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1、小学数学的思想方法丹山镇中心校陈历权,数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想既有认识论方面的内容，如数学的理论和知识；又有方法论方面的内容，如处理各种问题的意识和策略。数学方法主要是方法论方面的内容，如表示、处理各种问题的手段和途径。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想是数学的灵魂。那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。,课程标准修改稿一、总体目标通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得
2、适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。,一、符号化思想,1.符号化思想概念。数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。,2.如何理解符号化思想。第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。如在长方形上拼摆单位面积的
3、小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：Sab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。,第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的
4、形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。,第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。,3.符号化思想的具体应用。（1）数的表示、运算和关系。数字09、+、是比较早期的数学符号，便于人们计数和计算。是小学数学应用最广泛的符号。（）代数思想。代数在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。,用字母表示数。用字母表示数量关系。运算定律、公式、
5、数量关系。加法交换律:a+b=b+a 时间、速度和路程的关系:s=vt用符号表示变化规律。数列的变化规律:1,2,3,5,8,图形的变化规律,小棒的根数：y=3x+1,4符号化思想的教学。符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。教师在日常教学中要给予足够的重视，并落实到课堂教学目标中。学生只有理解和掌握了数学符号的内涵和思想，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。,二、模型思想 1.模型思想的概念。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，
6、数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。,2.模型思想的重要意义。数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信
7、息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。如上所述，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。据了解，即将颁布的课程标准修改稿与现行的课程标准相比有了较大变化，在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外
8、部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。,3.模型思想的应用。数的表示，自然数列：0,1,2,用数轴表示数用数字和图形表示规律数的运算a+b=c，ca=b,cba，abc(a0,b0)，ca=b,cba用字母表示运算定律，方程ax+b=c数量关系：时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的
9、关系用字母表示周长、面积和体积公式用图表示空间和平面结构用统计图表描述和分析各种信息用分数表示可能性的大小。,4模型思想的教学。模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处；但是模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。正是因为数学在各个领域的广泛应用，不但促进了科学和人类的进步，也使得人们对数学有了新的认识：数学不仅仅是数学家的乐园，它也不应是抽象和枯燥的代名词，它是全人类的朋友，也是广大中小学生的朋友。学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个
10、学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。,数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：(1)理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。(2)把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。(3)建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。(4)解答问题。下面结合案例做简要解析。第一，学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家和物理学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛的研究创造出来的，
11、使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律：平衡的杠杆，物体到杠杆支点的距离之比，等于两个物体重量的反比，即1：22：L1。在学习了反比例关系以后，可以利用简单的学具进行操作实验，探索杠杆定律。,第二，对于大多数人来说，在现实生活和工作中利用数学解决各种问题，基本上都是根据对现实情境的分析，利用已有的数学知识构建模型。这样的模型是已经存在并且是科学的，并不是新发明的，由学生进行再创造也几乎是不可行的；换句话说，有些模型由于难度较大或不便于探索，不必让学生再创造。如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt，利用这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际问题。但是由于这个模型比较
12、抽象，操作难度较大，因而也不适合学生进行再创造。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟，使学生能够理解模型的意义便可。,第三，应用已有的数学知识分析数量关系和空间形式，经过抽象建立模型，进而解决各种问题。学生学习了教材上的基础知识以后，利用已有知识解决新的更加复杂的各种问题，是一个富有挑战的过程，也可以是一个合作探究的过程。,案例1：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）分析：(1)本题是日常生活中常见的行程问题，问题是要求小明步行的速
