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1、高二物理教案集（复习课）第八讲 带电质点在电磁场中的运动【知识要点一】带电质点在匀强磁场中的运动一、圆心的确定矩形磁场圆形磁场BOvvOvvOB1已知入射点的速度方向和弦2已知圆轨道的半径和弦3已知入射点的速度方向和临界条件小结：确定轨迹的圆心，需要上述两个条件，在入射点的速度、弦、半径、偏转角和临界条件中五选二二、几何关系建立1角度：偏转角=圆心角=2倍的弦切角，即2长度：；BvCDEFd3时间：【例1】（矩形有界磁场）如图所示，真空中狭长形的区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向内，区域的宽度为d，CD、EF为区域的边界现有一束电子（质量为m，电荷量为e）以速率v从边界CD一
2、侧垂直于磁场且与CD成角射入，为使电子不能从另一侧边界EF射出电子的重力不计求：（1）电子的速率v应满足什么条件？（2）电子在磁场中运动的最长时间是多少？BCDEFdvORR【解析】（1）电子的速率v越大，其轨道半径越大，故电子不能从另一侧边界EF射出时运动轨迹应与边界EF相切，如图所示由图中几何关系可得：，又解得则电子的速率v应满足（2）电子速率小于vm时，其运动时间都相等，且运动时间为【例2】（圆形有界磁场）CAyxOBv在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿x方向
3、射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿y方向飞出（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；CAyxOBvO1R（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60角，求磁感应强度B多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？【解析】（1）根据粒子的偏转情况，利用左手定则可知，该粒子带负电荷如图所示，粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了900，则粒子的轨迹半径R=r由牛顿第二定律得：则粒子的比荷DCAyxOBvO2vR30（2）如图粒子从D点飞出磁场速度方向改变了600角，故AD弧所
4、对的圆心角为600，粒子做圆周运动的半径又，所以粒子在磁场中飞行的时间30vLPyxOv【例3】（磁偏逆向问题）一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为L，如图所示不计重力的影响求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R【解析】粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，则由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于
5、Q点作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示30vPyxOvLrrCRAQ由图中几何关系得：L3r由求得图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得【知识要点二】带电质点在组合场中的运动一、两种偏转的比较L磁偏转BOvvQPRR电偏转v0vEL1运动性质：磁偏转：匀速圆周运动；电偏转：类平抛运动2处理方法：磁偏转：确定圆心画出轨迹；电偏转：先分解后合成3偏转角和运动时间：磁偏转：，；电偏转：，二、典型应用1质谱仪；2回旋加速器P3yxOP1P2【例4】（突出圆心的确定）如图所示，在y0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方
6、向；在y0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上yh处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y处的P3点不计重力求：（1）电场强度的大小；（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；（3）磁感应强度的大小【解析】（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式，有qEmav0t2h由式解得（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大
7、小，表示速度和x轴的夹角，则有由式得v1v0由式得（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，有r是圆周的半径此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3因为OP2OP3，45，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得r由可得【例5】（突出电磁偏转的区别）PQ空间中存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一带电量为q、质量为m的粒子，在P点以某一初速开始运动，初速方向在图中纸面内如图中P点箭头所示该粒子运动到图中Q点时速度方向与P点时速度方向垂直，如图中Q点箭头所示已知P、Q间的距离为l若保持粒子在P点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强
