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1、07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用西安电子科技大学运筹学大作业论文题目：运筹学在经济领域中的应用所在院系： 数学与统计学院姓名： 古国宝学号： 07121001指导教师： 孟红云结课时间： 2015 年 11 月 7 日07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用摘要在社会科学中，数学的首要应用领域无疑是经济学领域。经济学在上世纪的飞速发展无疑与其对数学模型和数学工具的广泛和深入的应用有密切的关系。运筹学是数学中最重要的概念之一，也是一种重要的数学工具，它广泛地应用于自然和社会科学的各个分支。本文侧重点在于研究运筹学在经济领域中的一些应用，开篇首先介绍了运筹学的一些基本概
2、念和一些基本的算法，如分支定界算法、遗传模拟退火算法等，以方便读者对后续知识的理解；紧接着通过查阅相关文献资料给出了一些典型的跟运筹学相关的经济学背景和模型；最后再给出具体的经济学实例借以说明运筹学这一线性代数工具的实用价值。【关键词】运筹学、算法、经济领域、数学模型、应用07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用【Abstract】In the social sciences, economics is undoubtedly theimportant application fields of mathematics. The rapid development ofeconomi
3、cs in the last century has a close relationship with the extensiveand in-depth application of mathematical model and mathematical tools.Operational research is not only one of the most important concept inmathematics, but also it is an important mathematical tool. It is widelyused in each branch of
4、natural and social sciences. In this paper, wemainly study some applications of operational research in the field ofeconomic. we first introduced some basic operational research conceptsand some basic algorithms, such as branch and bound algorithm, geneticsimulated annealing algorithm, etc., to faci
5、litate the readersunderstanding of subsequent knowledge. Followed by economicsbackground associated with operational research and model by consultingsome relevant and typical literature and shows. Finally, we give specificexamples of economics used the operational research to show thepractical value
6、 of linear algebra tools.【Keywords】Operations research, Algorithm, the economy,mathematical model, application07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用目录第 1 章 导 论 .1第 2 章 运筹学基础知识 .22.1 运筹学的特点和原则 .22.2 运筹学的基本算法介绍 .22.2.1 分支定界算法.22.2.2 启发式算法 .42.2.3 遗传模拟退火算法 .5第 3 章 运筹学在经济领域中的总体应用 .63.1 运筹学在经济领域中的应用介绍 .63.2 基础运筹学模型 .
7、73.2.1 最优化模型 .73.2.2 投入与产出模型 .8第 4 章 应用实例：快餐店中的随机服务模型.94.1 模型假设 .94.2 模型建立.104.3 模型求解 .11参考文献 .1307121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用第一章 导 论运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。它的英文名称是Operations Research（运用研究）。20 世纪 50 年代中期，钱学森、许国志等教授将运筹学由西方引入中国，并结合中国国情推广应用。运筹学强调最优性。所谓最优，包含两方面的含义：一是从时间上
