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1、2023/4/23,郑平正 制作,3.2独立性检验的基本思想及其初步应用,高二数学 选修2-3 第三章 统计案例,2023/4/23,郑平正 制作,问题:数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包，并记录下买回的面包的实际质量。一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g。于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足。,假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于1000g；“这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件；这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果。,2023/4/23,郑平正 制作,一:假设检验问题的原理,假设检验问题由两个
2、互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。,例如，在前面的例子中，原假设为：H0：面包份量足，备择假设为：H1：面包份量不足。这个假设检验问题可以表达为：H0：面包份量足 H1：面包份量不足,2023/4/23,郑平正 制作,二:求解假设检验问题,考虑假设检验问题：H0：面包分量足 H1：面包分量不足,在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；如果样本使得这个小概率事件发生，就能以一定把握断言H1成立；否则，断言没有发现样本数据与H0相矛盾的证据。,求解思路：,2023/4/23,郑平正 制作,独立性检验,本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。,
3、在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：,例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。,2023/4/23,郑平正 制作,为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）,列联表,说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。,0.54%,2.28%,探究,2023/4/23,郑平正 制作,1、列联表,通过图形直观判断两个分类变量是否相关：,2023/4/23,郑平正 制作,2、等高条形图,等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。,2023/4/23,郑平正 制作,上面我们通过分析数据和
4、图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。,现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设,H0：吸烟与患肺癌没有关系.,把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表,用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).,2023/4/23,郑平正 制作,因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。,在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频
5、数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有,2023/4/23,郑平正 制作,为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-卡方统计量,（1）,若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。,根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：,那么这个值到底能告诉我们什么呢？,（2）,独立性检验,2023/4/23,郑平正 制作,在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。,也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率
6、约为0.01。,思考,答：判断出错的概率为0.01。,2023/4/23,郑平正 制作,判断 是否成立的规则,如果，就判断 不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。,独立性检验的定义,上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。,在该规则下，把结论“成立”错判成“不成立”的概率不会差过,即有99%的把握认为 不成立。,独立性检验的基本思想（类似反证法）,(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.,(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观
7、测值k很大,则在一定可信程度上说明 不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对 的充分证据。,(3)根据随机变量K2的含义,可以通过它评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设不合理的程度为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.,2023/4/23,郑平正 制作,怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？,这仅需要确定一个正数，当 时就认为K2的观测值 k大。此时相应于 的判断规则为：,如果，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。,-临界值,按照上述规则，把“两个分类变量
8、之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P().,在实际应用中，我们把 解释为有的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把 解释为不能以 的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。,2023/4/23,郑平正 制作,在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：,具体作法是：,(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值；(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；(3)如果，就以 的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。,2023/4/23,郑平正 制
9、作,第一步：H0：吸烟和患病之间没有关系,第二步：列出22列联表,独立性检验的步骤,第三步：计算,第四步：查对临界值表，作出判断。,2023/4/23,郑平正 制作,反证法原理与假设检验原理对比,反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。,假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。,2023/4/23,郑平正 制作,例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关？能否在犯错误的概率不超过0.0
10、1的前提下认为秃顶和患心脏病有关系？,解：根据题目所给数据得到如下列联表：,其中深色条的高分别表示秃顶和不秃顶样本中患心脏病的频率。比较两图中深色条的高度可以发现，秃顶样本中患心脏病的频率明显高于不秃顶样本中患心脏病的频率，因此认为“秃顶与患心脏病有关”。,2023/4/23,郑平正 制作,例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关？能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶和患心脏病有关系？,解：根据题目所给数据得到如下列联表：,根据联表1-13中的数据，得到
11、,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系。,2023/4/23,郑平正 制作,例1.秃头与患心脏病,在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程。本例中的边框中的注解，主要是使得学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。,因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体,2023/4/23,郑平正 制作,例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：,由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数
12、学课程之间有关系吗？请详细阐述得出结论的依据。,解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。,分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。,如果性别与是否喜欢数学课没有关系，则男生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的比例 应该相差很多，即,2023/4/23,郑平正 制作,例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：,由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请
13、详细阐述得出结论的依据。,因此，越大，“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。,另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下，事件 的概率为,因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得 的观测值k=4.514,即小概率事件A发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5%。所以，约有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。,2023/4/23,郑平正 制作,例3.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。,试画出列联表的条形图，并通过图
14、形判断这种血清能否起到预防感冒的作用？并进行独立性检验。,解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。,因当H0成立时，K26.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。,2023/4/23,郑平正 制作,解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。,因当H0成立时，K21.3896的概率大于15%，故不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。,例4：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？,2023/4/23,郑
15、平正 制作,例5：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？,解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异。,因当H0成立时，K210.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异。,2023/4/23,郑平正 制作,例6、某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？,注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人。,（1）列出数学与物理优秀的2x2列联表如下,228,132,360,143,737,880,371,869,1240,代入公式可得,2023/4/23,郑平正 制作,注：该年级此次考试中，数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人。,（2）列出数学与化学优秀的2x2列联表如下,225,135,360,156,724,880,381,859,1240,（3）列出数学与总分优秀的2x2列联表如下,267,93,360,99,781,880,366,874,1240,代入公式可得,代入公式可得,
