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1、课时作业24解三角形的应用一、选择题1以观测者的位置作为原点，东、南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北方向为始边，按顺时针方向旋转280到目标方向线，则目标方向线的位置在观测者的()A北偏东80 B北偏东10C北偏西80 D北偏西10解析：注意旋转的方向是顺时针方向，作出相应的图形分析可得正确选项为C.答案：C2已知ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且，则cosB的值为()A. B.C D解析：根据正弦定理得，所以sinsinB2sincos，所以cos，所以cosB2cos21.答案：C3如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇
2、险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos等于()A. B.C. D.解析：在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202 800，所以BC20.由正弦定理得sinACBsinBAC.由BAC120知ACB为锐角，故cosACB，故coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.答案：B4.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是()A. km2 B. km2C. km2 D. km2
3、解析：连接AC，根据余弦定理可得AC km，故ABC为直角三角形且ACB90，BAC30，故ADC为等腰三角形，设ADDCx km，根据余弦定理得x2x2x23，即x23(2)，所以所求的面积为13(2)(km2)答案：D5(2017湖南岳阳一模)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果满足条件：asinAsinBbcos2Aa，则()A2 B2C. D.解析：由正弦定理及asinAsinBbcos2Aa，得sinAsinAsinBsinBcos2AsinA，即sinB(sin2Acos2A)sinA，所以sinBsinA，所以，故选D.答案：D6(2017福建漳州一模)在
4、ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面积为c，则ab的最小值为()A. B.C. D3解析：由正弦定理及2ccosB2ab，得2sinCcosB2sinAsinB，因为ABC，所以sinAsin(BC)，则2sinCcosB2sin(BC)sinB，即2sinBcosCsinB0，又0B0，则cosC，因为0C，所以C，所以sinC，则ABC的面积为absinCabc，即c3ab，结合c2a2b22abcosC，可得a2b2ab9a2b2，a2b22ab，当且仅当ab时取等号，2abab9a2b2，即ab，故ab的最小值是.故选B.答案：B二、填空题
5、7(2016山东卷)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sinA)，则A_.解析：由余弦定理得a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又0A2，则tanBtanC1，m2，又在三角形中有tanAtanBtanCtan(BC)tanBtanCmm24248，当且仅当m2，即m4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8.答案：8三、解答题10已知函数f(x)cosx(sinxcosx)(xR)(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合；(2)在ABC中，角
6、A，B，C的对边分别为a，b，c，且f()，a3，bc2，求ABC的面积解：(1)f(x)cosx(sinxcosx)sinxcosxcos2xsin(2x).当2x2k(kZ)，即xx|xk，kZ时，f(x)取得最大值1.(2)由f()，可得sin(A)0.因为A为ABC的内角，所以A，则a2b2c22bccosAb2c2bc，由a3，bc2，解得bc1.所以SABCbcsinA.11(2017河北唐山统考)在ABC中，AB2AC2，AD是BC边上的中线，记CAD，BAD.(1)求sinsin；(2)若tansinBAC，求BC.解：(1)AD为BC边上的中线，SACDSABD，ACADsi
7、nABADsin，sinsinABAC21.(2)tansinBACsin()，sinsin()cos，2sinsin()cos，2sin()sin()cos，sin()cos2cos()sin，sin()2cos()tan，又tansinBACsin()0，cos()cosBAC，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC3，BC.1(2017武汉武昌区调研)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b2，求ABC的面积的最大值解：(1)证明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(
8、1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化简，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比数列(2)由(1)及题设条件，得ac4.则cosB，当且仅当ac时，等号成立0B，sinB.SABCacsinB4.ABC的面积的最大值为.2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m(cosA，sinA)，n(2cosA，2cosA)，mn1.(1)若a2，c2，求ABC的面积；(2)求的值解：(1)由mn1，即2cos2A2sinAcosA1，得sin(2A)1.0A，2A，A.由正弦定理，得sinC，C，C，B.SABC222.(2)原式2.