8、来讲，寻求全过程最优；二是从空间上来讲，寻求整体最优。运筹学在经济管理中的应用越来越广泛，该学科是一门对经济管理系统进行定量分析与决策的应用学科，是应用分析、实验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行系统安排，为决策者提供有依据的最佳方案，以实现最有效的管理，取得最满意的经济效益。在中国战国时期，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十分重要的。现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题
9、加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上，做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，
10、最后提出综合性的合理安排，已达到最好的效果。本文采取文献法、调研法、实验、对比法等多种方法相结合的综合性研究方法， 结合计算运筹学原理，进一步研究分析了经济管理领域中的优化模型与算法，并且运用 Matlab 进行了仿真实验。这两类问题在现实生产生活中大量存在，因此研究这两类问题的优化模型和算法仿真有着极大的现实意义和社会价值。- 1 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用第 2 章 运筹学基础知识2.1 运筹学的特点和原则运筹学的主要特点：1.运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制。2.运筹学既对各种经营进行创造性
11、的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效。3.它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。运筹学的原则：1.合伙原则。是指运筹学工作者要和各方面的人，尤其是同实际部门工作者合作。2.催化原则。在多学科共同解决某问题时，要引导人们改变一些常规的看法。3.互相渗透原则。要求多部门彼此渗透地考虑问题，而不是只局限于本部门。4.独立原则。在研究问题时，不应受某人或某部门的特殊政策所
12、左右,应独立从事工作。5.宽容原则。解决问题的思路要宽，方法要多，而不是局限于某种特定的方法。6.平衡原则。要考虑各种矛盾的平衡，关系的平衡。2.2 运筹学的基本算法介绍2.2.1 分支定界算法分支与定界算法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（其数目为有限）空间适当地搜索。约定本例涉及的问题为最小值问题。具体执行时，- 2 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用把全部可行解空间不断分割为越来越小的子集（即分支），并且为每个子集内的解的值计算一个下界（即定界）。每次定界后，把搜索树上当前所有叶子结点的下界比较，找出下界最小的结点，此结点即为下次分支的结点。逐渐分支必定
13、会找到可行解，将目前已知最好的可行解及其值存放起来，如果待分支的结点的下界小于存放的值，则继续分支，否则算法终止，存放的解即为最佳解。1.分支结点的寻找分支与定界算法实施过程中，每次总是挑选下界最小的叶子结点作为下一次分支的结点。鉴于叶子结点处理的频繁性，我们应该建立搜索树的叶子链。该分支的结点就不是叶子结点了，而它的子结点为叶子结点，所以对叶子链的操作为删除一个元素和增加若干个元素。为了便于处理，这个叶子链应为有序的。相应结点的数据类型及算法如下：typedef struct TNode BoundType bound；/BoundType 为限界的类型Struct Tnode Childs
14、 n；/n 为子结点的个数，即分支数Struct Tnode nextl；/指向下一个叶子SearchTree；Status Search _Branch (SearchTree&L) /带头结点的叶子链 L 中删除第 1 个元素，并且将这个元素的子结点有序地插入叶子链中Pi-nextl；1-nextl=p-nextl；/删除第 1 个元素for (i=0；i+) q=p-childsi；r=1；s=l-nextl；while(s & q-bounds-bound) /用 s 指向插入的位置，r 指向其前趋r=s；s=s-nextl；- 3 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用
15、r-nextl=q；q-nextl=s；/插入第 i 个子结点/Search Brach2.当前结点对应的数据生成搜索树中每个结点对应可行解的一个子集，用一些数据来描述这些解的特征，用来计算结点对应的下界。子结点对应的数据可由父结点对应的数据及分支规则来生成。由于每个叶子结点都有可能成为待分支的结点(即当前结点)，故叶子结点对应的数据都应保留。但当数据量很大时，每个结点保留这些数据空间过于浪费。此时，采用另外一种办法，临时生成当前结点对应的数据。下面以货郎担问题为例介绍这种方法。分支定界算法求解组合优化的基本思想是隐式的枚举一切可行解。当然这种枚举不是简单的枚举，而是逐次对解空间进行划分。所谓
16、分支就是指这个划分过程；而所谓定界就是指对于每个划分后的解空间要计算原问题的最优解的下界。这些下界用来在求解的过程判定是否需要对目前的解空间进一步地划分，也就是尽可能去掉一些明显的非最优点，从而避免了完全枚举。2.2.2 启发式算法矩形件排样优化问题一般是指在给定的板材上按一定要求排放所需要的小矩形，使排放区域的板材废料尽可能地少。以达到节省原料的目的。这是许多行业迫切需要解决的问题，如金属板下料、服装裁减、玻璃切割等。从数学计算复杂性理论可知，矩形件排样优化问题属于 NP 完全问题，没有可行的多项式时间算法求解。但是人们又迫切需要解决这一问题。为此不少中外学者提出了一系列解决这类问题的近似算
