实际问题与一元一次方程.doc

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1、3.4 实际问题与一元一次方程学案【复习要点】1、等式表示的是 关系2、方程的定义：含有未知数的 3、一元一次方程的定义：只含有 ，未知数的次数都是 ，等号两边都是 ，这样的方程叫做一元一次方程4、 解一元一次方程的一般步骤： ； ； ； ； 【列一元一次方程解决实际问题的一般步骤】例：（教材78页）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70/h，卡车的行驶速度是60/h，客车比卡车早1h经过B地，问：A、B两地间的路程是多少？分析：这是一个行程问题，题中说“客车比卡车早1h经过B地”，即卡车到达B地用的时间比客车用的时间 1h，因此发现这道题含有这样的一个相等

2、关系（等量关系）：卡车到达B地用的时间 客车到达B地用的时间=1h.如果设A、B两地间的路程是x，则卡车到达B地用的时间可以表示为 h，客车到达B地用的时间可以表示为 h。解：设A、B两地间的路程是x，根据题意得1、 方程为我们解决许多问题带来方便，因此方程被认为是用来分析和解决实际问题非常有用的数学工具。对于任何一道实际应用题，要想准确列出方程，关键就得从该问题中找出一个 2、 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：读懂题目，审清题意，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的关系，关键找到一个等量关系 。 设：设适当的量为未知数，并用含未知数的代数式表示其它的未知量。设未知数一般分为

3、直接设未知数和间接设未知数。 列：根据找到的等量关系列出一元一次方程。 解：解所列出的一元一次方程。 检：检验所求得的方程的解，一要看这个解是否是方程的解，二要看这个解是否符合题意或实际意义。 答：根据问题写出答语。例：（教材90页）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制最大量少100t。新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？分析：题目中的等量关系是什么？解：设新、旧工艺的废水排量分别为2xt、5xt，根据题意得移项，得合并同类项，得系数化为1，得（t） （t）答：新、旧工艺的废水排量分别为200t

4、、500t注：比例问题通常设每一份为x，便于计算。【常见的几种应用题类型】一、和差倍分问题1、（教材86页）某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？分析：本题中的等量关系为 解：设前年这个学校购买了x台计算机，根据题意得2、 某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万，今年和去年产值总和是75万，求今年该厂的产值。3、 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？4、 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？5、某工厂加强节能措施，去年

5、下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kWh（千瓦时），全年用电15万kWh，这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？【注意各数据的单位】6、小明、小强两兄弟两人今年分别为8岁和12岁，若设x年前哥哥的年龄是弟弟的年龄的2倍，则x的值为多少？根据题意可列方程 7、学校组织植树互动，已知在甲处植树有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？注：解决和差倍分问题应抓住题目中的关键词语，如多、少、倍、提前、推迟、减少、增加二、数字问题问题1、有一个两位数，两个数位上的数字和是9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，那么所得

6、的新两位数比原两位数大63，求原两位数。分析：若一个两位数十位上数字为a，个位数字为b，则这个两位数可以表示为 。本题中的等量关系为 解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为 ，根据题意得2、一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位数字的和的5倍恰好等于这个两位数，求这个两位数。注：数字问题的关键是用同一个未知数去表示不同位上的数字，及如何表示这个数，要尤其注意数与数字的区别。3、三个连续的自然数和为273，求这三个连续的自然数。变式：三个连续的偶数可以表示为： 三个连续的奇数可以表示为： 4、（教材87页）有一列数，按一定顺序排列成1，-3，9，-27，81，-243，其中某

7、三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？三、行程问题基本数量关系：路程=速度时间 顺水速度=静水速度水流速度；逆水速度=静水速度水流速度1、甲、乙两人从相距480的两地相向而行，甲乘汽车每小时行90，乙骑自行车每小时行30，如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇？分析：本题中的等量关系为 解：设甲出发x h后两人相遇，根据题意得2、A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千米，一列快车从B地开出，每小时走65千米。（1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，根据题意列方程得 （2）两车同时开出，背向而行，x小时之后，两车相距620千米，根据题意列方程得 （3）慢车先

