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1、函数压轴题函数与几何图形综合探究题1(2016黄冈)如图，抛物线yx2x2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上一个动点设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求点A，点B，点C的坐标；(2)求直线BD的解析式；(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当x0时，y2，C(0，2)当y0时，x2x20，解得x14，x21.B(4，0)，A(1，0
2、)(2)点D与点C关于x轴对称，D(0，2)设直线BD的解析式为ykxb.yx2.(3)CDQM，要使四边形CQMD是平行四边形，则CDQM.CD4，Q(m，m2m2)，M(m，m2)QMm2m22mm2m4.m2m44，解得m10，m22.P点在OB上运动，0m4.m2.(4)当QBD90时，即QBDB，设BQ所在直线的解析式为y2xb，将B(4，0)代入，得b8，y2x8.点Q是直线QB与抛物线的交点，x2x22x8，解得x13，x24.来源:学&科&网B(4，0)，Q1(3，2)当QDB90，即QDDB，设QD所在直线的解析式为y2xb，将D(0，2)代入，得b2，y2x2.点Q是直线Q
3、D与抛物线的交点，x2x22x2，解得x18，x21.Q2(8，18)，Q3(1，0)2(2016十堰)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax21经过点A(4，3)，顶点为B.点P为抛物线上的一个动点，l是经过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过点P作PHl，垂足为点H，连接PO.(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；(2)当点P运动到点A处时，计算：PO5，PH5，由此发现POPH(填“”“”或“”)；当点P在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；(3)如图2，设点C(1，2)，问是否存在点P，使得以点P，O，H为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出P
4、点的坐标；若不存在，说明理由图1图2解：(1)抛物线yax21经过点A(4，3)，342a1.解得a.抛物线的解析式为yx21，顶点B的坐标是(0，1)(2)猜想POPH.证明：当点P移动到抛物线与x轴，y轴的交点位置时，有POPH2，POPH1，显然POPH成立；当点P在抛物线上的x轴上方时，如图3.设P(b，1)，根据坐标的意义及勾股定理，得PO1，PH2|1|2(1)1，POPH.当点P在抛物线上的x轴下方时，如图1.设P(b，1)，根据坐标的意义及勾股定理，得PO1，PH|1|2(1)21，POPH.综上所述，当P点在抛物线上运动时，总有POPH.图3图4(3)存在P1(1，)，P2(
5、1，)如图4，根据坐标的意义和勾股定理，可以求得BC，AC，AB4.ABC是等腰三角形由(2)知道POPH，POH也是等腰三角形，且POPH1，假设存在点P(b，1)，使得以点P，O，H为顶点的三角形与ABC相似，求出P点的坐标即可由题意知H(b，2)，OH.要使等腰OHP与等腰ABC相似，就需要.PH1，BC，OH，AB4，.两边平方得.整理，得b43b240，(b24)(b21)0.b240，b210.解得b1或1.点P1(1，)，P2(1，)3(2016东营)在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得
6、到平行四边形ABOC.(1)若抛物线过点C、A、A，求此抛物线的解析式；(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标；(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标解：(1)ABOC绕点O顺时针旋转90，得到ABOC，点A的坐标是(0，4)，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(1，4)抛物线过点C，A，A，设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，得解得抛物线的解析式为yx23x4.(2)连接AA，设直线AA的解
7、析式为ykxd，可得：解得直线AA的解析式是yx4.设M(x，x23x4)，SAMA4x23x4(x4)2x28x2(x2)28，0x4，x2时，AMA的面积最大，最大值为8，M(2，6)(3)设P点的坐标为(x，x23x4)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，当BQ为边时，PNBQ且PNBQ，BQ4，x23x44.当x23x44时，x10，x23，即P1(0，4)，P2(3，4)；当x23x44时，x3，x4，即P3(，4)，P4(，4)当BQ为对角线时，PBx轴，即P1(0，4)，P2(3，4)；当这个平行四边形为矩形时，即P1(0，4)，P2(3，4)时，N1(0，0)，N2(3，0)综
