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1、襄阳四中2017届高三理科数学复习讲义三导数与定积分（命题人：赵永志）一、 选择题：115设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】试题分析：由已知得： ，令，得：，知：曲线是以坐标原点为圆心，1为半径的圆处在x轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：，又，。故选A2已知函数.若,对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：对任意，存在，使，在上单调递增，在上单调递减，则，则，故选A.【方法点睛】本题主要考查、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转
2、化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1）只需；（2），只需；（3），只需；（4），.3函数，若不等式有解,则实数的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：有解，分离参数得，令，令，解得，故.【思路点晴】有解，分离参数得，令，利用导数可以求得函数的单调区间、极值和最值.由此求得.恒成立问题往往有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接讨论法，但是直接讨论往往比较复杂.4已知是定义在R上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是( )A. 当时，0； 当时， B. 当时，； 当时，C. 对于任意R,0 D. 对于任意R,0【答案】D【解析】试题分析：，是
3、定义在上的减函数，函数在上单调递减，当时，故；当时，故；又当时，又，所以，所以对任意成立，故选：D【思路点睛】本题考查了导数的综合应用，关键在于构造函，由题意可得，结合函数的单调性，从而可判断当或时，结合为减函数可得结论5如图是函数的大致图象,则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据函数的图象的根为，所以，所以，所以的两个根为和，所以，所以，所以，因为是方程的两根，所以，所以，故选C.考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象的根
4、为，求出函数的解析式，再利用是方程的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.6已知函数,设两曲线与有公共点,且在该点处的切线相同，则时, 实数的最大值是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由题意得，函数的导数分别为，由于两曲线与有公共点，设，则，由于，则，因此，构造函数，所以，当时，即单调递增，当时，即单调递减，则，即为实数的最大值.考点：利用导数判定函数的单调性；利用导数求解函数的极值与最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性、利用导数求解函数的极值与最值，考查了导数的综合应用，同时涉及
5、到导数的几何意义，函数在欧典出的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，着重考查了分离参数法和函数的构造思想，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.7定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由可得，即，令，则，即，所以且，即且，所以函数是增函数且函数是减函数，即是增函数且函数是减函数，所以且，即且，故应选B.考点：导数及运算【易错点晴】本题以不等式的形式为背景考查的是导数的知识的综合运用.解答本题的难点是如何建立两个函数值的表达式.本题在解答时借助题设的不等式，运用巧妙变形进行构造函数，进而通过构造的函数进
6、行合理有效的变形得到两个单调函数和函数，即和函数.最后借助单调性使得问题简捷巧妙获解.8已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（ ）A4 B4或-3 C-3或-1 D-3【答案】B【解析】试题分析：设，由得，由题意，因为，则有把代入得，由题意都是此方程的解，即，化简为，把代入并化简得，即，当时，两式相同，说明，舍去所以故选B【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，设切点坐标为，第一由这两点处切线平行可得出，第二，两点是直线与函数图象的交点，因此有是联立后的方程的解，下面是关键的一步，由（1）知都是这个方程的解，因此可代入后两式比较从而得出只含有的方程，可解出值，代入检验是我们都
7、容易忘记的，是易错点，解题时要注意9如果函数满足：对于任意的，都有恒成立，则的取值范围是A B C D【答案】C【解析】试题分析：因,故（1）当时,即时,.若,此时,即,也即时,则有,解得,所以;若,则,即时,则有,即,令,则,因,故,函数单调递减,所以,即不等式恒成立,所以；若,显然成立；所以.（2）当,即时,函数在上单调递减,则,即.综上所求实数的取值范围是或,即,也即.故应选C.【易错点晴】本题设置的是一道已知函数在对于任意的，都有有恒成立的前提下求参数的取值范围问题.解答时要先运用导数将函数的导数求出,然后再运用分类整合的数学思想进行分类求解.求解时先对实数的绝对值进行分类讨论.讨论的
8、标准是与的关系进行展开,共分两大类:即分为和两大类进行讨论,最后再 将所求参数的范围进行整合,这是必须要注意的问题,也是容易出错的地方.整个求解过程体现了转化与化归、分类与整合的数学思想和数形结合的思想.10设函数，若对恒成立（其中是自然对数的底数），则的取值范围是（ ）A. B（-1,0） C D【答案】A【解析】试题分析：当时,故函数在上单调递减；当时,故当时,函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减.故在上函数取最大值.而当时，设,可得，故不等式可化为,即不等式在恒成立，令，也即不等式在上恒成立。当对称轴时,只需，即时不等式恒成立;当时，只需，但这不可能；当时，则只需，这也不可能.所以综