17、法。如禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法等。文献研究探讨了这类问题的遗传算法求解，基本思想是将问题转化为排列问题。但是文中所采用的将一个排列对应在唯一的一个排样图的 BL 算法并不能求得某问题的最优排样图。一般而言，矩形件的优化排样图有非常复杂的组合结构，存在“组合爆炸”，而这一般在实际应用中不容易控制。本文提出了用四块结构模式- 4 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用来构造矩形件的优化排样图，具体地说就是在每块板材上根据需要分割成四块，而每块中只排一种零件。使得问题有更好的求解。2.2.3 遗传模拟退火算法遗传算法(Genetic algorithm )是一种人工智能的方
18、法，仅仅利用个体的适应度进行群体的优化，不需要优化模型中的目标函数和约束函数的导数信息，因而具有很强的鲁棒性，适合各种优化问题。遗传算法利用变量编码在变量空间进行多点搜索，突变算子能避免交叉繁殖收敛于局部优良个体。并保持群体搜索的多样性，这些保证了遗传算法具有更强的全局寻优能力；模拟退火算(Simulatedannealing algorithm)在 1982 年由 Kirkpatrick 等将固体退火思想引入组合优化领域，是一种适应于解决大规模组合优化和 NP 完全组合优化问题的有效近似算法。遗传算法有较强的全局搜索能力，但局部搜索能力较差，而模拟退火算法有较强的局部搜索能力，但模拟退火算法
19、却对整体搜索空间的状况了解不多，不便于使搜索过程进人最有希望的搜索区域，从而使模拟退火算法的运算效率不高。矩形件优化排样问题就是将一系列矩形零件 a1 ,a2 ,an 合理地排放在原料 P 中，使原料的利用率最高，并且要满足：(1)ai ,aj 互不重叠；i,j=1,2,n.(2)ai 必须排放在 P 内；i=1,2,n.(3)满足一定的工艺要求。这是许多行业都迫切需要解决的问题。对于非矩形零件可以通过计算机图形处理技术将一个或几个零件套排在一个包容矩形中，然后对包容矩形进行排样，从而可以转化为矩形件排样问题，可见矩形件优化排样问题的解决具有十分重要的意义。从数学计算复杂性理论可知，矩形件排样
20、的优化问题属于 NP 完全问题，但是由于实际生产的需要，不少中外学者提出了一系列的算法。就一般的矩形件排样优化问题建立了通用的数学模型，然后将遗传算法和模拟退火算法结合起来求出其解，结果满意。最优化问题的求解过程是从众多的解中选出最优的解。而生物进化的适者生存规律是使得最具有生存能力的染色体以最大的可能性生存，这样的共同点使得遗传算法可以在最优化问题中得以应用。- 5 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用由于遗传算法灵活而且具有兼容性，提出了模拟退火算法与遗传算法的一种结合算法。第 3 章 运筹学在经济领域中的总体应用3.1 运筹学在经济领域中的应用介绍运筹学是软科学中“硬度”
21、较大的一门学科，兼有逻辑的数学和数学的逻辑的性质，是系统工程学和现代管理科学中的一种基础理论和不可缺少的方法、手段和工具。运筹学已被应用到各种管理工程中，在现代化经济建设中发挥着重要作用。近年来，运筹学模型已广泛应用于许多领域深入到经济的多个方面，诸如生产管理、市场预测与分析、资源分配与管理、工程优化设计、运输调度管理、库存管理、企业管理、区域规划与城市管理、计算机与管理信息系统等，随着社会经济和计算机的迅速发展，运筹学模型在经济管理中的作用将越来越受到重视，应用运筹学模型的领域越来越广泛。1.运输问题在经济生活中有这样一类问题：我们需要把货物从若干个地方运到其他若干个地方以满足需要，由于路途
22、远近不同，因此其单位运价不同，我们的目的是使得运输的总费用最小。这就是运输问题。(1)产销不平衡的运输问题在实际中我们遇到的常常是产销不平衡的运输问题，这时可以增加一个虚拟的产地或销地，把产销不平衡的运输问题化成产销平衡的运输问题，然后按照产销平衡的运输问题的解法求解。(2)从某个产地到某个销地没有运输路线的问题可以设从 A 产地到 B 销地没有运输路线或不允许通过，我们设 A、B 两地间距离是个任意大的正数，这样在求最优解时，A 到 B 的运输路线上就不会安排运输量。2.动态规划问题- 6 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用动态规划是运筹学的一个重要分支，是解决多阶段决策过
23、程最优化的一种数量化方法。动态规划把比较复杂的问题划分成若干阶段，并且逐段解决而最终达到全局最优。动态规划的成功之处在于，它可以把一个 n 维决策问题变换为一个一维最优化问题（把一个多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题），然后一个一个地求解。(1)资源分配问题所谓资源分配问题，就是将数量一定的一种（一维）或若干种（多维）资源，恰当地分配给若干个使用者，而使总效益最佳。(2)生产与存储问题在生产和经营管理中，决策者经常要考虑合理地安排生产（或购买）与库存问题，达到既要满足社会的需要，又要尽量降低成本费用。(3)背包问题所谓背包问题是指对于 N 种具有不同重量和不同价值的物品，在携带物品