8、上所述，当P1(0，4)，P2(3，4)，P3(，4)，P4(，4)时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1(0，0)，N2(3，0)4(2016岳阳)如图1，直线yx4交x轴于点A，交y轴于点C.过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1，0)(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和BOC的面积分别为S四边形MAOC和SBOC，记SS四边形MAOCSBOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；(3)如图2，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A
9、、B、M，过点M作MEx轴于点E，交直线AC于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似；若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)直线yx4交x轴于点A(3，0)，交y轴于点C(0，4)设抛物线F1的表达式为yax2bxc，由题意得解得抛物线F1的表达式为yx2x4.(2)如图3，过点M作MQx轴交AC于点Q，设点M(x，x2x4)，则点Q(x，x4)MQ(x2x4)(x4)x24x(x)23.SAMCSAMQSQMCMQ32(x)2.S四边形MAOCSAMCSAOC2(x)2432(x)2.SS四边形MAOCSBOC2(x)2412(x)2.3x0
10、，当x时，S最大，S最大，此时，点M坐标为(，5)图3图4(3)存在理由如下：由翻折得：M(，5)，A(3，0)，B(1，0)易得直线AC的解析式为yx4，则点D(，2)来源:Z_xx_k.Com由勾股定理得AC5，AD.由对称性可得：CABDAP.设点P(m，0)，易知点P在点A的左侧，则PA3m.若，即，解得m2时，APDABC，此时，点P(2，0)；若，即，解得m时，ADPABC，此时，点P(，0)综上所述，存在点P1(2，0)或点P2(，0)，使得以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似5(2016青岛)已知：如图，在矩形ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，对角线AC，BD相交于点O
11、.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QFAC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0t6)，解答下列问题：(1)当t为何值时，AOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQFSACD916？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：(
12、1)四边形ABCD是矩形，ABC90.在RtABC中，AB6，BC8，AC10.AOBOCODO5.根据题意，得APDQ1tt.AOP是等腰三角形，有以下三种可能：当APOP时，过点P作PGAO于G，AGAO，AGPADC90.又PAGCAD，PAGCAD.，即.解得t；当APAO时，t5；当AOPO时，点P与点D重合，此时t86，不合题意，舍去故当t或5时，AOP是等腰三角形(2)QFAC，DFQDOC.()2，即.SCODS矩形ABCD6812.SDFQ12，S四边形FOCQ12.ADBC，PAOECO，APOCEO.又AOCO，APOCEO，CEAPt.过点O作OHBC于H，OHCD63
13、.SCEOt3t.SS四边形FOCQSCEO12tt12.(3)存在SACDADCD8624.当S五边形OECQFSACD916时，整理，得2t29t90，解得t13，t2.故当t3或时，S五边形OECQFSACD916.(4)存在过点D作DMPE于点M，DNAC于点N.PODCOD，DMDN.ONOM.OPDM3PD，OP5t.PM(5t)t.在RtPDM中，根据勾股定理，得PD2PM2DM2，即(8t)2(t)2()2，解得t1(不合题意，舍去)，t2.当t时，OD平分COP.6(2016威海)如图，抛物线yax2bxc经过点A(2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作
14、直线BC，连接AC，CD.(1)求抛物线的函数表达式；(2)E是抛物线上的点，求满足ECDACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 备用图解：(1)抛物线yax2bxc经过点A(2，0)，点B(4，0)，点D(2，4)，设抛物线的函数表达式为ya(x2)(x4)8a4，解得a.抛物线的函数表达式为y(x2)(x4)，即yx2x4.来源:学科网ZXXK(2)分两种情况情况一：若点E在直线CD上方的抛物线上，记作E1.连接CE1，过点E1作E1F1CD，垂足为F1.由(1)知，OC4.
