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1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念2.样本空间、随机事件1 .事件间的关系AUB则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生ADB=xxA或xcB称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件ADB发生ACB=xxA且xB称为事件A与事件B的积事件，指当A,B同时发生时，事件ACB发生AB=xxARx史B称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A-B发生ACB=,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基木事件是两两互不相容的ADB=S且AC3=。，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2
2、 .运算规则交换律AkJ3=3DAAnB=BoA结合律(ADB)DC=AD(8DC)(ACS)C=A(BCC)分配律AU(BCC)=(AUB)C(ADC)An(BuC)=(AnB)(AnC)德摩根律4uB=XcBAoB=AkjB3 3.频率与概率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数A称为事件A发生的频数，比值a/称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件的概率1 .概率P(A)满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件A0P(A)1(2)规范性：对于必然事件SP(S)=I(3)可列可加性：设
3、A，4,4是两两互不相容的事件，有P(UAa)=P(At)A=IJl=I可以取Oo)2 .概率的一些重要性质：(i)尸(。)=0(ii)若A，4,A”是两两互不相容的事件，则有P(OAD=/(&)(可以取8)A=IJt=I(iii)设A,B是两个事件若AuB,则P(8-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)(iv)对于任意事件A,P(A)1(V)P(A)=1-P(A)(逆事件的概率)(vi)对于任意事件A,B有P(ADB)=P(A)+P(8)-P(AB)4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即A=.U与U
4、Uq，里ipi，i是12n中某攵个不同的数，则有P(A)NP心1.A包含的基本事件数()-Vbz2-S中基本事件的总数5 .条件概率(1)定义：设A,B是两个事件，且尸(A)0,称P(BlA)=生竺2为事件A发生的P(A)条件下事件B发生.的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性：对于某一事件B,有P(8A)02规范性：对于必然事件S,P(SIA)=I3可列可加性：设用,当,是两两互不相容的事件，则有P(jBiA)=P(BlA)I=II=I(3) 乘法定理设P(A)0,则有尸(AB)=P(8)P(AlB)称为乘法公式(4) 全概率公式：P(A)=ZP(Bj)P(AIBj)i=
5、贝叶斯公式：)=f(A)S).p(g)P(A|g)i=6 .独立性定义设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立定理一设A,B是两事件，且P(A)0,若A,B相互独立，则尸(51A)=P(B)定理二若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B,A与B,A与B第二章随机变量及其分布 1随机变量定义设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量 2离散性随机变量及其分布律1 .离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量P(X=Xk)=P
6、k满足如下两个条件(1)PkN，(2)EPk=Ik=l2 .三种重要的离散型随机变量(1) (O-I)分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是P(X=k)=pk(l-p),k,k=0,l(0pl),则称X服从以P为参数的(01)分布或两点分布。(2)伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果：A与A,则称E为伯努利实验.设P(A)=p(0p0是常数，贝U称X服从参数为4的泊松分布记k!为X%(2)3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量，X是任意实数，函数F(X)=PXx,-x称为X的分布函数分布函数尸(X)=P(Xx),具有以下性质(1)尸(X)是一个不减函数(2)0F(x)1,
7、且产(Yo)=O,/(8)=1(3)尸(x+0)=户(X),即F(X)是右连续的4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数/(x),使对于任意函数X有F(x)=(t)dt,则称X为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度1概率密度/*)具有以下性质，满足(1)/(x)0,(2)7(x)dr=l:(3)P(x1Xx2)=f2fxdx,(4)若/(x)在点X处连续，则有F，()=f(x)Jxl2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布1,若连续性随机变量X具有概率密度/(x)=baax”其中e0为常数，则称0,其他X服
8、从参数为6的指数分布。(3)正态分布若连续型随机变量X的概率密度为/*)=-jeF,-oo戈0)为常数，则称X服从参数为，。的正态分布或高斯分布，记为XN(，2)特别，当=O,b=1时称随机变量X服从标准正态分布5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度Aa),-8VXV8,又设函数g(x)处处可导且恒有g(x)O,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为f(V)=IAb(y)(y),ayO,则称PX=Wy = yJ =p=z,y=匕二Pij . Pyyj-F=1,2,为在y=无条件下随机变量X的条件分布律，同样IPX=xi,Y=y.piiP=y=j=_一-=J=12为在X=Xi条
