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1、第三讲初等数学思想方法,1992年颁布的九年义务教育全日制数学教学大纲指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”这是基础教育首次提出“思想方法”作为数学教学的内容这。2000年颁布的普通高中数学教学大纲同样强调了这个内容。,关于数学思想方法,关于数学思想方法,方法：一般地说，方法就是人们处理某种事物的策略、思路、途径和步骤，解决不同的问题，需要不同的方法。数学思想方法是以一定的数学内容为载体，离开具体的数学内容孤立的谈数学方法就没有说服力了。,华东师范大学张奠宙教授说：“同一个数学思想，当用它去解决别的问题时，就
2、称之为方法；当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，就称之为思想。”在数学教学中，通常不把“数学思想”和“数学方法”加以区别，笼统地称为“数学思想方法”。,关于数学思想方法,一、字母代数思想,(一)算术解题法的局限性(二)字母代数思想的优越性通常人们认为：1.字母代替数字的思想是初等代数思想的基本思想，是从算术过渡到代数的桥梁；2.在代数里未知数可以参与运算，而在算术中未知数没有参加运算的权力；3.代数运算比算术运算有了更大的普遍性和灵活性，极大地扩展了数学的应用范围。因而，人们把字母代数思想的诞生看作数学思想方法发生第一次重大转折的标志。,一般说来，字母代数思想有两大优越性：其一：用字母表示
3、数能够简明地表示事物的本质特征和规律其二：用字母表示数具有辩证性,思考与解答：一农妇提一篮鸡蛋叫卖，甲买了总数的一半零半个；乙买了余下的一半零半个；丙又买了其余的一半零半个，刚好买完。问农妇篮中共有多少鸡蛋？试用算术与代数方法作答。,你能否总结出一个一般规律？即如果n个人按上述方式刚好买完，应该有多少个鸡蛋？,又如：,计算：(1)199820002000200019981998；(2)解：(1)设1998=x，则 原式=x10000(x+2)+(x+2)(x+2)(10000 x+x)=10001x(x+2)10001x(x+2)=0；(2)设1999=x，则 原式=,二、化归与变换思想,（一
4、）化归思想 化归思想就是运用某种方法或手段，把有待解决的较为生疏或较为复杂的问题转化归结为较熟悉或较简单的问题来解决的思想方法。,例如：,例1：解方程组例2：解方程,对于例2，可令，得方程组。解得u、v，再求出x、y,较复杂的无理方程,二元二次方程组,u=2 v=1,以上两例都是运用了化归思想，特别是例2，其解题过程如下面框图,1.化归思想的核心化归思想的核心是实现问题的规范化，也就是把一个生疏的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，以便运用已知的理论、方法和程序实现问题解决。可用如下结构图表示。,2.化归思想的实质 是化复杂为简单、化难为易、化未知为已知，这正是众多数学家典型的思维方式。我们
5、可以通过书中部分数学家对化归思想的阐述看到：对于数学研究、数学学习和问题解决来说，化归不仅是一种重要的思想和意识，而且是一种重要的思维方法和策略。,例3.设,试证a 2b 21。,当a0且b0时，显然有0a1且0b1，,易见：当a0或b0时，a 2b 21显然成立。,如下图，构造直径AC1的圆和圆内接四边形ABCD，,使ADa，,则在RtABC和RtADC中分别有：,ABb，,由定理“圆内接四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积”可知ADBCABDC=ACBD，即有,BD1，即BD为圆的直径。,故 a 2b 2AD2AB21。,一般说来：代入法、加减法、判别式法等适合于某一学科，称为单维化归方
6、法；解析法、等量代换法、构造法等可以沟通两个数学学科，称为二维化归方法；而换元法、反证法等广泛应用于数学的各个分支学科，称为多维化归方法。,(二)变换思想,运用一定的措施或技术，把待解的数学问题转化为一个或几个较简单的数学问题，从而使原问题得到解决的方法，叫做变换方法。,变换方法已经成为数学研究与数学问题解决中十分重要的思想，它的结构可用如下框图表示：,变换的两种主要方法：,所谓整体变换法，是通过条件或结论的变形，使问题和内存本质发生变化，成为较简单的新问题，从而使原问题得到解决的方法。,1.整体变换法,例4.求证：不存在整数a、b、c，满足a 2b 28c60,易得：它们除以8的余数分别是0
7、，1，4，因而任意两个整数的平方和除以8余数只能是0、1、4、2或5，而不可能是6，于是，任意整数a与b，均不满足a 2b 28c6，其中(cZ)不存在整数a、b、c，满足a 2b 28c60。,分析：,整数仅可以划分为四类：4n，4n1，4n2，4n3（nZ）其平方分别为：(4n)216 n 2，(4n1)216 n 28 n1，(4n2)216 n 216 n4，(4n3)216 n 28(3 n1)1，,证明：式可化为a 2b 28c6,2.局部代换法,通过对题设条件或结论的局部代换，使原问题的外在形式发生变化，从而变换为较简单的新问题的方法叫做局部代换法。,解：这是个解无理方程问题，注