13、度，是关于时间、速度和路程的问题。(2)这里需要明确所求的速度相对应的路程和时间是什么，因为取东西等时间忽略不计，因此剩余的时间就可以确定为步行的时间；路程是从家出来2分钟后开始算，再回家的路程加上从家到学校的路程的和；时间是10分钟减去2分钟，只有8分钟的时间了。(3)根据基本的关系式s=vt，可先求出s600+（60010）2720(米),t1028(分钟)。列式为：7208v。(4)v90，即小明步行的速度为90米分钟。从上面的解答过程来看，难点在于第二步中知道模型系统后相应的数量怎么准确地找出来，一定要注意题中对每一个量是怎样叙述的，有什么特殊的要求，在认真读题的基础上准确地找出来或计
14、算出来。,案例1：探索规律上海版五下P61表面积的变化,三、化归思想1.化归思想的概念。人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的
15、意义和作用。,2.化归所遵循的原则。化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。,3解决问题中的化归策略。（1）化抽象问题为直观问题。从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法；解决问题中
16、画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理；用图表进行推理；函数图像直观地表示变量间的关系；统计图表直观地表示数据。,案例：分析：此问题通过观察，可以发现一个规律：每一项都是它前一项的。但是对于小学和初中的学生来说，还没有学习等比数列求和公式。如果把一条线段看作1,先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示,这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。因此，上式的结果等于1。,（2）化繁为简的策略。有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便
17、得到解决。案例：快速口算8585，9595，105105 分析：仔细观察可以看出，此类题有些特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5。不妨从简单的数开始探索，如1515225,2525625,35351225。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85857225，95959025，10510511025，实际验证也是如此。,（3）化实际问题为特殊的数学问题。数学来源于生活，应用于生活。与小学数学有关的生活中的实际问题，多数可以用常规的小学数学知识解决
18、；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量，似乎能用常规的数学模型解决问题。但真正深入分析数量关系时，可能由于条件不全面而无法建立模型。这时，就需要超越常规思维模式，从另外的角度进行分析，找到解决问题的方法。,案例：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题，但是，由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少，无法直接计算各自的单价。认真观察，可以发现：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数，但这二者没有直接的关系，
19、如果用方程解决，也超出了一元一次方程的范围。那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢？利用二元一次方程组加减消元的思想，可以解决这类问题。不必列式推导，直接分析便可：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。,（4）化未知问题为已知问题。对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学习。如
20、平行四边形面积公式的学习，通过割补平移，把平行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略，在数学学习中非常常见。百分数问题转化为分数问题举例。,案例：六上P69例题3：某小区的房价(平均价)原来是每平方米4200元，现上涨了。(1)现在的售价为每平方米多少元？(2)买房还需交纳总房价的的契税。一套120平方米的房屋，按现在的售价购买应付多少元？解答：(1)4200(1+1/100)=4242(元)(2)1204242(1+3/200)=516675.6(元)案例2:P91练习：一商场2006年的全年销售额为210万元，比2005增长了5.6，该商场计划2007年的全年销售额的增长率比上年
21、提高一个百分点，求这个商场2007年计划的全年销售额。解答：5.6%=6.6%210(1+6.6%)=223.86(万元),案例3:2006年广州市中考题。目前广州市小学和初中在校生共有约万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的倍多万人。（）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。（）假设今年小学生每人需交杂费元，初中生每人需交杂费元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市要为此拨款多少？案例4:上海版五下P21例：小胖和小巧一共有232张邮票，小胖的邮票张数是小巧3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？,分析：上题与人教版小学五上例相比，稍复杂。,四、推理思想 1.推理思想的概念。推理是从一
22、个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。,(1)演绎推理。三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理
23、，小前提所研究的特殊情况，结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被整除，()是奇数，所以()不能被整除。选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。,假言推理，假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就
24、要否定前件。例如：如果一个数的末位是，那么这个数能被整除；这个数的末位是，所以这个数能被整除。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a；(3)传递性关系推理，ab，bc，所以ac。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。,(2)合情推理。归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对
25、象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一
26、步证明结论的可靠性。,2.推理思想的重要意义。传统的数学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的课程标准又矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。据了解，课程标准修改稿在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。人们在利用数学解决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和
27、推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数学教育的主要任务之一。,4推理思想的教学。就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。根据以上
