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1、 一元二次方程根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布图形问题代数表达式（不等式组）参数取值范围。教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。一、问题的提出若方程的两根均为正数，求实数m的取值范围.变式1：两根一正一负时情况怎样？变式2：两实根均大于5时情况又怎样？变式3：一根大于2，另一根小于-1时情况又怎样？问题：能否从二次函数图形角度去观察理解？若能试比较两种方法的优劣.方程的实根，如若从二次函数图形角度去观察理解，其实质就是对应的二次函数 的抛
2、物线与轴交点的横坐标.1二次方程有且只有一个实根属于的充要条件若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能： （1） （2） （3） （4） 由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是 2二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形： （1） （2）（3） （4） 由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条
3、件是： 这里 同理可得出：3二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是： 这里4二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是： 二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是： 这里二例题选讲例1设，若，求实数的取值范围变式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围例2已知方程有两个负根，求的取值范围例3求实数的范围，使关于的方程（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根，且满足（）至少有一个正根例5已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围例6设关于的方程R），（1）
4、若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。三巩固练习1已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围2已知方程在上有两个根，求的取值范围3已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围4 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.5若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的取值范围参考答案例1法一：分析：观
5、察到方程有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决解：因有两个实根 ，故等价于且，即且，解之得法二：图象法变式：解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -32-3m3 - m .例2解：依题意有例3解：设（） 依题意有，即，得（） 依题意有解得：（）方程至少有一个正根，则有三种可能：有两个正根，此时可得，即有一个正根，一个负根，此时可得，得有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得例5解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 （1）即为，它的解集是（2）即为，它的解集是（3）的解集是所以，的取值范围
6、是解二：二次方程有两个根的充要条件是设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为： 即 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： 以下同解法一（略）解三：令，原方程转化为，即 （*）因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 同样可求出的取值范围（略）例6分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的解为；综合、，得1）当时原方程有两解：
7、；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。巩固练习1解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1 1，即 m ， m的取值范围为 (-,- )( , +).2解：令，当时，由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范围为3解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)f(2)0 (5m+3)(m-2)0 - m2.综上得：m的取值范围是(- , - )(- , 2)4解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 ，实数m的范围是.(2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - m1-, 实数m的范围是.5解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 解得 - a-1.a的取值范围是 - , -1)11