8、电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P点时速度方向垂直，在此电场作用下粒子也由P点运动到Q点不计重力求：（1）电场强度的大小（2）两种情况中粒子由P运动到Q点所经历的时间之差【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，以v0表示粒子在P点的初速度，R表示圆周的半径，则有qv0Bm由于粒子在Q点的速度垂直它在P点时的速度，可知粒子由P点到Q点的轨迹为1/4圆周，故有以E表示电场强度的大小，a表示粒子在电场中加速度的大小，tE表示粒子在电场中由P点运动到Q点经过的时间，则有qEmaRv0tE由以上各式解得（2）因粒子在磁场中由P点运动到Q点的轨迹为1/4圆周，故运动经历的时间tE为圆周运动周期T的1/
9、4，即有tET/4而由和式得由两式得【例6】（多次电加速和磁偏转）如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝的s点出发，初速为零如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点s，则两电极之间的电压应是多少?（不计重力，整个装置在真空中）【解析】带电粒子从s出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动粒子
10、再回到s点的条件是能沿径向穿过狭缝b，只要穿过了b，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经b重新进入磁场区，然后，粒子将以同样方式经过c、d，再经过a回到s点设粒子射入磁场区的速度为，根据动能定理，有设粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力公式和牛顿定律得由以上分析可知，要回到s点，粒子从a到b必经过圆周，所以半径必定等于筒的外半径，即由以上各式解得【知识要点三】带电质点在复合场中的运动一、运动性质和受力特点1直线运动所受场力的合力为零或合力方向与速度方向共线2匀速圆周运动重力与电场力平衡，只由洛伦兹力f提供向心力3变加速曲线运动非圆非抛物线，洛伦兹力是变力，其大小和方向
11、随速度的大小和方向而变化二、典型应用1速度选择器； 2电磁流量计； 3磁流体发电机【典例剖析】【例7】（两种场中的直线运动）在图中虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场取坐标如图一带电粒子沿x轴正方向进入此区域，在穿过次区域的过程中运动方向始终不发生偏转不计重力的影响，电场强度E和磁感应强度B的方向可能是OzyxAE和B都沿x轴方向BE沿y轴正向，B沿z轴正向CE沿z轴正向，B沿y轴正向DE、B都沿z轴方向【解析】（1）运动方向不发生偏转，说明粒子沿x轴正方向做直线运动，可能是匀速直线运动，可能是匀加速直线运动，还可能是匀减速直线运动。（2）若E和B都沿x轴方向，则粒子不受磁场力作用，只在电场力
12、作用下做匀变速直线运动，可能。（3）若E沿y轴正向，B沿z轴正向，则粒子受到的电场力与洛伦兹力方向相反，且与运动方向垂直，当电场力与洛伦兹力平衡时，粒子做匀速直线运动，可能。同理，可判断C、D不可能。【答案】AB【例8】（电磁流量计）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面当
13、导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R的电流表的两端连接，I表示测得的电流值已知流体的电阻率为，不计电流表的内阻，则可求得流量为A BC D【解析】（1）求电动势：导电流体中的正、负离子在洛伦兹力的作用下分别向上、下两表面偏转，使上、下两表面间产生一定的电势差。当洛伦兹力与电场力平衡时，电势差稳定。此时，有：，则电势差（2）求流体的内阻：根据电阻定律，（3）求流体的速度：根据闭合电路欧姆定律，则（4）求流量：根据流量的定义，【答案】A【例9】（速度选择器的应用）有人设想用如图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子粒子在电离室中电离后带正电，电量与其
14、表面积成正比电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域，其中磁场的磁感应强度大小为B，方向如图收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0，刚好能沿O1O3直线射入收集室不计纳米粒子重力（）（1）试求图中区域II的电场强度；（2）试求半径为r的粒子通过O2时的速率；（3）讨论半径rr0的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转【解析】（1）设半径为r0的粒子加速后的速度为v0，根据动能定理，有：，解得设区域内电场强度为E，半径为r0的粒子沿O1O3直线匀速穿过区域II，则，电场强度方向
15、竖直向上（2）设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v，则由得（3）半径为r的粒子，在刚进入区域时受到的合力为由可知，当rr0时，vv0，F合0，粒子会向上极板偏转；rr0时，vv0，F合0，粒子会向下极板偏转【课后练习】1目前，世界上正在研究一种新型发电机叫磁流体发电机如图所示，表示了它的原理：将一束等离子体喷射入磁场，在场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，产生电压.如果射入的等离子体速度均为v，两金属板的板长为L，板间距离为d，板平面的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，电离气体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示