15、ACOE1CF1，tanACOtanE1CF1，即.设线段E1F1h，则CF12h，点E1的坐标为(2h，h4)将E1(2h，h4)代入yx2x4，解得h10(舍去)，h2.点E1的坐标为(1，)情况二：若点E在直线CD下方的抛物线上，记作E2.连接CE2，过点E2作E2F2CD，垂足为F2.设E2F2f，则CF22f.点E2的坐标为(2f，4f)将E2(2f，4f)代入yx2x4，解得f10(舍去)，f2.点E2的坐标为(3，)综上所述，点E的坐标为(1，)或(3，)图1图2(3)可能存在两种情况情况一：CM为菱形的边长如图1，在第一象限内抛物线上取点P1，过点P1作P1N1y轴，交BC于点
16、N1，过点P1作P1M1BC，交y轴于点M1，则四边形CM1P1N1为平行四边形若四边形CM1P1N1是菱形，则P1M1P1N1.过点P1作P1Q1y轴，垂足为Q1.OCOB，BOC90，OCB45.P1M1C45.设点P1的坐标为(m，m2m4)，在RtP1M1Q1中，P1Q1m，P1M1m.直线BC经过点B(4，0)，点C(0，4)，可求直线BC的函数表达式为yx4.P1N1y轴，点N1的坐标为(m，m4)P1N1m2m4(m4)m22m.mm22m，解得m10(舍去)，m242.此时菱形CM1P1N1的边长为(42)44.情况二：CM为菱形的对角线如图2，在第一象限内抛物线上取点P2，过
17、点P2作P2M2BC，交y轴于点M2，连接CP2，过点M2作M2N2CP2，交BC于点N2，则四边形CP2M2N2为平行四边形连接P2N2交CM2于点Q2.若四边形CP2M2N2是菱形，则P2Q2CM2，P2CQ2N2CQ2.OCB45，N2CQ245.P2CQ245.CP2Q2P2CQ245.P2Q2CQ2.设点P2的坐标为(n，n2n4)，CQ2n，OQ2n4.n4n2n4，解得n1n20.此情况不存在综上所述，菱形的边长为44.7(2016聊城)如图，已知抛物线yax2bxc经过点A(3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，l是抛物
18、线的对称轴，点F是抛物线的顶点(1)求出该二次函数的表达式以及点D的坐标；(2)若RtAOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到RtA1O1F，求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；(3)若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度(0t6)得到RtA2O2C2，RtA2O2C2与RtODE重叠部分的图形面积记为S.求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围解：(1)抛物线yax2bxc经过点A(3，0)，B(9，0)和C(0，4)设抛物线的解析式为ya(x3)(x9)点C(0，4)在抛物线上，427a.a.抛物线的解析式为
19、y(x3)(x9)x2x4.CD垂直于x轴，C(0，4)x2x44.x6.点D的坐标为(6，4)(2)如图1所示，点F是抛物线yx2x4的顶点，F(3，)，FH.GHA1O1，.解得GH1.RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积为S四边形GA1O1H，S重叠部分SA1O1FSFGHA1O1O1FGHFH341.图1 图2图3(3)当0t3时，如图2所示C2O2DE，.O2Gt.SSOO2GOO2O2Gttt2.当3t6时，如图3所示C2HOC，.C2H(6t)设直线OD为ykx，D(6，4)yx.设直线AC为yk2xb，将A(3，0)，C(0，4)代入可得解得yx4.直线A2C2是直
20、线AC向右平移了t个单位长度，直线A2C2为y(xt)4.由题意知G为直线OD与A2C2的交点，联立解得即G(2t6，t4)过点G作GMC2O2，则GM6t.SS四边形A2O2HGSA2O2C2SC2GHOAOCC2HGM34(6t)(6t)t24t6.当0t3时，St2；当3t6时，St24t6.8(2016德州)已知，m、n是一元二次方程x24x30的两个实数根，且.抛物线yx2bxc的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标，并判断BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一
