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1、【典型例题】类型一、数字问题1.（春兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数【答案与解析】解：设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意x（x+2）=143，解得x1=11（不合题意舍去），x2=13，则当x=13时，x+2=11答：这两个数是13，11故答案为：13，11【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键类型二、平均变化率问题2. （衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2
2、013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A10（1+x）2=16.9B10（1+2x）=16.9C10（1x）2=16.9D10（12x）=16.9【思路点拨】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可【答案】A【解析】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数
3、量关系为a（1x）2=b举一反三：【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A1331 B1210 C1100 D1000【答案】设每人每轮传染x人，则(1+x)2121，x110，x2-12舍去，第三轮传染后患流感人数为121(1+10)1331人类型三、利润（销售）问题3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg据测算此后
4、每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?【答案与解析】解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适 根据题意，得2010x+(30+x)(1000-10x)-(400x+301000)6250， 整理，得x2-50x+6250， x1x225 答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一
5、根主线连在一起这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破举一反三：【变式】（东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元【答案】解：降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50x，由题意得：（50x）（30+2x）=2100，化简得：x235x+300=0，解得：x1
6、=15，x2=20，该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选x=20，答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.类型四、行程问题4. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？【答案与解析】解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的这段时间内的平均车速等于最大速度与最小
7、速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速”， 即（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度末速度）车速变化时间”， 即（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 s，由（2）可知，这时车速为这段路程内的平均车速为，即由速度时间=路程，得解方程，得根据问题可知，即x5，又x2.5；所以刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.一元二次方程的应用巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）Ax（x1）=45Bx（x+1）=45C
8、x（x1）=45Dx（x+1）=452上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是 ( ) A168(1+a%)2128 B168(1-a%)2128 C168(1-2a%)2128 D168(1-a2%)1283从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( ) A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm4甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的
9、途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时. A2,6 B12,16 C16,20 D20,245某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50(即每100千克花生可加工成花生油50千克)现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的则新品种花生亩产量的增长率为 ( )A20 B30% C50% D120%6从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升则每次
10、倒出溶液的升数为（ ） A5 B6 C8 D10二、填空题7某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为_万元 8有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为_9一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是 米. 10有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换
11、后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是 11某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是 12（贵阳）如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高动点P从点A出发，沿AD方向以cm/s的速度向点D运动设ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0t8），则t= 秒时，S1=2S2三、解答
12、题13（百色）在直角墙角AOB（OAOB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.800.80和1.001.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？14.（广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48
13、cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由 15如图所示，AOOB50cm，OC是一条射线，OCAB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2? 【答案与解析】一、选择题1.【答案】A【解析】有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为x（x1），共比赛了45场，x（x1）=45，故选A2【答案】B；【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元根据题意可列方程168(1-a%)21283【答案】D；
14、【解析】设截去小正方形的边长为x，则3012-4x2296， x216，x1-4(舍去)，x244.【答案】C；【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=2.经检验：x1=16，x2=2都是原方程的根，但x2=2不合题意，舍去.当x=16时，x+4=20.5【答案】A；【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x.6【答案】D；【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（x）升根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数20xx5二、填空题7【
15、答案】220. 【解析】方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得200(1+x)2242解得x110%，x2-2.1(舍去)， 200(1+x)200(1+10%)220方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为，2011年增长的百分率为，由增长率相同可列方程，解得x1220，x2-220(舍去)8【答案】2.5m. 【解析】设留空的宽度为x m，则，解得x115(舍去)，9【答案】1.【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长为(120-4x)m，宽为(78-3x)m (120-
16、4x)(78-3x)8700， 即x2-56x+550， 解得x11，x255 当x55时，35516578，(不合题意，舍去) x1 答：水渠应挖1m宽10【答案】35或53【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8-x)，由题意得 10x+(8-x)10(8-x)+x1855 化简得x2-8x+150， 解之得：x13，x25 经检验，x13，x25都符合题意 答：原两位数是35或5311【答案】10%【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x， 依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)21324 即100x2+300x-310 解得x10.110%
17、，x2-3.1(不合题意，舍去) 答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%12.【答案】6.【解析】RtABC中，BAC=90，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，AD=BD=CD=8cm，又AP=t，则S1=APBD=8t=8t，PD=8t，PEBC，APEADC，PE=AP=t，S2=PDPE=（8t）t，S1=2S2，8t=2（8t）t，解得：t=6三、解答题13.【答案与解析】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；（2）规格为0.800.80所需的费用：96（0.800.80）5
18、5=8250（元）规格为1.001.00所需的费用：96（1.001.00）80=7680（元）因为82507680，所以采用规格为1.001.00所需的费用较少14. 【答案与解析】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40x）cm，由题意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，当x=12时，较长的为4012=28cm，当x=28时，较长的为4028=1228（舍去）答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；（2）李明的说法正确理由如下：设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40m）cm，由题意，得（）2+（）2=48，变形为：m240m+416=0，=（40）24416=640，原方程无实数根，李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm215. 【答案与解析】 (1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点t s后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2根据题意，得整理得：，解得t110，t215(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的三角形的面积是450 cm2，根据题意，得：， 整理得x2+25x-1500，解得x15，x2-30(舍去) 当x5时，x+2530这时蚂蚁已由A点爬了30s 答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2
