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1、第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图，B点的方位角为)3方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45.(3)其他方向角类似做一做1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC等于()A10B50C120 D130答案：D 1辨明两个易误点(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与
2、目标方向线所成的锐角(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量2解三角形应用题的一般步骤做一做2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析：选B.如图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.3如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点间的距离为_解析：由正弦定理得AB50(m)答案：50 m,学生用书P73P74)_测量距离_
3、如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离 解在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22cos 75325，AB(km)，A，B之间的距离为 km.规律方法求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦
4、定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理1如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m.即A，B两点间的距离为200 m._测量高度_(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45
5、以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析根据题图，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)答案150规律方法求解高度问题的注意事项：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用2.(2015吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶
6、A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.解析：如图，设电视塔AB高为x m，则在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，ADB30，则BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得x40，所以电视塔高为40 m.答案：40_测量角度_在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝
7、方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值 解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.规律方法解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用3. 如图，甲船以
8、每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A1B2.由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210
9、.因此，乙船每小时航行6030海里方法思想函数思想在解三角形中的应用某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S，故当t时，Smin10，v30，即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小
10、(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，由题意可得：(vt)2202(30t)222030tcos(9030)，化简得：v2900400675.由于0t，即2，所以当2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时 名师点评(1)解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分别表示为时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意t的范围(2)关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示为关于角的三角函数，再利用三角函数的性质来求解(2014高考浙江卷改编)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此
11、人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15 m，AC25 m，BCM30，求tan 的最大值(仰角为直线AP与平面ABC所成角)解：如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cosBCA.所以AO(m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.1. 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所
12、以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2(2015河南郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10 kmC10 km D10 km解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，AC10(km)3如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75解析：选B.依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD
13、中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.4如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.5(2014高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别
14、为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选C.如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)6一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时解析：由题意知，在PMN中，PM68海里，MPN7545120，MNP45.由正弦定理，得，解得MN34海里，
15、故这只船航行的速度为海里/小时海里/小时答案：7如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为_解析：如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求河的宽度在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120 m.在RtACD中，CDACsinCAD120sin 3060(m)，因此这条河的宽度为60 m.答案：60 m8一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图所示，依题
16、意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30.答案：309(2015郑州市质量预测)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.求AB的长度解：在ABC中，由余弦定理得cos C.在ABD中，由余弦定理得cos D.由CD得cos Ccos D，解得AB7，所以AB的长度为7米10某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile
17、的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(精确到0.1)解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得，所以sin CAB，即CAB21.8或CA
18、B158.2 (舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 m D150 m解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，
19、故水柱的高度是50 m.2如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析：选C.在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3 (m)3某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：由题意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075
20、105，ASB45.由正弦定理知，BS3.答案：34如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，BCsin 1510 500()CDAD，CDBCsin DBC10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 6505(2014高考湖
21、南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的长解：(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD，故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sinCAD，sinBAD.于是sin sin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.6(选做题)(2013高考江苏卷) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、
22、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsi
23、n C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)由于0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.l 设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内