9、件下随机变量X1 PX=玉Pi.的条件分布律。设二维离散型随机变量(X,Y)的概率密度为7(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为y(y),若对于固定的y,43)0，则称坐?为在Y=y的条件下(y)X的条件概率密度，记为y(Xy)二坐飞J(y)4相互独立的随机变量定义设F(x,y)及FXa),耳(y)分别是二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有PX=冗,丫=y=PXRPYy,即Fx,y=Fx(x)F(y),则称随机变量X和Y是相互独立的。对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数P=O5两个随机变量的函数的分布1, Z=X+Y的分布设(
10、X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度/(%).则2=乂+丫仍为连续性随机变量，其概率密度为+(z)=L,(z-y,y)dy或x+r(z)=z/(x,z-x)dx又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为(x),r(y)则fx+y(z)=L(z-y)(y)dy和/x+y(z)=/X(X)力(Z-X)山;这两个公式称为FXJy的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布V2, Z=的分布、Z=XK勺分布XY设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度*,y),则Z=q,Z=XYA仍为连续性随机变量其概率密度分别为6/x(Z)=f(xixz)dxxy(
11、z)=Jf(x,)否又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分J-RIxIX别为f(X)Jy(y)则可化为f(Z)=LfXMfy(XZMX11zf(Z)=LHxW(-)3M=maxX,Y及N=inX,Y的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(X),4(y)由于M=maxX,Y不大于Z等价于X和Y都不大于Z故有PMz=PXz,Yz又由于X和Y相互独立，得到M=maxX,Y的分布函数为FmaX(Z)=FX(Z)K(Z)N=minX,丫的分布函数为Fm.m(z)=l-l-Fx(Z)IlF(z)第四章随机变量的数字特征1.数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为P
12、X=xj=p&,k=l,2,若级数次SPR绝*=1对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=EXkPki殳连续型随机变量X的概率密度为/(),若积分MXxMx绝对收敛，则称J-OO积分XfMdx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即E(X)=CxfMdxJ-OOJ-OO定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)(i)如果X是离散型随机变量，它的分布律为PX=Xk=,k=l,2,若g(4)pJt=IOO绝对收敛则有E(Y)=E(g(X)=g(x，Pk=(ii)如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为/(x),若,g(x)(x)公绝对收敛则有E(Y)=
13、E(g(X)=g(x)f(x)dxJ一笛数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有E(C)=C2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)3设X,Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)i4设X,Y是相互独立的随机变量，则有E(Xy)=E(X)E(Y)2方差定义设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)即D(X)=EX-S(X)2,在应用上还引入量JDK),记为ba),称为标准差或均方差。D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)-(EX)2方差的几个重要性质1设C是常数，则有0(0=0,2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX
14、)=C2)(X),D(X+C)=D(X)3设X,Y是两个随机变量，则有D(X+D=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别，若X,Y相互独立，则有ZXX+Y)=O(X)+O(Y)4D(X)=O的充要条件是X以概率1取常数E(X),即PX=E(X)=1切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=(乂)-4丫)称为随机变量乂与Y的协方差为CoU(X,丫)，即Cov(X9Y)=El(X-E,(X)(y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)而PXY二产(XY)-称为随机变量X和Y的相关系数D(X)D(Y)对于任意两个随机变量X和Y,D(X+K)=D(X)+D(Y)+2Cov(X
15、,Y)协方差具有下述性质1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X),CovaX,bY)=abCov(XyY)2 Cov(Xl+X2,Y)=CoV(Xl,Y)+CoMX2,丫)定理1Kl2I0y=l的充要条件是，存在常数a,b使PY=a+bx=当PXY=O时，称X和Y不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布0pP=幻=PA(I-P)T,攵=0,1,PP(I-P)二项式分布n0p02keP(X=Z)=-77-M=0,1,2,k几何分布OVPVlP(X=Q=(I-P)Ip,k=,2,PI-PP2均匀分布ab1fC,、,ax0、e-xl,x0f(X)=0,其他O2正态分布
16、0f(x)=-e2/y22第五章大数定律与中心极限定理1.大数定律弱大数定理(辛欣大数定理)设XLX2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望E(Xa)=4(%=12).作前n个变量的算术平均LWX一则对于任意A=I0,有IimPXjt-e=1定义设匕打,工是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数,有limPj-6f=l,则称序列匕,匕,，依概率收敛于a,记为工0伯努利大数定理设人是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数O,有IimP4一pQZ=1,2记3二f/2=定理三(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量%(=1,2,)服从参数为p(0p1)的二项分布，则对任意X,有IimP生一竺一x=-=e-12f2dt=(x)“T8ynp(-p)JrJ2%