8、开出1小时，同向而行，快车开出x小时与慢车相遇，根据题意列方程得 3、小明、小亮两人相距40，小明先出发1.5h，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8/h，小亮的速度是6/h，小明出发后几小时可以追上小亮？问：能找到等量关系吗？可以试试画个简单的示意图。4、（教材94页）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/小时，求船在静水中的平均速度。问：你能找到本题中的等量关系吗？5、 一轮船在A、B两地之间航行，顺水航行用3小时，逆水航行比顺水航行多用30分钟，轮船在静水中的速度是26千米/小时，问水流的速度

9、是多少？【注意单位】6、思考题：某铁路桥长1200米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用50秒，整个火车完全在桥上的时间是30秒，求火车的长度和速度。注：画线段示意图是解决行程问题常用的方法，对分析题意，找等量关系有很大的帮助。四、工程问题基本数量关系：工作总量=工作效率工作时间 工作量=人均效率人数时间1、（教材100页 ）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？问：你能找到本题中的等量关系吗？2、整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现计划由一部分人

10、先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？分析：把总工作量看作1，则每人的工作效率是。两个工作量之和应该等于总工作量1.3、某服装厂加工车间有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，应怎样合理分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？4、某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产6个零件，结果比规定时间提前3天并超额生产120个零件，求该班组要完成的零件任务是多少？5、一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天，如果先由甲队单独做8天，再由乙队单独做3天，其余

11、的由甲、乙两队合做，则还需要多少天才能完成？6、某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少生产100套；如果每天平均生产23套，就可超过订货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？7、进水管向空池注水3小时可注满，出水管向外排水4小时可把水放完，若两管同时开放，则几个小时可把空池注满？五、销售问题基本数量关系：利润=售价进价 利润率= ，变式：售价=进价 打x折的售价=原价1、某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商品按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？分析：商品的利润=进价 =

12、进价解：设此商品的进价是x元，根据题意得2、某商品的进价是15000元，若要使其在销售中获利20%，问售价应为多少？3、NIKE服装打折店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打八折销售，售价为240元，设这件衣服的进价为x元，根据题意可列方程 注：销售问题中应抓住售价、进价、利润及其他量之间的数量关系。六、增长率、降低率问题基本数量关系：（1）增长量=原始量增长率；增长后的量=原始量（1+增长率） （2）降低量=原始量降低率；降低后的量=原始量（1-增长率）1、某商场甲、乙两个柜台一月份营业额共64万元，二月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额达到75万元，求两个柜台各增长了多少万元？分析

13、：两柜台二月份的营业额共增长了75-64=11（万元），可以找到一个等量关系：甲柜台增长的量+乙柜台增长的量=11万元，若设甲柜台一月份的营业额为x万元，乙柜台一月份的营业额为 万元，则甲、乙两柜台二月份的营业额增长量分别表示为 解：设甲柜台一月份的营业额为x万元，根据题意得2、有A、B两种原料，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，据最新消息，这两种原料过几天要调价，A种原料上涨10%，B种原料下降15%。某厂共需这两种原料11000千克，经核算，调价后购买两种原料的总费用不变，问A、B两种原料各需多少？七、储蓄问题基本数量关系：利息本金期数利率 本息和本金本金期数利率例：王先生到

14、银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元，你能算出王先生存入的本金是多少元吗？【探究下列几个实际问题】销售中的盈亏（教材102页）题目：一商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？分析：“ 每件60元的价格”是衣服的 ，“盈利25”即利润率为25，“亏损25”即利润率为 ，“盈利”指售价进价，“亏损”指售价进价问题1：若一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25，那么商品利润是多少？若卖出后亏损25，那么利润又是多少？ 解：盈利25时，利润是40251