24、总重量限制的情况下，决定这 N 中物品中每一种物品多少数量装入背包内，使得装入背包物品的总价值最大。另外，运筹学还成功地应用于设备维修、更新和可靠性、项目的选择与评价；工程优化设计；信息系统的设计与管理以及各种城市紧急服务系统的设计与管理上。3.2 基础运筹学模型3.2.1 最优化模型有 n 种食物，每种含有 m 种营养成分，第 j 种食物每个单位含第 i 种营养成分为a ，已知每人每天对第 i 种营养成分的最低需要量为b ，第 j 种食物的单ij i价是c ，试问一个消费者应该如何选购食物才能既满足需要，又花费最小。jj = L ，则应有关系设选购第 j 种食物的数量为 x ( j 1, 2
25、, ,n)- 7 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用na x b i 1, 2, ,m =( L ) Ax bij j ij=1x 1 n = x 00 j ,2, ,( L ) j 用矩阵形式表示即为 min f=n min f c x=k kk=1cx其中A=a11 21 aam1a12a22Lam2LLLLa 1na2namn，x=x1x2 Mxn，b=b1b2Mbm，cT=c 1 c 2M c n3.2.2 投入与产出模型投入产出方法是考察各种经济活动的投入与产出之间的数量关系的一种方法，是运筹学的一个分支。它的数学模型有静态和动态两种类型，下面就用矩阵来表示一个静态
26、价值型投入产出的情况。设社会有 n 个部门，现在用矩阵( )Xij 来表示各部门之间的生产技术联系，nn相互提供劳动对象（如原材料、辅助材料、燃料或动力等）的情况，X 表示第ijXi 个部门的产品用作第 j 个部门生产所消耗的数量。直接消耗系数a = ，Xijij Xjjn是第 j 个部门的总生产量，用 ( )Yi D V + M= +表示社会总产值或国民生产总i i i i=1值，其中 D 为固定资产折旧额，V 为劳动报酬，M 为社会纯收入。n那么从水平上看有关系式： X Y X (i L n)ij + = =1, 2, ,i i j=1将X = 代入，就可写成简单的矩阵形式： X (I A
27、) Yij a X = -ij j-1其中 ( )A = a 是直接消耗系数矩阵，上式表明可根据最终产品的需要量 Yijnn算出总产品产量 X 应是多少（以销定产）。- 8 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用n从垂直上看就有关系： X D V M X (j n) Lij + + + = =1, 2, ,j j j j i=1这个式子的经济意义为各部门的产值等于中间产品转移价值、固定资产折Xij旧、劳动报酬和社会纯收入之和，引入a 就可写成矩阵形式：=ij XjX = (I - C)-1(D +V + M )n其中 C 为对角阵，其对角线上第 i 个元素为 Cii = aijj
28、=1，当已知 C 及各部门的 D、V、M 的数值后，即可算出各部门的总产量 X 的数值来。第 4 章 应用实例：快餐店中的随机服务模型随着人们生活水平的日益提高，人们的时间观念也在不断改变。都市人高效率、高节奏的生活使得快餐业风靡全球。麦当劳、肯得基就是全球快餐业的成功代表。顾名思义，快餐店就是要求“快”！因此有不少商店向社会承诺：如果哪位顾客等待的时间超过一定的时间，那么他就可以免费享受他所定的饭菜。但是具体应该承诺几分钟呢？本文就从排队论和统计学两个角度来探讨这个问题。这个问题的关键有二：1)对顾客到达，服务时间，排队规则等做什么样的假设；2)对当宣布“服务慢了将免费进餐”以后，承诺的时间
29、与顾客的增多之间的关系应该用什么规律描述。对于前者，M/M/m 模型是一个合理简化的选择；对于后者，将在直观分析的基础上用最简单的定量的关系表示出来。然后在计算机上统计分析其随机模拟图。4.1 模型假设1.顾客在快餐店的服务服从 M/M/m 模型；顾客平均到达率为l =1/ c ,c 为平均到达间隔，在未宣布承诺时c = c ；快餐店平均服务率 m =1/ d ,d 为平均服务0- 9 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用时间；dc。2.店方承诺等待时间超过 c 的顾客可以免费享受订餐, m 越小则顾客越多，c越小。在一定范围内设 c 与 m 成正比。同时又存在 m 的最大值m
30、 ，当0m f 时m0快餐店的承诺对顾客没有吸引力，相当于不作承诺，不妨设此时c = c 。03.每位顾客的订餐收费 p，成本 q。这里主要为了计算店方的利润百分数 p / q ,因为这个百分数对每个顾客来说是大约相同的。4.2 模型建立- 10 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用4.3 模型求解- 11 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用- 12 -07121001 古国宝 运筹学在经济领域中的应用参考文献1 田乃硕.休假随机服务系统.北京大学出版社,20012 何坚勇编著.运筹学基础M.北京:清华大学出版社,20003 运筹学教材编写组.运筹学M.北京:清华大学出版社,19964 张学群,楼克明.运筹学基础M北京:经济科学出版社,19965 韩伯棠.管理运筹学M.北京:高等教育出版社,20006 刑文训等.现代优化计算方法.清华大学出版社,20017 徐光辉.随机服务系统（第二版）.科学出版社,19888 孟玉珂.排队论基础及应用.同济大学出版社,1989- 13 -