21、个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式解：(1)解方程x24x30，得x11，x23.m、n是方程x24x30的两根，且|m|n|，m1，n3.把点A(1，0)，B(0，3)代入yx2bxc，得解得这个抛物线的解析式为yx22x3.(2)令y0，则x22x30，解得x11，x23.点C的坐标为(3，0)又yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)过点D作DEy轴于点E，OBOC3，BEDE1.BOC和BED都是等腰直角三角形OBCDBE45.CBD90
22、.BCD是直角三角形(3)由点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(3，0)，得直线BC的解析式为yx3.点P的横坐标为t，PMx轴，点M的横坐标为t.又点P在直线BC上，点M在抛物线上，点P的坐标为(t，t3)，点M的坐标为(t，t22t3)过点Q作QFPM于点F，则PQF为等腰直角三角形PQ，QF1.讨论：如图1，当点P在M上方时，即0t3时，PMt3(t22t3)t23t，SPMQF(t23t)t2t.图1图2如图2，当点P在点M下方时，t3时，PMt22t3(t3)t23t，SPMQF(t23t)t2t.9(2016临沂)如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴，y轴相交于A，B两
23、点点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PAQA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)令y0，则2x100，x5，A(5，0)把x0代入y2x10，得y10，B(0，10)设过O，A，C三点的抛物线的解析式为yax2bxc
24、，可得解得抛物线的解析式为yx2x.ABC是直角三角形，理由如下：B(0，10)，A(5，0)，OA5，OB10.AB2125，AB5.C(8，4)，A(5，0)，AC225，AC5.B(0，10)，C(8，4)，BC2100，BC10.AC2BC2AB2.ABC是直角三角形，且C90.(2)PAQA，PA2(2t)252，QA2(10t)252，(2t)252(10t)252.解得t10(舍去)或t.故当运动时间为秒时，PAQA.(3)存在抛物线yx2x过O，A两点，则对称轴是x，设M的坐标为(，m)当AMBM时，M是AB的垂直平分线与抛物线对称轴的交点，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，与A
25、B交于点F，由题意可知EFy轴，E是OA的中点，F是AB的中点AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是F，此时不能形成三角形当ABBM时，()2(10m)2AB2125，解得m1，m2，M1(，)，M2(，)当ABAM时，(5)2m2AB2125，解得m3，m4，M3(，)，M4(，)综上所述，存在符合要求的点M共有4个，分别是M1(，)，M2(，)，M3(，)，M4(，)10(2016武汉)抛物线yax2c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方(1)如图1，若P(1，3)、B(4，0)求该抛物线的解析式；若D是抛物线上一点，满足DPOPOB，求点D的坐标；(2)如图
26、2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由图1图2解：(1)将P(1，3)，B(4，0)代入，得解得抛物线的解析式为yx2.有两种可能，.当点D在P点左侧时，DPOPOB，PDOB，点P与点D关于y轴对称，那么此时点D的坐标为(1，3)；.当点D在点P的右侧时，延长PD交x轴于点Q，DPOPOB，QOQP.设Q(m，0)，OQQPm.过P作PFx轴于F，P(1，3)，PF3，FQm1.32(m1)2m2，解得m5.Q(5，0)又P(1，3)，直线PQ的解析式为yx.联立直线与抛物线的解析式，得解得x1，x21(与P点重合，舍去
27、)点D的坐标为(，)，综上所述，点D的坐标为(1，3)或(，)(2)是定值，不妨设B(b，0)，则A(b，0)，ab2c0，b2.设P(x0，y0)，y0axc，过点P作PHAB于H，APHAEO，即.OE.同理可得：BHPBOF，即.解得OF.OEOFby0()2c.又C(0，c)，OCc.2.11(2016常德)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(4，0)，与y轴交于C(0，2)(1)求抛物线的解析式；(2)H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当PBH与AOC相似时，求符合条件的P点的坐标(求出两点即可)；(3)过点C作CDAB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点
