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1、蝴蝶定理 ABCDO我们在解决有关面积问题时，经常用到如下一个结论：在四边形ABCD中，若对角线AC、BD交于点O，则：SAODSBOC= SAOBSDOC （注：SAOD为三角形的面积，以下同）证明：设OA=m，OC=n，AOD的高为x, BOC的高为y, 则SAOD =mx SAOB=my SBOC=nx SDOC=ny SAODSBOC= SAOBSDOC=mnxy这就引导我们思考这样一个问题，四边形中的结论能否在三角形中也存在着这样的结论呢？ABCDEFO如图：在ABC中，点D、E分别是BC和AC上任意一点，连接CO并延长交AB于点F。则有以下结论成立：（1） SBODSAOC= SA
2、OBSDOC（2）SBOFSAOC= SAOFSBOC （3）SBOCSAOE= SAOBSEOC证明（1）如下：设OA=a OD=b COA的高为h1,AOB的高为h2， SAOC=ah1 SDOC=bh1 SAOB=ah2 SBOD=bh2 SBODSAOC= SAOBSDOC=abh1h2同理可证（2）（3）可以用以上结论解决三角形中一些有关面积的问题。例1：（第十七届“希望杯”全国邀请赛初一第二试22题） 如图所示，ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点。连结AO并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F。求四边形BDOF的面积。ABCDEFO解： E为AC的中点，且ABC的
3、面积为1 SABE= SCBE= 点O为BE的中点 SAOB= SAOE=SABE= SCOB= SCOE=SCBE=设BOF和BOD的面积分别是x、y则：SBOFSAOC= SAOFSBOC x(+)=(-x) 解得x=同理：y= 四边形BDOF的面积是例2：（第十四届“希望杯”全国邀请赛初一第一试25题）ABCGFDE如图，ABC的面积为25cm2，AE=ED，BD=2DC，则AEF与BDE的面积之和等于 cm2，四边形CDEF的面积等于 cm2解：连结CE并延长交AB于点G， ABC的面积为25cm2 ，BD=2DC SADC= SABC= SABD= SABC= AE=ED SAEB= SDEB=SABD= SAEC= SDEC=SADC= 设 AEF的面积为xcm2 SEFCSAEB= SAEFSBEC （-x）=x(+) 解得 x=即AEF的面积为cm2 SAEF+ SDEB=+=10（cm2） S四边形CDEF= -=（cm2）以上两到例题只是对笔者给出的结论进行了应用，其他解法这里不再一一给出。3