15、0元；亏损25时，利润是 40（25）10元 问题2：你能否求出题目中的两件物品的进价吗？ 解：设盈利25的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元根据进价与利润的和等于售价，可以得到方程 ，解得 类似地，设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是25y元，可以得到方程 ，解得 问题3：你能分析总的亏损情况吗？ 解：两件衣服的进价是 元，而两件衣服的售价是60+60=120元，售价 进价，由此可以知道卖这两件衣服总的是 注：要判断销售后是否盈利或亏损，实际就是要判断出售价和进价的大小关系，因此由题目中的已知条件找出每件衣服的进价是解决问题的关键。球赛积分表问题（教材103页）问题1：通

16、过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？进而你能得到胜一场积几分吗？ 分析：观察积分榜，从最下面一行数据可以看出：负一场积 分；设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值， 即：负一场积 分，胜一场积 分 问题2：用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； 分析：如果一个队胜m场，则负 场，胜场总积分 分，负场总积分 分，总积分为 问题3：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一个队胜了x场，则负了 场根据“胜场总积分等于负场总积分”列方程得注：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。油菜种植问题

17、题目：某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率40今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点 基本的数量关系：油菜籽的产油量油菜籽亩产量含油率种植面积 问题1：今年与去年相比，这个村油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20，问今年油菜籽种植面积是多少亩？ 分析：设今年种植的油菜x亩，则去年种植的油菜有 亩，列式表示去、今年两年的产油量（单位：千克），去年产油量16040 ，今年产油量180 x根据今年比去年产油量提高20，列出方程 18050x 解得 问题2：油菜种植成本为210元/亩，油菜收购价为6元/千克，请比较这个村去今两年

18、油菜种植成本与将油菜全部售出所获收入分析：去年油菜种植成本为 （元），售油收入为 （元），售油收入与油菜种植成本的差为： （元） 今年油菜种植成本为 （元），售油收入为 （元），油收入与油菜种植成本的差为： （元） 所以两年相比，今年的油菜种植成本 ，售油收入 电话计费问题（教材104页）下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费问题1：设一个月内用移动电话主叫时间为t min（t是正整数），根据上表，列表说明：当t在不同范围内取值时，按方式一和方式二如何计费。分析：由上表知，计费与 有关

19、，计费时首先要看主叫是否超过限定时间。主叫时间t/min方式一计费/元方式二计费/元t150t=150150t350t=350t350问题2：观察上表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法。分析：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化。当t150时，按 的计费少；当150t350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元，因此，当150t350时，存在主叫时间按方式一和方式二计费相等的情况。根据方程 =88 ，解得 即：当t= min时，两种方式的计费是相等的，都是88元；当150mi

20、nt min时，按方式一的计费少于按方式二的计费；当 mint350min时，按方式二的计费少于按方式一的计费当t=350时，按 的计费少；当t350时，按照方式一的计费是 元，按方式二的计费是 元，易知 的计费少。综合以上情况分析可以发现： ，选择方式一省钱； ，选择方式二省钱；问题3：有位经理他每月的主叫时间基本都在330min到360min，请你帮他选择一种省钱的计费方式？与电话计费问题类似的，还有用电（水、气）的问题、医疗报销问题，银行的储蓄问题这类问题的解决关键是理清题目中的分段点及其对应关系，此类问题都属于方案决策问题。在生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要选择一个最优方案

21、，选择最优方案就是要把每一种方案的结果都算出来，通过比较，确定最优方案。1、某商场在2014年元旦期间搞促销活动，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按9折优惠；超过500元，超过部分按8折优惠，其中的500元仍按9折优惠。某人两次购物分别用了134元和466元。问：（1）此人两次购物，若物品不打折优惠，他会花去多少钱？（2）此人两次购物共节省了多少钱？（3）若此人购买相同的商品，将两次购物改为一次性购物，是否更省钱？说明理由。2、某园林门票价格规定如下表：购票人数1-50人51-100人100人以上每人门票价13元11元9元某校七年级甲、乙两班共104人去该园林游玩，其中甲班人数较多，有50多人，经计算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应该支付费用1240元。（1）两班各有多少名学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？