28、，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且BMEBDC，当CN的值最大时，求点E的坐标解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc，把A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得解得则抛物线的解析式为yx2x2.(2)在RtAOC中，|OA|1，|OC|2，则PBH是直角三角形过点H作HFBH交x轴于点F，易证RtFOHRtHOB，解得OF1，点F的坐标为(1，0)，即点F与点A重合设直线HF的解析式为ykxb，把点F(1，0)和点H(0，2)的坐标代入ykxb，得解得直线HF的解析式为y2x2.解方程2x2x2x2，得x11，x28，把x11，x28分别代入y2x2，得y10
29、，y218，直线y2x2与抛物线yx2x2的交点为(1，0)和(8，18)，而点(1，0)就是A点，显然AOHAOC.设点(8，18)为G，过点G作GLy轴于点L，GL8，HL16，HG8，又HB2，.RtBHG与RtAOC不相似过点B作BKBH，则BKHF，可设BK解析式为y2xb，把B(4，0)的坐标代入，得b8，BK解析式为y2x8.解方程2x8x2x2，得x13，x24.把x13，x24分别代入y2x8，得y12，y20，直线y2x8与抛物线yx2x2的交点为(3，2)和(4，0)设点(3，2)为K，过点K作KQx轴于点Q，BK，KBHAOC.综上所述，P点的坐标为(1，0)或(3，2
30、)(3)BMCDBMBDC，即BMECMEDBMBDC.来源:学。科。网Z。X。X。K又BMEBDC，CMEDBM.由抛物线的轴对称可知MCNMDB，CMNDBM.，.CNCM(3CM)(CM)2.当CM时，CN有最大值为，AN.CDAB，ANECNM.，AECM，OEOAAE1.E点的坐标为(，0)当CN的值最大时，点E的坐标为(，0)来源:Zxxk.Com专题五压轴题突破命题规律：压轴题是初中数学知识覆盖面最广、综合性最强的题型，常见的压轴题型有三类：函数型压轴题、几何型压轴题、代数与几何知识综合型压轴题，青海(西宁)五年中考的压轴题主要是代数与几何知识综合型压轴题命题预测：预计2017年
31、青海(西宁)压轴题仍然是代数与几何的综合类型 最值问题(面积、线段、周长的最值问题)来源:学科网ZXXK【例1】如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，顶点为D，连接AC，BC.(1)求抛物线的解析式；(2)求点C、D的坐标；(3)求ABC的周长；(4)在对称轴找一点P，使得PAPC最短，求出此时点P的坐标，并计算PAPC的最小值；来源:Zxxk.Com(5)如图，若E为B，C两点间抛物线上的一个动点(不与B，C重合)，过E作EFx轴，交BC于F，设E点横坐标为x，EF的长度为l，求l与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(6)在(5)的条件下，线段
32、EF的长度是否存在最大值？若存在，求出此时E点的坐标？若不存在，请说明理由；(7)如图，点M(m，0)是线段OB(含两端点)上的一个动点，CMDM是否存在最小值和最大值？若存在，请分别求出m的值；若不存在，请说明理由,图) ,图) ,图) 【学生解答】解：(1)yx22x3；(2)C(0，3)，D(1，4)；(3)43；(4)P(1，2)；PAPC最小值为3；(5)lx33x(3x0)；(6)E(，)；(7)m时，有最小值；m3时，有最大值来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com1(2012青海中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，
33、B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，点P是直线BC下方抛物线上一动点来源:学+科+网Z+X+X+K(1)求这个二次函数的解析式；(2)连接PO，PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形PCPC为菱形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积解：(1)将B、G两点的坐标代入得解得yx22x3；(2)P(，)；(3)当点P为(，)，四边形ABPC的面积最大，最大值为.二次函数与相似三角形【例2】(2013青海中考)如图，已知抛物线经过点A(2
