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1、基本不等式的几何解释,2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积是S=,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=，,问3：S与S有什么样的关系？,从图形中易得，s s,即,探究1(赵爽弦图),探究2,问题1：那么它们有相等的情况吗？何时相等？,图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有,a=b,形的角度,数的角度,当a=b时a2+b22
2、ab=(ab)2=0,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立,此不等式称为重要不等式,探究2,问题2：当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果 也可写成,a0,b0,探究3,概念,(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,a,b,o,A,B,P,Q,对基本不等式的几何意义作进一步探究:,如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=_,半径AO=_,问题：请比较半弦长PQ与半径AO的关系？,几何意
3、义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2（x+y
4、）=36,x+y=18,矩形菜园的面积为xym2,=18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,分析:水池呈长方体形,它的高是3
5、m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低,解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此 xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即 当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.,练一练,1.下列函数中最小值为4的是()(A)y=x+4x(B)y=sinx+4sinx(0 x)(C)y=3x+43-x(D)y=lgx+4logx10,2.设a1，且m=loga(a
6、2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a)则m,n,p的大小关系是(),3.若a.bR,且a+b=3,则2a+2b的最小值为(),C,mnp,4.设计一副宣传画，要求画面面积为4840m2，画面的宽与高的比为a(a1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？,练一练,5.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？),练一练,1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”,课堂小结,高考欣赏,B,略解：,(4,6),A,