28、课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。,第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培养与四大内
29、容领域的教学要有机地结合。推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。,案例1：计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？99分析：此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，是一个奇数，等于的平方；（）是前个奇数相加，等于的平方；（）是前个奇数相加，等于的平方；（）是前个奇数相加，通过与前面算式进行
30、类比，猜想应该等于的平方；（）,，猜想正确。那么最后的算式是前个奇数相加，等于的平方。,案例：观察下面的一组算式，你能发现什么规律？14+41=55,34+43=77,27+72=99,46+64=110,38+83=121 分析：通过观察算式，能够发现这样一些规律：所有的算式都是两位数加两位数，每个算式的两个加数中的一个加数的个位和十位数互换，变成另一个加数。再进一步观察，所有算式的得数有两位数也有三位数，它们有什么共同的规律呢？把它们分别分解质因数发现，每个数都是11的倍数。这样就可以大胆猜想并归纳结论：两个互换个位数和十位数的两位数相加，结果是11的倍数。再举例验证：57+75=1321
31、112，69+96=165=1115，初步验证猜想是正确的。那么如何进行严密的数学证明呢？可设任意一个两位数是ab(a和b是19的自然数)，那么ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)，从而证明了结论的正确。,案例：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？,分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明：因为1和2、1和4分别组成平角，所以1+2=180、1+4=180，根据加减法
32、各部分间的关系，可得 2=180-1、4=180-1，根据等量代换，可得2=4。再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。,五、方程和函数思想 1方程和函数思想的概念。方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是应用数学解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。(1)方程思想。含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。如有些小学老师经常有疑问的判断题：=0 和=1是不是方程？根据方
33、程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。,(2)函数思想。设集合、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，如果对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是的函数，记作y()。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，y叫做函数或因变量，与相对应的y的值叫做函数值，
34、y的取值范围叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：rh。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量
35、的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。,2.方程和函数的关系。(1)方程和函数的区别。从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程。算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系。方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系。函数研究变量之间的数量关系。方程和函数虽然都是表示数量关系的，但是它们有本质的区别。如二元一次不定方程中的未知数往往是常量，而一次函数中的自变量和因变量一定是变量，因此二者有本质的不同。方程必须有未知数，未知数往往是常量，而且一定用等式的形式呈现，二者缺一不可，如246。而函数至少要
36、有两个变量，两个变量依据一定的法则相对应，呈现的形式可以有解析式、图象法和列表法等，如集合为大于等于1、小于等于10的整数，集合为小于等于20的正偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用y2表示，也可以用图象表示，还可以用如下的表格表示。,人们运用方程思想，一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解，从而解决数学问题和实际问题。人们运用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。方程中的未知数往往是静态的，而函数中的变量则是动态的。方程已经有3000多年的历史，而函数概念的产生不过才300年。,(2)方
37、程和函数的联系。方程和函数虽然有本质的区别，但是它们也有密切的联系。如二元一次不定方程abyc0和一次函数ykb之间。如果方程的解在实数范围内，函数的定义域和值域都是实数。那么方程abyc0经过变换可转化为y,在直角坐标系里画出来的图象都是一条直线。因此，可以说一个二元一次方程对应一个一次函数。如果使一次函数ykb中的函数值等于0，那么一次函数转化为kb0，这就是一元一次方程。因此，可以说求这个一元一次方程的解，实际上就是求使函数值为0的自变量的值，或者说求一次函数图象与轴交点的横坐标的值。一般地，就初等数学而言，如果令函数值为0，那么这个函数就可转化为含有一个未知数的方程；求方程的解，就是求
38、使函数值为0的自变量的值，或者说求函数图象与轴交点的横坐标的值。,3.方程和函数思想的重要意义。16世纪以前，人们主要是应用算术和方程方法解决现实生活中的各种实际问题，方程与算术相比，由于未知数参与了等量关系式的构建，更加便于人们理解问题、分析数量关系并构建模型，因而方程在解决以常量为主的实际问题中发挥了重要作用。到了17世纪，随着社会的发展，传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以探究两个变量之间的关系为主的经济、科技、军事等领域的重要问题，这时函数便生产了。函数为研究运动变化的数量之间的依存和对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题。概括地说，方程和函数思想是中小学数学，尤
39、其是中学数学的重要内容之一。方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面，发挥着重要的不可替代的作用。,案例1：妈妈买了3千克香蕉和2千克苹果，一共花了16元。苹果的价格是香蕉的2倍多元，苹果和香蕉的单价各是多少？分析：题目涉及的是商品的数量、单价和总价的关系，根据数量关系“单价数量总价”进行分析，题中出现了两种商品，总价也是两种商品的总价。所以等量关系应为“香蕉的单价香蕉的数量苹果的单价苹果的数量总价”。再根据这个等量关系找出题中已知的量，总价16元、香蕉的数量3千克和苹果的数量2千克。未知的是香蕉和苹果的单价，也就是题目中要求的量。设香蕉的单价是元千克，苹果的单价是y元千克。根据题意，
