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1、,3.1.1方程的根与函数的零点,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y=x22x3,y=x22x+1,函数,函数的图象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y=x22x+3,从上面的表格,你能发现方程的根与函数图象与X轴的交点具有什么样的关系吗?方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。,探究活动,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义:,注意:,零点指的是一个实数;,方程f(x)=0有实数根,等价关系:,思考:零点是点吗?,
2、求零点的方法,(1)解方程:令f(x)=0,解x。(2)图像法:作y=f(x)的图像,看图像与x轴的交点的横坐标。,解:(1)1;(2)0;(3)2、0、2,如图所示,用几条连续不断的函数图象连接A、B两点。,动一动手,思考:通过对图象的观察,分析函数在区间端点上的函数值的符号情况,与函数零点是否存在着一定的关系呢?,是否只要满足,就一定存在零点呢?,函数零点存在性定理,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。,(1)若函数y=
3、f(x)在区间a,b上连续,且有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点?,想一想,(2)若函数y=f(x)在区间a,b上连续,且有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内会只有一个零点吗?,(3)若函数y=f(x)在区间a,b上连续,且在区间(a,b)内有零点时,一定有f(a)f(b)0吗?,注意:(1)只有同时满足上述两个条件,才能说明函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点。(2)定理不可逆。,例1、判断函数 是否存在零点?,例2、求函数 的零点的个数?,2(2)解:作出函数的图象如下:,因为f(3)30,所以f(x)=2x ln(x2)3在区间(3,
4、4)上有零点。又因为f(x)=2x ln(x2)3是(2,)上的增函数,所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,2(2)f(x)=2x ln(x2)3,2(3)解:作出函数的图象如下:,因为f(0)3.630,所以f(x)=ex1+4x4在区间(0,1)上有零点。又因为f(x)=ex1+4x4是(,)上的增函数,所以在区间(0,1)上有且只有一个零点。,2(3)f(x)=ex1+4x4,2(4)解:作出函数的图象如下:,因为f(4)40,f(2)20,所以f(x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间(4,3)、(3,2,)、(2,3)上各有一个零点。,2(4)f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,小结,函数零点的定义,求零点的方法,函数的零点存在的判定定理,布置作业:,P92 习题3.1 第2题三维设计 课时训练十八,