何方程,（3）物理方程,（4）边界条件,应力边界条件；,位移边界条件；,定解问题,求解方法：,（1
2、）按位移求解,基本方程：,（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;,（2）按应力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）边界条件。,（b）相容方程；,（c）边界条件。,（a）归结为求解联立的微分方程组；,求解特点：,（b）难以求得解析解。,从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：,（3）混合解法,2023/6/24,4,2.弹性力学问题的变分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；,将定解问题转变为求解线性方程组。,弹性力学中的变分原理,能量原理,直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在
3、给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。,（变分解法也称能量法）,（a）以位移为基本未知量，,得到最小势（位）能原理等。,（b）以应力为基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同时以位移、应力、应变为未知量，,广义（约束）变分原理。,位移法,力法,混合法,有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法。,求解方法：,里兹（Ritz）法、,伽辽金（Galerkin）法、,最小二乘法、力矩法等。,2023/6/24,5,3.弹性力学问题的数值解法：,（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）,有限差分法；,基本思想：,将导数运算近似地用差分运算代替；,将定解问题转变为求解线性方程组。,典
4、型软件：FLAC,实质：,将变量离散。,（b）对变分方程进行数值求解,有限单元法、边界元法、离散元法 等,典型有限元软件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；,基本思想：,将求解区域离散，,离散成有限个小区域（单元），,在小区域（单元）上假设可能解，,最后由能量原理,（变分原理）确定其最优解。,将问题转变为求解大型的线性方程组。,2023/6/24,6,1 弹性体的变形能（应变能）,1.变形能的一般表达式,单向拉伸：,外力所做的功：,由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，所外力功全部转化杆件的变形能（或应变能）U：,令：,单位体积的变形能（应
5、变能），,称为应变能密度。,2023/6/24,7,整个弹性体的应变能：,若用张量表示：,应变能密度：,整体应变能：,由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。,假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹性），此时，单元体的应变能密度：,2023/6/24,8,2.应变能的应力分量表示,在线弹性的情况下，由物理方程：,代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：,代入应变能公式，有：,2023/6/24,9,表明：,弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应变分量。,3.应变能的应变分量表示,用应变表示的物理方程：,将应变能密度分别对6 个应
6、力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：,2023/6/24,10,代入应变能密度公式，,并整理可得：,将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较，可得：,2023/6/24,11,将几何方程代入应变能的表达式，得：,弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。,4.应变能的位移分量表示,表明：,2023/6/24,12,2 泛函与变分,（1）函数与泛函的概念：,函数：,x 自变量；,y 因变量；,泛函：,x 自变量；,y 为一变函数，泛函的宗量；,F 为函数 y 的泛函；,例：,U 被称为形变势能泛函。,2023/6/24,13,（2）微分 变分,设函数
7、：,当自变量 x 有一增量：,函数 y 也有一增量：,dx 与 dy分别称为自变量 x 与函数 y 的 微分。,设泛函：,函数 y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,泛函的增量 U 等称为变分。,微分问题,研究自变函数的增量与泛函的增量 间关系称为变分问题。,是函数取极值的必要条件。,是泛函取极值的必要条件。,2023/6/24,14,例如：,（1）压杆稳定问题,寻求压杆形变势能 U 达到最大值时的压力 P 值。,（2）最速降线问题,球从位置1下落至位置2，所需时间为T，,泛函的变分问题,2023/6/24,15,（3）变分及其性质,定义：,泛函,增量：,函数,连续性：,称函数 y 在 x0
8、 点连续。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处零阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处一阶接近。,当,有,称泛函 U 在 y0(x)处二阶接近。,2023/6/24,16,（4）变分的运算,变分与微分运算：,变分运算与微分运算互相交换。,变分与积分运算：,变分运算与积分运算互相交换。,2023/6/24,17,泛函的变分：,一阶变分：,二阶变分：,2023/6/24,18,一阶变分：,二阶变分：,二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。,2023/6/24,19,建立：弹性体的形变势能与位移间变分的关系,位移变分方程,设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。,边界：,位移场：,应力