40、可列出如下方程。32y16，y21。根据等量代换的原理，两个方程可合并成一个方程，32(21)16。这是在小学数学中遇到含有有关系的两个未知数的方程时能够直接列出一个方程的依据。如和倍、差倍、鸡兔同笼等问题，用方程解决也是利用了这个原理。解方程，2,y5。,案例2：小明家的果园供游人采摘桃，每千克10元。请写出销售桃的总价(总收入)y元与数量(千克数)之间的关系式。如果某天的销量是50千克，这天的总收入是多少？如果上个月的总收入是12000元，上个月的销量是多少千克？分析：此题涉及的也是商品的单价、数量和总价的关系，仍然要根据数量关系“单价数量总价”进行分析。根据题意，已知的量是单价，未知的量
41、是总价和数量，题目已经告诉我们分别用y和表示。因为桃的单价一定，所以它的总价与数量成正比例，可列关系式：y10。某天的销量是50千克，总收入是500元。上个月的总收入是12000元，销量是1200千克。案例2和案例1相比较，都有两个量分别用y和表示。案例1中的y和虽然是未知的量，但是它们实际上是具体的静止的常量，都有一个确定的值，通过解方程可以得到它们的值。案例2的两个量y和则是相关联的变化的量，的取值可以是一定范围内(果园内桃子总质量的最大值以内)的任何一个数，y随的变化而变化。只有y和中的一个量取一个具体的值时，另一个量才会相应地取一个具体的值。如案例2中的具体问题的解答。,案例3:无限循
42、环小数0.777和0.747474如何化成分数？你能发现什么规律？分析：根据小数和分数的关系，有限小数化分数比较容易进行。由于无限小数的特点，不能直接用有限小数化分数的方法进行。根据循环小数的循环节不断重复出现的特点，循环节是几位数字，就把这个循环小数乘10的几次方；它的左起第一个循环节就变成了整数部分，而循环小数部分不会改变；二者的小数部分相同，二者的差为循环节变成的整数部分。因此，可利用差倍问题的原理，列方程解决问题。如设0.777，那么107.777,求它们的差，107，解方程，所以0.777。同理可得，10074，所以0.747474。无限循环小数化分数的规律是，把循环节作为分子，循环
43、节有几位数字，分母就是由几个9组成的几位数。,六、数形结合思想,1.如何理解数形结合思想。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。小学数学阶段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。,2.数形结合思想的具体应用。（1）数的表示和运算。数和运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算。摆小棒、画图形等。,（）解决问题中的形。画线段图表示数量关系。案例
44、：上海版五上列方程解决问题上海浦东中银大厦的总高度为258米，比上海国际饭店的3倍还高24米，上海国际饭店高多少米？,上海国际饭店,浦东中银大厦,？米,258米,24米,设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。,解决问题的直观策略。,利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。,（3）统计中的图形。各种统计图表。,（4）空间与图形中的数。图形的周长、面积 和体积公式。,图形中边之间的关系。,图形变换中的数。坐标与变换,七、集合思想一般地，把研究的对象称为元素；把一些元素组成的总体，称为集合。2.集合理论是数学的理论基础。如数的概念及运算，都可以从集合的角度来定义。自然数可
45、以理解为一类可数等价集合的基数（元素的个数）。加法可以理解为两个互不相交的集合的并集。函数就是在集合的基础上定义的。,3.集合理论的引入，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。数学的各个分支都有自己的研究领域，如数论在整数范围内研究整数的有关性质，而质数和合数在正整数范围内讨论。又如数系的不断扩充，从自然数到实数。4.集合沟通了代数(数)和几何之间的关系。如y=kx+b,既是一次函数，又表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y=kx+b 的有序实数对所组成的点的集合。,5.两个集合无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。集合之间可以比较基数的大小
46、，也就是元素的个数的多少。如果有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B相等，记为A=B。如A=2，3，5，7，B=x|x是小于10的素数 集合间还有包含关系。如C=2,3,5,7,11,则A是C的真子集。只要两个集合元素间能够建立一一对应的关系，那么就说两个集合的元素个数相等，就是基数相等，即等势或等基。如果A是的真子集,就说A的基数小于的基数。案例：正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？分析：只要满足一一对应就基数相等。,八、一一对应思想,1.一一对应思想与函数思想的关系。一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合中的任一元素a，在集合
47、中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合中的任一元素b，在集合中也有唯一的元素a与之对应。函数是两个数集之间的一种数与数的对应关系，但这种对应不一定是一一对应。,（）数集之间的一一对应。设非自然数集,正偶数集，在两个集合之间建立如下的一一对应。（）其他集合之间的一一对应。如五（）班有个男生，个女生，如果把男生和女生各自的总数看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应。再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合。这两个集合之间可以建立一一对应。,九、分类讨论思想1.分类讨论思想的概念。人们有时面对比较复杂的问题，无法通过统一研究
48、解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之，各个击破，综合归纳”。其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。,2.分类讨论思想的重要意义。课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种条理性就是一种逻辑性，分类讨论就是具
49、有逻辑性的思考方法。因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考的一种重要而有效的方法。无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而全面地思考和解决问题。另外，分类讨论思想还是统计与概率知识的重要基础。,2的倍数的特征：（1）从生活情境“双号”引入。（2）观察2的倍数的个位数，总结出2的倍数的特征。（3）介绍奇数和偶数的概念。（4）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严格的证明。,质数和合数的概念：（1）根据20以内各数的因数个数把数分成三类：1、质数、合数。（2）可任出一个数，让学生根据概念判断其为质数
50、还是合数。,三角形按角分类任意找一些三角形引导学生自己分类启发学生想怎样用集合圈表示几种三角形之间的关系教师归纳、概括,三角形按边分类思路同前也可以同时进行分类更加开放等腰三角形的特征,案例1:下面四张卡片上分别写有数字0、1、2、3，可以利用它们组成多少不同的四位数？分析：把所有能组成的四位数分成三类，再依从小到大的顺序列表如下。（1）1023 1032 1203 1230 1302 1320（2）2013 2031 2103 2130 2301 2310（3）3012 3021 3102 3120 3201 3210,案例2:把1张一角的人民币换成零钱，现有足够的1、2、5分币。有多少种换
