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1、垂径定理小结与练习,1.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形,用符号语言表示出来.,垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.,符号语言,图形语言,温故而知新,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。,CDAB,CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,1、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段,归纳：,2、一个Rt：半径、圆心到弦的垂线段、半弦,O,A,B,C,3、两个定理：垂径定理、勾股定理,小 结,运用垂径定理可以解决许多
2、生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,O,d+h=r,垂径定理的应用,h,r,d,(4)若，CD是直径,则、.,(1)若CDAB,CD是直径,则、.,(2)若AM=MB,CD是直径,则、.,(3)若CDAB,AM=MB,则、.,1.如图所示:,口头练习,AM=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,口头练习,2、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经
3、过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,1.过o内一点M的最长的弦长为10,最短弦长为8,那么o的半径是,2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那么C到AB的距离等于,3.已知O的弦AB=4,圆心O到AB的中点C的距离为1,那么O的半径为,4.如图,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=,B,A,M,C,O,N,5,1或9,6,4,Cm,巩固练习,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、
4、OE=AE,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。,O,A,B,E,解：连接OA，OEAB,AB=2AE=16cm,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,O,A,B,E,解：过点O作OEAB于E，连接OA,即O的半径为5cm.,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，,CD是直径，OEAB,AE=1/2 AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得：x=13,OA=13,CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,垂径定理的
5、应用,例1如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,船能过拱桥吗?,例2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,达标检测,一、填空1、已知AB、CD是O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 cm.2、已知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.3、已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.4、在半径为25cm的O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是.5、O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=.,14cm或2cm,2,5cm,10cm和40cm,