9、上实数的取值范围是,应选A。考点：导数和函数的图象及性质等有关知识的综合运用。【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点。解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数的分类求其导数，借助导数与函数的单调性的关系从细微的角度研究函数的图象和性质.搞清函数的图象的大概形状，从而将不等式化为,再借助函数的的图象,将问题进一步转化为几不等式在恒成立问题,然后分类求出满足题设条件的实数的取值范围,从而使得问题获解。二、填空题：1119若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围 【答案】【解析】试题分析：函数的定义域为，令
10、，解得或（不在定义域内舍），所以要使函数在子区间内存在极值等价于，即，解得，答案为12已知函数（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e,1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：当时，,则过的切线斜率为故切线方程为，与联立后应该有两组解，即消元得到的有两个的实数解，即，解得，故答案为.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、图象及性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，
11、大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点.本题是通过切线与有一个交点，与有两个交点（转化为方程有两个根）解答的.1327若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：若函数与图象上存在关于轴对称的点，则等价为，在时，方程有解，即即在上有解，令，则在其定义域上是增函数，且时，若时，时， 故在上有解，若时，则在上有解可化为：即，故综上所述， 【名师点睛】本题考查函数与方程的应用，属难题.解题时根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大考点：定积分的计算及其性质
12、.14设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：设曲线上的切点为,曲线上一点为.因,故直线的斜率分别为,由于,因此,即,也即.又因为,所以,由于存在使得,因此且,所以,所以.考点：导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二
13、是将存在问题当做任意问题来处理.15已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】.【解析】试题分析：当时，则函数的导数，且恒成立，由解得，即，此时函数单调递增，由解得，即，此时函数单调递减，若在区间上单调递增，则，解得，即当时，在区间上单调递增，满足条件当时，在单调递增，令，则，则在为减函数，在上为增函数则，解得综上，实数的取值范围是，故答案为：.16已知函数，若对任意的，恒有成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：，设，由知，的对称轴为，因此时，即，故在上递增，故，因此不等式恒成立，即，即，所以三、解答题：17已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）（1）求实
14、数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围【解析】（1）对求导得，设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1。（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得，当时，恒成立当时，从而在上恒成立，故在上单调递减 ，又曲线 在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使；，从而，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立 当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：30极小值，故“在上恒成立”只需，即 当时，当时，在上恒成立，综合知，当时，函数为增函数 故实数的取值范围是。18函数其图像与轴交于两点，且.（1）求的取值范围
15、；（2）证明：；（为的导函数；）（3）设点C在函数图像上，且ABC为等腰直角三角形，记求的值.【解析】（1）， ，若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾，令，则，当时，单调减，当时，是单调增函数，于是当时，取得极小值，函数的图象与轴交于两点，即，此时，存在，存在， =a33alna+a，又由在及上的单调性及曲线在上不间断，可知为所求取值范围（2），两式相减得记（），则，设则，是单调减函数，则有，而，又是单调增函数，且 （3）依题意有，则,于是，在等腰三角形，显然，即，由直角三角形斜边的中线性质，可知，即，即，则，又，即，19.已知函数在上是奇函数（1）求；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值
16、范围；（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围【解析】（1）因为，所以所以（2）， 所以，即 （3）因为，即，所以（*）因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个根，令，则方程（*）变为 有且只有一个正根，方程有且只有一个根且是正根，则所以，当时，方程的根为满足题意；当时，方程的根为不满足题意方程有一正根一负根，则，所以方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意，综上，的范围为或20已知函数，函数在处的切线与直线垂直.（）求实数的值；（）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.【解析】（）由导数几何意义得，求出导数，代入解得（）函数存在单调递减区间，等价于在上有解，求出导函数化简不等式得在上有解，最后根据二次方程实根分布得充要条件，解得b的取值范围是.（）先根据是函数的两个极值点，即是两个根，得，再化简，消参数b得，再令得，解得，由解出函数定义域：，可得，最后利用导数求函数最值试题解析：（），. 与直线垂直， . （）由题知在上有解，设，则，所以只需故b的取值范围是. （）令 得，由题，则 ，所以令，又，所以， 所以整理有，解得， ，所以在单调递减，故的最小值是 。