8、意到与的立方和为28，作局部的根式代换，即设u=，v=,则原方程化为方程组由u3+v3(u+v)(u2-u v+v2)(u+v)(u+v)23 u v 4（163 u v）6412 u v28得到u v3，于是u、v是方程z2-4z+3=0的二根，由此得u 1或u3。代入u=得x13或x13，检验可知x13都是原方程的解。,例5.解方程。,三、数形结合思想,把问题的数量关系与空间形式结合起来考虑，或者把数量关系转化为图形性质问题，或者把图形性质转化为数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。,华罗庚教授说过:,数形本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;
9、数形结合千般好,隔离分家万事休;几何代数流一体,永远联系莫分离.,分析：,证明：如图，分别以x,y为两条直角边作直角ABC，并作CDAB于D，由于ACx，BCy，故由已知x 2+y 2=z 2和勾股定理可知ABz。,名题欣赏与思考：“柳卡问题”,某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在路途所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？,注：柳卡法国数学家,四、特殊化与一般化思想,（一）特殊化所谓特殊化，就是把问题转化为特殊形式，通过对特
10、殊形式的研究寻求原问题的答案或解决的办法，这种转化就是特殊化的思想方法。,在数学问题解决中，特殊化的具体手段主要有：,1.由条件画出图形，便于从几何直观中受到启迪；2.用具体数字代替字母、用具体数字代替抽象函数、用有限代替无限，使抽象问题具体化；3.暂时固定或舍弃某些限制条件，便于在较理想的状态下研究问题；4.一般状态取特殊情形、运动问题取静止状态，以便化繁为简、发现规律。,例7.若abc，xyz，则下列代数式的值中最大的是：（A）ax+by+cz；（B）ax+cy+bz；（C）bx+ay+cz；（D）bx+cy+az。,解：用常规方法作差比较各个代数式值的大小显然比较繁琐。运用特殊化思想，取
11、满足已知关系式的一组特殊值进行探索，例如取a=x=1,b=y=2,c=z=3等，这时（A）、（B）、（C）、（D）四个代数式的值依次为14、13、13、11，故应选（A）。也可选取另一些数进行探索,例8.如图，O是ABC内任一点，连结AO、BO、CO延长，分别交BC、CA、AB于D、E、F三点。求证：,分析：为了寻求证明的思路，先用特殊化思想，考虑O点为ABC的垂心的情况。,如图，由于OD与AD分别是同底OBC与ABC的高，,因而有,同理有:,故本题可证。,所谓一般化，就是把所给特殊形式问题，转化为一般形式去考察，通过对一般形式的研究寻求解决原问题的方法，这种转化就是一般化的思想方法。,（二）
12、一般化,例9.比较与的大小。,解：这个问题运用开方运算比较它们的大小显然比较繁琐。作一般化处理，注意到：，。,只须比较与的大小，其中x0,y0且x y,不防设x=a3,y=b3,其中a0,b0,且ab,这样只须比较,与a+b的大小即可,由于4(a3+b3)-(a+b)33(a3+b3-a2b-ab2)=3(a+b)(a b)20,因而4(a3+b3)(a+b)3,即有a+b,五、分类讨论思想,(一)分类讨论法 当面临的问题不能以统一的形式解决时，可以把已知条件涉及的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题局部的解，然后通过综合各局部的解而得到原问题的解答，这种方法就是分类讨论的方法。,例
13、10.解方程|6x|3x1|m2x,解：显然未知数x0，于是原方程化为|9x1|m2x，即有(9m2)x=1。下面进行分类讨论：,（1）当m=3时，方程无解；,原方程仅在 m3 或 m3时有解：,注意：在运用分类讨论法时，关于不得重复和遗漏的问题。,(二)分类讨论的局限性分类讨论作为一种重要的数学思想方法，在数学研究和数学学习中具有重要的价值是勿庸置疑的。但有时却可能会导致解题过程的繁琐化，故也有不足之处。是否选择分类讨论时应注意扬其利，而避其弊。,六、关系映射反演思想（不作介绍）,关系应映反演，是分析处理数学问题的一种基本数学思想方法，在数学发现和数学解题中有着多方面的作用。它既可用来指导数
14、学发现，推进数学研究，在理论上作出新的成果；又能用以处理具体的数学问题，化难为易化繁为简，开拓灵活巧妙的解题思路。,关系映射反演思想要求在处理某一问题甲有困难时，考虑联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题甲*及其关系结构R*；在新的关系结构R*中，对问题甲*处理完毕后，再把所得到的结果，通过逆映射反演到R，求得关于问题甲所需的结果。,关系映射反演思想过程可用下面的框图表示：,作业：,1.试述字母代数思想的历史作用，并通过举例来说明字母代数思想的优越性。2、井深、绳长皆为未知，但知绳2折余4尺，绳3折差2尺，井深，绳长各几何？试用算术、代数方法分别求解。,
