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1、 轴对称图形提高练习题1如图，ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，BAD与CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程2如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点证明下列结论：（1）AG=AD；（2）DF=EF；（3）SDGF=SADG+SECF3在菱形ABCD中，B=60，AC是对角线（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=CF求证：ABEACF； 求证：AEF是等边三角形（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）4如图，已知AB
2、C为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE求证：EC=ED5如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由6如图，ABC是等边三角形，过点C作CDCB交CBA的外角平分线于点D，连接AD，过点C作BCE=BAD，交AB的延长线于点E（1）求证：BD=BE； （2）若CD=4
3、，求AD的长7如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长=cm； 求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由8如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在
4、直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，求DE的长 9如图，点O是等边ABC内一点将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD已知AOB=110（1）求证：COD是等边三角形；（2）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形10如图：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论参考答案1考点：等腰三
5、角形的性质专题：压轴题；开放型解答：当BAD=2CDE时，AD=AE。证明：若BAD=2CDE，设CDE=x，则BAD=2x，AB=AC，B=C，2=CDE+C，ADC=BAD+B，2=x+C，1+x=2x+B=2x+C，1=x+C=2，AD=AE 题1 题2 题32考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形专题：压轴题证明：（1）ABC是等边三角形，A=60，DGAC，AGD=90，ADG=30，AG=AD/2；（2）过点D作DHBC交AC于点H，ADH=B，AHD=ACB，FDH=E，ABC是等边三角形，B=ACB=A=60，A=ADH=AHD=60，AD
6、H是等边三角形，DH=AD，AD=CE，DH=CE，在DHF和ECF中，DHFECF（AAS），DF=EF；（3）ABC是等边三角形，DGAC，AG=GH，SADG=SHDG，DHFECF，SDHF=SECF，SDGF=SDGH+SDHF=SADG+SECF 3考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的性质专题：压轴题；开放型（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC，ACB=ACF，又B=60，ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60，B=ACF，BE=CF，ABEACF；由ABEACF，AE=AF，BAE=CAF，BAE+CAE=60，CAF+CAE=60，即EAF=60
7、，AEF是等边三角形（2）答：存在。证明：在CD延长线上取点F，使CF=BE，与（1）同理可证ABEACF，AE=AF，BAE=CAF，CAFCAE=BAECAE，EAF=BAC， BAC=60，EAF=60AEF是等边三角形注：若在CD延长线上取点F，使CE=DF亦可4考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题；压轴题证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，AE=BD，ABC为等边三角形，BE=BF，B=60，BEF为等边三角形，F=60，在ECB和EDF中，ECBEDF（SAS），EC=ED 题4 题5 题6 5考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含3
8、0度角的直角三角形专题：压轴题；动点型解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC/2，即6x=（6+x）/2，解得x=2，AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=BQF，APEBQF（AAS），AE=BF，P
9、E=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF/2，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB/2，又等边ABC的边长为6，DE=3，点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变6考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题：计算题；证明题；压轴题证明：（1）ABC为等边三角形，AB=BC，5=60又5+CBE=180，CBE=120又BD平分CBE，5+3=4+3=120ABD=CBE在ABD和CBE中，ABDCBE（ASA）BD=BE（2）过D作DFAE于F，DFB=DCB=90，又CBD=FBD，BD=BD，CBDFBD（AAS）CB=BF，DF=CD=
10、43=60，BCD=90，CDB=30，设BC=x，则BD=2x，则42+x2=（2x）2，解得：x=，BD=BE，BD=，在直角三角形BCD中，BCD=90，BC=，BF=BC=AB=BC，AF=AB+BF=+=直角三角形ADF中，AF=，DF=4根据勾股定理可得出AD=7考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定专题：几何综合题；压轴题解：（1）由折叠知BE=EM，B=EMP=90AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AMAB=4，M是AD中点，AEM的周长=4+2=6（cm）；现证明EP=AE+PD。方法一：取EP的中点G，则在梯形AEP
11、D中，MG为中位线，MG=（AE+PD），在RtEMP中，MG为斜边EP的中线，MG=EP，EP=AE+PD方法二：延长EM交CD延长线于Q点A=MDQ=90，AM=DM，AME=DMQ，AMEDMQAE=DQ，EM=MQ又EMP=B=90，PM垂直平分EQ，有EP=PQPQ=PD+DQ，EP=AE+PD（2）PDM的周长保持不变设AM=x，则MD=4x由折叠性质可知，EM=4AE，在RtAEM中，AE2+AM2=EM2，即AE2+x2=（4AE）2，整理得：AE2+x2=168AE+AE2，AE=（16x2），又EMP=90，AME+DMP=90AME+AEM=90，AEM=DMP又A=D，
12、PDMMAECPDM=CMAE=（4+x）=8PDM的周长保持不变 题78如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE（1）求证：CE=CF；（2）在图1中，若G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且DCE=45，BE=4，求DE的长考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型分析：（1）利用已知条件，可证出BCEDC
13、F（SAS），即CE=CF（2）借助（1）的全等得出BCE=DCF，GCF=BCE+DCG=90GCE=45，即GCF=GCE，又因为CE=CF，CG=CG，ECGFCG，EG=GF，GE=DF+GD=BE+GD（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在RtAED中利用勾股定理可求出DE解答：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDFCE=CF（2）解：GE=BE+GD成立CBECDF，BCE=DCFECD+ECB=ECD+FCD即ECF=BCD=90又GCE
14、=45，GCF=GCE=45CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCGEG=GFGE=DF+GD=BE+GD（3）解：过C作CGAD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90，又CGA=90，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BC=12已知DCE=45，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，设DE=x，则DG=x4，AD=AGDG=16x，AE=ABBE=124=8在RtAED中DE2=AD2+AE2，即x2=（16x）2+82解得：x=10DE=10点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能
15、力，是一道好题本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异从阅卷的情况看，本题的得分在48分的学生居多前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低9如图，点O是等边ABC内一点将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD已知AOB=110（1）求证：COD是等边三角形；（2）当=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形考点：等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；探究型分析：此题有一定的开放性，要
16、找到变化中的不变量才能有效解决问题解答：（1）证明：CO=CD，OCD=60，COD是等边三角形；（3分）（2）解：当=150，即BOC=150时，AOD是直角三角形（5分）BOCADC，ADC=BOC=150，又COD是等边三角形，ODC=60，ADO=90，即AOD是直角三角形；（7分）（3）解：要使AO=AD，需AOD=ADOAOD=360AOBCOD=36011060=190，ADO=60，190=60=125；要使OA=OD，需OAD=ADOAOD=190，ADO=60，OAD=180（AOD+ADO）=50，60=50=110；要使OD=AD，需OAD=AOD190=50=140综
17、上所述：当的度数为125，或110，或140时，AOD是等腰三角形（12分）说明：第（3）小题考生答对1种得（2分），答对2种得（4分）点评：本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力10如图：在RtABC中，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动
18、中保持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论 考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：（1）由于ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，CAO=B=45，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得AONBOM可得：ON=OM NOA=MOB，于是有，NOM=AOB=90，所以OMN是等腰直角三角形解答：解：（1）在RtABC中，BAC=90，O为BC的中点，OA=BC=OB=OC，即OA=OB=OC；（2）OMN是等腰直角三角形理由如下：连接AOAC=AB，OC=OBOA=OB，NAO=B=45，在AON与BOM中AONBOM（SAS）ON=OM，NOA=MOBNOA+AOM=MOB+AOMNOM=AOB=90，OMN是等腰直角三角形点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解