9、场：,满足：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件。,称为真实解,3 位移变分方程,应变场：,2023/6/24,20,任给弹性体一微小的位移变化：,满足条件：位移边界条件。,考察弹性体的能量变化:（若可能位移为真实位移）,由能量守恒原理：,弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。,（在没有温度改变、动能改变的情况下）,设：,表示弹性变形势能的增量；,表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。,则有：,可能的位移状态：,称为位移的变分，或虚位移，对于的应变叫虚应变，满足几何方程。,2023/6/24,21,体力：,面力：,外力,代入前式：,表明：,物体应变能的变分，等于外力在
10、虚位移上所做的虚功。,称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。,外力的虚功：,外力的虚功,表示：,实际外力在虚位移上所做的虚功,2023/6/24,22,内力的虚功：,由于:,两边求变分:,将 U1 视为应变分量的函数,而:,2023/6/24,23,将上式代入位移变分方程，有,虚位移方程或虚功方程,表明：,如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。,虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。,表示：,实际应力在虚应变上所做的虚功,内力的虚功,2023/6/24,24,最小势能原理,也是位移
11、变分方程的一个应用,位移变分方程：,由于虚位移为微小的、满足位移边界条件的（通常称为基本边界条件），所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。,于是，有：,若初始状态为零势能状态，并用 V 表示外力势能，则根据能量守恒，外力势能等于外力在实际位移上所做的功的相反值，则,代入前式，有：,外力在实际位移上做的功,2023/6/24,25,其中：,应变能能与外力势能的总和，,称为系统的总势能,表明：,在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的变分为零。,平衡状态：,（1）稳定平衡状态；,（2）不稳定平衡状态；,（3）随遇平衡状态；,稳定平衡,不稳定平
12、衡,随遇平衡,势能取极小值,势能取极大值,不定,最小势能原理：,在给定的外力作用下，满足几何方程和位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能取最小值。,2023/6/24,26,实际存在的位移应满足：,（1）位移边界条件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）应力边界条件。,（1）位移边界条件；（基 本边界条件）,（2）最小势能原理。,因而，有：,（1）平衡方程（位移形式）；,（2）应力边界条件。（自然边界 条 件）,（可互相导出）,最小势能原理,伽辽金变分方程,由虚位移方程的建立知道虚位移满足位移边界条件，若还满足应力边界条件时，弹性体的位移变分应满足的方程。,将虚应变用虚位
13、移表示：,将其代入虚位移方程：,2023/6/24,27,2023/6/24,28,同理，可得到其余各项的结果：,将其代入虚位移方程，有：,2023/6/24,29,伽辽金（Galerkin）变分方程,表明：,当所取位移分量同时满足位移边界条件、应力边界条件时，,其位移变分需满足的方程。,2023/6/24,30,1.里兹（Ritz）法,基本思想：,设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。,设取位移的表达式如下：,其中：,为互不相关的 3m 个系数；,为设定的函数，且在边界上有：,为位移边界上为零的设定函数,显然，上述函
14、数满足位移边界条件。,此时，位移的变分,只能由系数 Am、,Bm、Cm的变分来实现。,与变分无关。,位移变分法：,2023/6/24,31,（a）,位移的变分：,形变势能的变分：,（b）,将式（a）、（b）代入位移变分方程，有：,2023/6/24,32,将上式整理、移项、合并，可得：,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,2023/6/24,33,Ritz 法方程,或称 Rayleigh-Ritz 法方程,说明：,（1）,由 U 的位移表达式可知，,U 是系数,的二次函数，,因而，上式为各系数的线性方程 组。,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。,（2）,求出了系数,就可求得其它
15、量，如位移、应力等,（3）,在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。,2023/6/24,34,2.伽辽金（Galerkin）法,设取位移的表达式如下：,同时满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件；,位移的变分：,将其代入伽辽金变分方程：,得到：,2023/6/24,35,完全任意，且互相独立，,要使上式成立，则须有：,2023/6/24,36,将物理方程和几何方程代入，有,伽辽金（Galerkin）法方程,说明：,（1）,与 Ritz 法类似，得 3m 阶的线性方程组，可求出3m个系数。,（2）,伽辽金（Galerkin）法与 Ritz 法的区别：在于设位移函数时，前者要求