16、数为I，那么板间电离气体的电阻率为ABCD【解析】（1）求电动势：等离子体中的正、负离子在洛伦兹力的作用下分别向A、B两块金属板偏转，使两金属板间产生一定的电势差。当洛伦兹力与电场力平衡时，电势差稳定。此时，有：，则电势差（2）求流体的内阻：根据电阻定律，（3）求电离气体的电阻率：根据闭合电路欧姆定律，则Ox y z【答案】A2在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz（z轴正方向竖直向上），如图所示已知电场方向沿z轴正方向，场强大小为E；磁场方向沿y轴正方向，磁感应强度的大小为B；重力加速度为g问：一质量为m、带电量为q的从原点出发的质点能否在坐标轴（x，y，z）上以速度v做匀
17、速运动？若能，m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系？若不能，说明理由【解析】（1）依题意可知：带电质点受到的电场力为qE，方向沿z轴正方向；质点受到的重力为mg，沿z轴的负方向（2）假设质点在x轴上做匀速运动，则它的洛伦兹力必沿z轴正方向（当v沿x轴正方向）或沿z轴负方向（当v沿x轴负方向），要质点做匀速运动，分别有：qvBqE=mg或qE=qvBmg（3）假设质点在y轴上做匀速运动，即无论沿y轴正方向还是负方向，洛伦兹力都为0，要质点做匀速运动，必有：qE=mg（4）假设质点在z轴上做匀速运动，则它受的洛伦兹力必平行于x轴，而电场力和重力都平行于z轴，三力的合力不可能为0，与假设矛盾，故质
18、点不可能在z轴上做匀速运动21LLR1.5R2PL1B1L3图中虚线为相邻两个匀强磁场区域1和2的边界，磁场的方向都垂直于纸面向里区域1的磁感应强度大小为B，区域2的磁感应强度大小为两个区域的宽度都为L一质量为m、电量为+q的粒子，沿垂直于区域1的边界的反方向，从区域1的边界上的P点射入区域1并进入区域2最后恰未能穿出区域2不计粒子的重力求此带电粒子的速度【解析】带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示由洛伦兹力公式和牛顿第二定律可得，则故带电粒子在区域2中的轨道半径应是区域1中的轨道半径的1.5倍由图中的几何关系可得，解得联立解得4如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
19、；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E一质量为m，电量为q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）【解析】粒子运动轨迹如图所示，由图可知L4R粒子初速度为v，则有由两式解得设粒子进入电场作减速运动的最大距离为l，加速度大小为a，则粒子运动的总路程Ocdb30va联立式解得5如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线一带电粒子从ad边的中点O与ad边成=30角且垂直于磁场方向射入若该带电粒子所带电荷量为q，质量为m（重力不计），则该带电粒子在磁场中飞行的最
20、长时间为多少？若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足什么条件？【解析】带电粒子的入射速度越大，其轨道半径越大，当速度为某一临界值时，轨迹与上边界相切如图所示，速度小于等于这一临界值，带电粒子运动的时间最长cdb30vOaRR由几何关系可得又，则所以，要粒子飞行时间最长，应有MNSm、eOr6平行金属板M、N间距离为d其上有一内壁光滑的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B电子与孔S及圆心O在同一直线上M板内侧中点处有一质量为m，电荷量为e的电子，电子由静止释放后，经过M、N间电压为U的电场加速射入圆筒，在电子绕行一周与圆筒内壁碰撞n
21、次后，恰好沿原路返回到出发点（不计电子重力，设碰撞过程中无动能损失）求：（1）电子到达小孔S时的速度大小v；（2）电子第一次返回出发点所需的时间t；（3）圆筒的半径r【解析】（1）设电子经电场加速后获得的速度为v，根据动能定理，有，解得（2）设电子从M到N所需时间为t1，则，解得电子在磁场做圆周运动的周期如图所示，电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，每段圆弧对应的圆心角MNSm eOr对应的运动时间设在磁场内运动的时间为t2，则，联立解得电子开始运动后到第一次返回出发点所经历的时间）（3）设电子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，则由几何关系可得：将、R代入上式解得7如图所示，在足够大的空间范围内，
22、同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B1.57T小球1带正电，其电量与质量之比q1/m14C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上小球1向右以v023.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75s再次相碰设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内（取g10m/s2）问：（1）电场强度E的大小是多少？（2）两小球的质量之比m2/m1是多少？【解析】（1）依题意知，小球1所受的重力与电场力始终平衡，则m1gq1E，解得E2.5N/C（2）相碰后小球1做匀速圆周运动，设其速率为v1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：，则半径，周期所以，到两球再次相碰所经历的时间，小球1只能逆时针经3/4个圆周时与小球2再次相碰第一次相碰后小球2做平抛运动，设其水平速度为v2，则在竖直方向上，有水平方向上，有LR1v2t解得v23.75m/s，两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向，则m1v0m1v1m2v2两小球质量之比12hgdingrh