34、，0)，B(3，3)及原点O，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3)P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PMx轴垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【学生解答】(1)图象过原点O，即c0，设抛物线解析式为yax2bx(a0)，图象过点A(2，0)，B(3，3)，得解得a1，b2，该二次函数解析式为yx22x；(2)符合条件的点D共有三个，分别为D1(1，3)，D2(3，3)，D3(1，1)；(3)存在符合条件
35、的点P共有两个，分别为P1(，)，P2(3，15)2(2014西宁中考)如图，抛物线yx2x2交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，分别过点B、C作y轴、x轴的平行线，两平行线交于点D，将BDC绕点C逆时针旋转，使得D旋转到y轴上，得到FEC，连接BF.(1)求点B、C所在直线的函数解析式；(2)求BCF的面积；(3)在线段BC上是否存在点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，x2x20，解得x12，x24，点A、B的坐标分别为(2，0)，(4，0)当x0时，y2，C点坐标为(0，2)设直线BC的解析式
36、为ykxb(k0)，则解得直线BC的解析式为yx2；(2)CDx轴，BDy轴，ECD90，点B、C的坐标分别为(4，0)，(0，2)，BC2，EFC是由DBC绕点C逆时针旋转得到，FCBECD90，FCBC2，SBCFBCFC2210; (3)满足条件的P点坐标为(2，1)或(，)来源:Zxxk.Com二次函数与特殊三角形、特殊四边形的判定来源:学,科,网Z,X,X,K【例3】(2015青海中考)如图，二次函数yax2bx3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.来源:学科网ZXXK(1)求该抛物线的解析式；(2)判断BCM的形状，并说明理由；(3)
37、探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【学生解答】解：将A(1，0)，B(3，0)代入二次函数yax2bx3得解得抛物线的解析式为yx22x3；(2)yx22x3(x1)24，点M的坐标为(1，4)，C点坐标为(0，3)，BC3，CM，BM2，BC2CM2BM2，BCM为直角三角形；(3)存在P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，)来源:学科网3(2016西宁中考)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形，点A，B在x轴上，MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直
38、，交M于点E，垂足为点M，且点D平分.(1)求过A、B、E三点的抛物线的解析式；(2)求证：四边形AMCD是菱形；(3)请问在抛物线上是否存在一点P，使得ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由来源:Z.xx.k.Com解：(1)由题意知A(3，0)，B(1，0)，E(1，2)，设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，将A，B，E三点坐标代入得解得yx2x；(2)连接MD，MBC是等边三角形，CMB60，CMA120，点D平分，DM平分CMA，CMDAMD60，又MAMDMC，DAM和DCM是等边三角形，ADAMDMCDCM，故四边形AMCD是菱形；(3)
39、存在设点P的坐标为(a，b)，则SABPAB|b|4|b|2|b|，若要ABP的面积为5，则可令2|b|5，即b，由(1)知，抛物线顶点E的坐标为(1，2)，故b(舍去)，当b时，将点P(a，)代入抛物线中得，a2a，解得a12，a24，即点P的坐标为(2，)或(4，)，故抛物线上存在点P的坐标为(2，)或(4，)，使得ABP的面积等于定值5.类型1探究线段的数量关系及最值问题1(2014玉林)给定直线l：ykx，抛物线C：yax2bx1.(1)当b1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；(2)若把直线l向上平移k21个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点求此抛物线的解析式；若P是此抛物线上任一点，过点P作PQy轴且与直线y2交于点Q，O为原点求证：OPPQ.解：(1)l：ykx，C：yax2bx1，当b1时有A，B两交点，A，B两点的横坐标满足kxax2x1，即ax2(1k)x10.B与A关于原点对称，0xAxB，k1.yax2x1a(x)21，顶点(，1)在yx上，