16、同时满足应力、位移边界条件，而后者只要求满足位移边界条件。,2023/6/24,37,（1）位移变分方程,（2）虚位移方程,位移变分方程小结：,也称 Lagrange 变分方程：,（3）最小势能原理,说明：,（1）只要求：虚位移满足位移边界条件；,（2）对虚位移方程，也适用各种材料的物理方程。,如：塑性材料、非线性弹性材料等。,2023/6/24,38,（4）伽辽金（Galerkin）变分方程,要求：可能（虚）位移满足：,（1）位移边界条件；,（2）应力边界条件。,2023/6/24,39,4 应力变分方程,余能密度,（1）单向应力状态,设：,一般的应力应变关系,形变势能：,0,0,单位体积的
17、形变势能,余能密度：,单位体积的形变余能,对线弹性体，显然有：,应变能密度等于余能密度,表明：余能密度在数值上等于图中矩形面积减去 U1 后余下的面积。,一般情形：,单位体积的形变势能,单位体积的形变余能,2023/6/24,40,（2）三向应力状态,对线弹性体，有：,弹性体余能：,对线弹性体：,物体余能常用应力表示：,2023/6/24,41,（3）余能的变分,对照余能密度的表达式，有：,2023/6/24,42,若将上式中应变分量利用几何方程表示成位移形式，有：,代入余能的变分表达式，有：,2023/6/24,43,应力变分方程,设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡状态。其应力和位移分别
18、为：,实际的应力和位移,建立：物体余能的变分与应力变分之间的关系。,（1）应力的变分,假设：作用于物体的体力不变，而应力分量发生如下变分：,常称为虚应力,变化后应力状态：,（2）应力变分方程（假定可能应力是问题的解）,都满足平衡方程,并作用于同样的体力，,将其分别代入平衡微分方程，并进行比较，应有：,此应力状态满足平衡方程以及应力边界条件（基本边界条件）.,2023/6/24,44,（a）,张量表示,在位移给定的边界上，,由于应力的变分（增量）将引起一个允许表面力：,由边界上应力与边界面法向余弦关系，在位移给定边界上，应有：,（b）,张量表示,在应力边界上，满足无外力的边界条件：,（c）,张量
19、表示,2023/6/24,45,由余能的变分：,利用奥-高公式，将上式每一项作变换，如：,将其代入余能的变分，并整理有：,2023/6/24,46,得到：,上式表明：,由于应力的变分，余能的变分等于允许表面力的变分在实际位移上所做的功（虚功）。,应力变分方程，,也称Castigliano变分方程。,2023/6/24,47,说明：,（1）,要求应力的变分满足：,平衡微分方程；,应力边界条件；,（2）,由应力变分方程：,可得；右边的积分仅当在给定非零位移的边界上才不为零；而在应力边界和固定位移边界均为零。,（3）,实际存在的应力应满足：,（1）平衡方程；,（2）相容方程；,（3）应力边界条件；,
20、（4）位移边界条件。,（1）平衡方程；,（2）应力边界条件；,（3）应力变分方程,可见：,应力变分方程,（1）相容方程；,（2）位移边界条件。,特别当位移边界为固定边界时，,应力变分方程等价于相容方程，且有：,2023/6/24,48,最小余能原理,将应力变分方程：,改写为：,（c）,在要积分的边界上，位移是给定的，其变分恒为零，上式可写为,（d）,式中：,U*为形变余能；,外力余能；,总余能；,于是式（d）可写成：,（d）,2023/6/24,49,上式表明：,在满足平衡微分方程和应力边界条件的各组应力中，实际存在的应力应使弹性体的总余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明该极值为极小值。,
21、最小余能原理,最小余能原理：是应力变分方程的一个应用，等价于弹性体的相容方程与位移边界条件。,说明：,应力变分方程或最小余能原理，仅限于单连体问题。,对于多连体问题，还需考虑位移单值条件，而在应力变分方程中考虑位移单值是非常复杂的问题。,2023/6/24,50,1.应力分量的设定,以应力为未知量的近似解法,满足平衡微分方程；,应力分量设定的要求：,满足应力边界条件。,帕普考维奇应力分量设定：,其中：,（1）Am 为互不相关的 m 个系数；,平衡方程与应力边界条件的设定函数；,为满足,（2）,（3）,为满足,“没有体力与面力作用时的平衡方程与应力边界条件”的设定函数；,此时应力的变分仅由系数
22、Am 的变分实现。,应力变分法,2023/6/24,51,2.应力变分法方程,（1）弹性体的位移边界为固定边界,此时，应力变分方程为：,将设定应力分量代入形变余能表达式：,将其代入应力变分方程，有：,由于 Am为互相独立，且任意，有：,由此得到 m 个线性方程，可确定m个系数Am。,2023/6/24,52,（2）弹性体具有给定的非零位移边界条件,此时，应力变分方程为：,（a）,式中：,u、v、w 为已知函数；,而 为非零位移边界上面力变分：,可由边界上应力应满足的条件确定：,（b）,将设定的应力分量式代入上式，并积分式（a）的右边，得：,（c）,式中：Bm 为积分所得的常数。,而式（a）左边
23、为：,（d）,2023/6/24,53,由式（c）、（d）、（a）可得：,由于 Am为互相独立，且任意，所以有：,（e）,式（e）仍为一 m 阶的线性方程组，可求解出 m 个系数 Am，,将系数 Am代回应力分量设定式，即得所求的应力。,说明：,（1）若每一部分边界上，不是面力被给定，就是位移等于零，则所有的 Bm 都为零，此时式（e）简化为：,（2）要求可能的应力分量既满足平衡微分方程、又满足应力边界条件，往往比较困难。,但若某些问题存在应力函数，,由于应力函数表示的应力分量已满足平衡微分方程，所以，假设的应力分量只需满足应力边界条件即可。,2023/6/24,54,谢谢！请提问、进行讨论！,
